Διάταξη

Στα μαθηματικά, μία διάταξη μεγέθους $k$ ενός συνόλου $A$ με $n$ στοιχεία, είναι οποιαδήποτε διατεταγμένη $k$-άδα $(a_1,\dots ,a_k)$, όπου $a_1,\dots ,a_k$ είναι στοιχεία του $A$ και διαφορετικά μεταξύ τους.Πρότυπο:Rp

Για παράδειγμα, για το σύνολο $A=\{\alpha ,\beta ,\gamma ,\delta \}$, οι δυνατές διατάξεις μεγέθους $2$ είναι οι εξής:

$(\alpha ,\beta )$, $(\alpha ,\gamma )$, $(\alpha ,\delta )$, $(\beta ,\gamma )$, $(\beta ,\delta )$, $(\gamma ,\delta )$,

$(\beta ,\alpha )$, $(\gamma ,\alpha )$, $(\delta ,\alpha )$, $(\gamma ,\beta )$, $(\delta ,\beta )$, $(\delta ,\gamma )$.

Μερικές από τις δυνατές διατάξεις μεγέθους $3$ είναι οι εξής: $(\alpha ,\delta ,\gamma )$, $(\gamma ,\beta ,\alpha )$ και $(\alpha ,\beta ,\gamma )$. Ενώ οι τριάδες $(\alpha ,\beta ,\alpha )$ και $(\delta ,\delta ,\alpha )$ δεν είναι διατάξεις, καθώς επαναλαμβάνουν στοιχεία.

Στις διατάξεις με επανάληψη, τα στοιχεία της $k$-άδας μπορεί να είναι τα ίδια. Στους συνδυασμούς $n$ ανά $k$, η σειρά των στοιχείων της $k$-άδας δεν έχει σημασία.

Πλήθος διατάξεων

Το πλήθος των διατάξεων $n$ στοιχείων ανά $k$ δίνεται από τον εξής τύπο:

$(n{)}_k=n\cdot (n-1)\cdot \dots \cdot (n-k+1)$.

Η απόδειξη για αυτόν τον τύπο βασίζεται στις εξής παρατηρήσεις:

• Για την πρώτη θέση υπάρχουν $n$ δυνατά στοιχεία που μπορούμε να τοποθετήσουμε,
• Για την δεύτερη θέση υπάρχουν $n-1$ δυνατά στοιχεία (όλα εκτός από αυτό που τοποθετήσαμε στην πρώτη θέση),
• Για την τρίτη θέση υπάρχουν $n-2$ δυνατά στοιχεία
• $\dots$
• Για την $k$-οστή θέση, υπάρχουν $n-k+1$ δυνατά στοιχεία.

Από την αρχή του γινομένου, πολλαπλασιάζοντας τις δυνατές επιλογές σε κάθε βήμα λαμβάνουμε το ζητούμενο πλήθος των δυνατών διατάξεων.

Υπενθυμίζοντας ότι το $n$ παραγοντικό ορίζεται ως

$n!=n\cdot (n-1)\cdot \dots \cdot 2\cdot 1$,

το πλήθος των διατάξεων μπορεί να εκφραστεί ως

$(n{)}_k=\frac{n!}{(n-k)!}.$

Για $n=k$, οι διατάξεις $n$ ανά $n$ είναι οι μεταθέσεις και το πλήθος τους είναι $n!$.

Δείτε επίσης

• Διάταξη με επανάληψη
• Μετάθεση (μαθηματικά)
• Συνδυασμός