Τριγωνικός πίνακας

Στην γραμμική άλγεβρα, άνω τριγωνικός πίνακας είναι κάθε τετραγωνικός πίνακας που έχει μόνο μηδενικά στοιχεία κάτω από την κύρια διαγώνιο.Πρότυπο:RpΠρότυπο:RpΠρότυπο:RpΠρότυπο:RpΠρότυπο:RpΠρότυπο:Rp Πιο συγκεκριμένα, είναι κάθε πίνακας $U$ διαστάσεων $n\times n$ όπου τα στοιχεία $U_{ij}=0$ για κάθε $1\le j<i\le n$. Για $n=2,3,4$ η γενική τους μορφή είναι:

$\underset{2\times 2}{\underbrace{\left[\begin{array}{cc}{U}_{11}& U_{12}\\ 0& U_{22}\end{array}\right]}}\underset{3\times 3}{\underbrace{\left[\begin{array}{ccc}{U}_{11}& U_{12}& U_{13}\\ 0& U_{22}& U_{23}\\ 0& 0& U_{33}\end{array}\right]}}\underset{4\times 4}{\underbrace{\left[\begin{array}{cccc}{U}_{11}& U_{12}& U_{13}& U_{14}\\ 0& U_{22}& U_{23}& U_{24}\\ 0& 0& U_{33}& U_{34}\\ 0& 0& 0& U_{44}\end{array}\right]}}.$

Αντίστοιχα, κάτω τριγωνικός πίνακας είναι κάθε τετραγωνικός πίνακας που έχει μόνο μηδενικά στοιχεία πάνω από την κύρια διαγώνιο. Πιο συγκεκριμένα, είναι κάθε πίνακας $L$ διαστάσεων $n\times n$ όπου τα στοιχεία $L_{ij}=0$ για κάθε $1\le i<j\le n$. Για $n=2,3,4$ η γενική τους μορφή είναι:

$\underset{2\times 2}{\underbrace{\left[\begin{array}{cc}{L}_{11}& 0\\ L_{21}& L_{22}\end{array}\right]}}\underset{3\times 3}{\underbrace{\left[\begin{array}{ccc}{L}_{11}& 0& 0\\ L_{21}& L_{22}& 0\\ L_{31}& L_{32}& L_{33}\end{array}\right]}}\underset{4\times 4}{\underbrace{\left[\begin{array}{cccc}{L}_{11}& 0& 0& 0\\ L_{21}& L_{22}& 0& 0\\ L_{31}& L_{32}& L_{33}& 0\\ L_{41}& L_{42}& L_{43}& L_{44}\end{array}\right]}}.$

Ένας πίνακας λέγεται τριγωνικός αν είναι άνω ή κάτω τριγωνικός.

Παραδείγματα

• Οι παρακάτω πίνακες είναι άνω τριγωνικοί:

$A=\left[\begin{array}{cc}1& 2\\ 0& 3\end{array}\right],B=\left[\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 0& 4& 5\\ 0& 0& 6\end{array}\right],C=\left[\begin{array}{cccc}1& 2& 3& 4\\ 0& 5& 6& 7\\ 0& 0& 8& 9\\ 0& 0& 0& 10\end{array}\right].$

• Οι παρακάτω πίνακες είναι κάτω τριγωνικοί:

$A=\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 2& 3\end{array}\right],B=\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 2& 3& 0\\ 4& 5& 6\end{array}\right],C=\left[\begin{array}{cccc}1& 0& 0& 0\\ 2& 3& 0& 0\\ 4& 5& 6& 0\\ 7& 8& 9& 10\end{array}\right].$

• Κάθε διαγώνιος πίνακας είναι κάτω και άνω τριγωνικός. Επομένως, ο ταυτοτικός πίνακας και ο μηδενικός πίνακας είναι τριγωνικοί.

$A=\left[\begin{array}{ccc}3& 0& 0\\ 0& 7& 0\\ 0& 0& -1\end{array}\right],I_2=\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right],I_3=\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right],0_3=\left[\begin{array}{ccc}0& 0& 0\\ 0& 0& 0\\ 0& 0& 0\end{array}\right].$

• Οι κορυφές ενός Κατευθυνόμενου άκυκλου γράφου μπορούν να μετατεθούν ώστε ο πίνακας γειτνίασης του γράφου είναι τριγωνικός.

Ιδιότητες

Οι τριγωνικοί πίνακες έχουν τις εξής ιδιότητες:

• Ο ανάστροφος πίνακας ενός κάτω (άνω) τριγωνικού πίνακα είναι άνω (κάτω) τριγωνικός.
• Το άθροισμα δύο κάτω (άνω) τριγωνικών πινάκων είναι κάτω (άνω) τριγωνικός πίνακας.
• Το γινόμενο δύο κάτω (άνω) τριγωνικών πινάκων είναι κάτω (άνω) τριγωνικός πίνακας.
• Ο αντίθετος ενός κάτω (άνω) τριγωνικού πίνακα είναι κάτω (άνω) τριγωνικός.
• Η ορίζουσα ενός τριγωνικού πίνακα είναι ίση με το γινόμενο των στοιχείων της κυρίας διαγωνίου.
• Το χαρακτηριστικό πολυώνυμο ενός κάτω (άνω) τριγωνικού πίνακα δίνεται από τον τύπο

$p_L(x)=\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t}(xI-L)=(x-L_{11})\cdot \dots \cdot (x-L_{nn})$.

Επομένως, οι ιδιοτιμές του πίνακα $L$ είναι τα στοιχεία της διαγωνίου του.

• Ένας συμμετρικός τριγωνικός πίνακας είναι διαγώνιος.

Εφαρμογές

Επίλυση γραμμικών εξισώσεων

Έστω ένα σύστημα γραμμικών εξισώσεων που μπορεί να γραφτεί με την μορφή $L𝐱=𝐛$ με αγνώστους $𝐱$. Τότε μπορούμε να βρούμε την λύση του ξεκινώντας βρίσκοντας το $x_1$, μετά το $x_2$ κ.ο.κ., χρησιμοποιώντας τους εξής τύπους:

$x_1=\frac{b_1}{L_{11}}$,

$x_2=\frac{1}{L_{22}}\cdot (b_2-L_{21}{x}_1)$,

$⋮$

$x_n=\frac{1}{L_{nn}}\cdot (b_n-L_{n1}{x}_1-\dots -L_{n(n-1)}{x}_{n-1})$.

Παρατηρήστε ότι στο $i$-οστό βήμα βρίσκουμε την τιμή του $x_i$ χρησιμοποιώντας τις τιμές των $x_1,\dots ,x_{i-1}$ (που έχουμε υπολογίσει στα προηγούμενα βήματα). Ο αλγόριθμος αυτός χρειάζεται συνολικά $𝒪(n^2)$ πράξεις.

Αυστηρά τριγωνικός

Ένας άνω τριγωνικός πίνακας λέγεται αυστηρά άνω τριγωνικός, αν τα στοιχεία της διαγωνίου του είναι μηδέν. Αντίστοιχα, για έναν αυστηρά κάτω τριγωνικό πίνακα.

Δείτε επίσης

• Αποσύνθεση LU