Ανάστροφος πίνακας

Ο ανάστροφος $A^T$ ενός πίνακα $A$ δίνεται από την αντανάκλαση των στοιχείων ως προς την κύρια διαγώνιο του πίνακα. Επαναλαμβάνοντας την διαδικασία στον ανάστροφο πίνακα, λαμβάνουμε τον αρχικό, δλδ $(A^T{)}^T=A$.

Στην γραμμική άλγεβρα, ο ανάστροφος πίνακας $A^T$ ενός πίνακα $A$ δίνεται από την αντανάκλαση των στοιχείων ως προς την κύρια διαγώνιο του πίνακα. Πιο συγκεκριμένα, για έναν $n\times m$ πίνακα $A$ ο ανάστροφός του είναι ο $m\times n$ πίνακας $A^T$, με $(A^T{)}_{ij}=A_{ji}$ για κάθε $1\le i\le n$ και $1\le j\le m$.Πρότυπο:RpΠρότυπο:RpΠρότυπο:RpΠρότυπο:Rp

Για παράδειγμα, για τον πίνακα $A=\left[\begin{array}{cc}1& 2\\ 3& 4\\ 5& 6\end{array}\right]$ με διαστάσεις $3\times 2$ ο ανάστροφός του είναι ο $A^T=\left[\begin{array}{ccc}1& 3& 5\\ 2& 4& 6\end{array}\right]$ με διαστάσεις $2\times 3$.

Στην γενική περίπτωση:

$A=\underset{n\times m}{\underbrace{\left[\begin{array}{cccc}{A}_{11}& A_{12}& \dots & A_{1m}\\ A_{21}& A_{22}& \dots & A_{2m}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ A_{n1}& A_{n2}& \dots & A_{nm}\end{array}\right]}}{A}^T=\underset{m\times n}{\underbrace{\left[\begin{array}{cccc}{A}_{11}& A_{21}& \dots & A_{n1}\\ A_{12}& A_{22}& \dots & A_{n2}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ A_{1m}& A_{2m}& \dots & A_{nm}\end{array}\right]}}.$

Παραδείγματα

• Παρακάτω δίνονται κάποια συγκεκριμένα παραδείγματα πινάκων, μαζί με τον ανάστροφό τους:

$A=\left[\begin{array}{cc}1& 2\\ 3& 4\end{array}\right]A^T=\left[\begin{array}{cc}1& 3\\ 2& 4\end{array}\right]$

$B=\left[\begin{array}{cc}1& 2\end{array}\right]B^T=\left[\begin{array}{c}1\\ 2\end{array}\right]$

$C=\left[\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 4& 5& 6\end{array}\right]C^T=\left[\begin{array}{cc}1& 4\\ 2& 5\\ 3& 6\end{array}\right]$

$D=\left[\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 4& 5& 6\\ 7& 8& 9\end{array}\right]D^T=\left[\begin{array}{ccc}1& 4& 7\\ 2& 5& 8\\ 3& 6& 9\end{array}\right]$

• Ο ανάστροφος του $n\times 1$ διανύσματος στήλης $v$ είναι το $1\times n$ διάνυσμα γραμμής:

$𝐯=\left[\begin{array}{c}{v}_1\\ v_2\\ ⋮\\ v_n\end{array}\right]$ και ${𝐯}^T=\left[\begin{array}{cccc}{v}_1& v_2& \dots & v_n\end{array}\right]$.

• Η αναστροφή του πίνακα γειτνίασης ενός κατευθυνόμενου γράφου αντιστοιχεί στον πίνακα γειτνίασης του γράφου με ακμές που έχουν αντίθετη φορά.

Ιδιότητες

• Ο ανάστροφος του ανάστροφου μας δίνει τον αρχικό πίνακα, $(A^T{)}^T=A$.Πρότυπο:RΠρότυπο:Rp

• Η αναστροφή ενός πίνακα $A\mapsto A^T$ είναι γραμμικός μετασχηματισμός στον χώρο των πινάκων με ίδιες διστάσεις. Δηλαδή για κάθε πίνακες $A$, $B$ διαστάσεων $n\times m$ και κάθε στοιχείο $c$, ισχύει ότι $(cA{)}^T=c{A}^T$ και $(A+B{)}^T=A^T+B^T$.Πρότυπο:RΠρότυπο:RΠρότυπο:R

• Για το γινόμενο δύο πινάκων $A$ και $B$, ισχύει ότι $(AB{)}^T=B^T{A}^T$.Πρότυπο:RΠρότυπο:RΠρότυπο:R

• Για έναν αντιστρέψιμο πίνακα $A$, ισχύει ότι ο ανάστροφός του είναι αντιστρέψιμος και $(A^T{)}^{-1}=(A^{-1}{)}^T$.Πρότυπο:RΠρότυπο:R

• Για έναν τετραγωνικό πίνακα $A$, το ίχνος $\mathrm{tr}(A^T)=\mathrm{tr}(A)$.

• Για την ορίζουσα του αναστρέψιμου πίνακα, $\det (A^T)=\det (A)$.Πρότυπο:RΠρότυπο:R

Σχετικές έννοιες

• Συμμετρικός πίνακας είναι κάθε τετραγωνικός πίνακας $A$ με $A^T=A$.
• Αντισυμμετρικός πίνακας είναι κάθε τετραγωνικός πίνακας $A$ με $A^T=-A$.
• Ορθογώνιος πίνακας είναι κάθε τετραγωνικός πίνακας $A$ με $A^{T}A=A{A}^T$.