Σύμβολο μετάθεσης

Το σύμβολο μετάθεσης, σε τρεις διαστάσεις.

Στα μαθηματικά, το σύμβολο μετάθεσης (ή μετάταξης, επίσης γνωστό ως σύμβολο του Levi-Civita ή αντισυμμετρικό σύμβολο) είναι ένα μαθηματικό σύμβολο που συναντάται συχνά στον τανυστικό λογισμό.

Ορισμός

Το σύμβολο μετάθεσης συναντάται κυρίως στις τρεις, στις τέσσερις και σε κάποιο βαθμό στις δύο διαστάσεις. Ωστόσο, ο ορισμός του συμβόλου μετάθεσης γενικεύεται για οποιαδήποτε διάσταση.

Δύο διαστάσεις

Το διδιάστατο σύμβολο Levi-Civita ορίζεται ως:

${\epsilon }_{ij}=\{\begin{array}{cc}+1& \text{αν }(i,j)=(1,2)\\ -1& \text{αν }(i,j)=(2,1)\\ 0& \text{αν }i=j\end{array}$

Οι τιμές μπορούν να διαταχθούν σε έναν 2 × 2 αντισυμμετρικό πίνακα:

$\left(\begin{array}{cc}{\epsilon }_{11}& {\epsilon }_{12}\\ {\epsilon }_{21}& {\epsilon }_{22}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ -1& 0\end{array}\right)$

Η χρήση του διδιάστατου συμβόλου είναι σχετικά ασυνήθιστη, παρόλα αυτά, σε ορισμένες εξεζητημένες περιοχές όπως η υπερσυμμετρία και στη θεωρία twistor εμφανίζεται στο πλαίσιο των 2-σπινόρων. Τα σύμβολα Levi-Civita χρησιμοποιούνται ευρύτερα στις τρεις ή περισσότερες διαστάσεις.

Τρεις διαστάσεις

Το σύμβολο μετάθεσης στην τριδιάστατη εκδοχή του ((i,j,k)={1,2,3}) ορίζεται μαθηματικά με τον ακόλουθο τρόπο:

${ϵ}_{ijk}=\{\begin{array}{cc}+1,& \alpha \nu (i,j,k)=(1,2,3),(3,1,2)\acute{\eta }(2,3,1)\\ -1,& \alpha \nu (i,j,k)=(1,3,2),(2,1,3)\acute{\eta }(3,2,1)\\ 0,& \alpha \nu i=j,i=k\acute{\eta }j=k\end{array}$

Δηλαδή, το σύμβολο μετάθεσης ε_ijk ισούται με μονάδα αν η τριάδα (i,j,k) είναι μία άρτια μετάθεση (ή μετάταξη) των (1,2,3), -1 στην περίπτωση που είναι περιττή μετάθεση αυτών και 0 όταν οποιοσδήποτε από τους δείκτες επαναλαμβάνεται.

Η τιμή του συμβόλου μετάταξης συναρτήσει των τιμών των δεικτών i,j,k δίνεται από τον τύπο:

${ϵ}_{ijk}=\frac{(i-j)(j-k)(k-i)}{2}$

Κατ' αναλογία με τους πίνακες δύο διαστάσεων, οι τιμές του τριδιάστατου συμβόλου Levi-Civita μπορούν να παρασταθούν σε μια διάταξη Πρότυπο:Nowrap:

όπου Πρότυπο:Mvar είναι το βάθος (μπλε, Πρότυπο:Mvar=1; κόκκινο, Πρότυπο:Mvar=2; πράσινο, Πρότυπο:Mvar=3), Πρότυπο:Mvar η σειρά and Πρότυπο:Mvar η στήλη.

Μερικά παραδείγματα:

$\begin{array}{cc}{\epsilon }_{132}=-{\epsilon }_{123}& =-1\\ {\epsilon }_{312}=-{\epsilon }_{213}& =-(-{\epsilon }_{123})=1\\ {\epsilon }_{231}=-{\epsilon }_{132}& =-(-{\epsilon }_{123})=1\\ {\epsilon }_{232}=-{\epsilon }_{232}& =0\end{array}$

Τέσσερις διαστάσεις

Στις τέσσερις διαστάσεις, το σύμβολο Levi-Civita ορίζεται ως:

${\epsilon }_{ijkl}=\{\begin{array}{cc}+1& \text{αν }(i,j,k,l)\text{ είναι άρτια μετάθεση των }(1,2,3,4)\\ -1& \text{αν }(i,j,k,l)\text{ είναι περιττή μετάθεση των }(1,2,3,4)\\ 0& \text{διαφορετικά}\end{array}$

Αυτές οι τιμές μπορούν να παρασταθούν σε μια Πρότυπο:Nowrap διάταξη, παρόλα αυτά στις 4 ή ανώτερες διαστάσεις, αυτό δύσκολα μπορεί να σχεδιαστεί.

Μερικά παραδείγματα:

$\begin{array}{cc}{\epsilon }_{1432}=-{\epsilon }_{1234}& =-1\\ {\epsilon }_{2134}=-{\epsilon }_{1234}& =-1\\ {\epsilon }_{4321}=-{\epsilon }_{1324}& =-(-{\epsilon }_{1234})=1\\ {\epsilon }_{3243}=-{\epsilon }_{3243}& =0\end{array}$

Γενίκευση στις Πρότυπο:Mvar διαστάσεις

Το σύμβολο μετάθεσης Levi-Civita μπορεί να γενικευθεί στις Πρότυπο:Mvar διαστάσεις:

${\epsilon }_{a_1{a}_2{a}_3\dots a_n}=\{\begin{array}{cc}+1& \text{αν }(a_1,a_2,a_3,\dots ,a_n)\text{ είναι άρτια μετάθεση των }(1,2,3,\dots ,n)\\ -1& \text{αν }(a_1,a_2,a_3,\dots ,a_n)\text{ είναι περιττή μετάθεση των }(1,2,3,\dots ,n)\\ 0& \text{διαφορετικά}\end{array}$

Έτσι, πρόκειται για το πρόσημο της μετάθεσης, στη περίπτωση της μετάθεσης και μηδέν σε κάθε άλλη περίπτωση.

Χρησιμοποιώντας το συμβολισμό του πολλαπλασιασμού Πρότυπο:Math για το συνήθη πολλαπλασιασμό αριθμών, μπορεί να διατυπωθεί μια πολύ σαφής έκφραση:

$\begin{array}{cc}{\epsilon }_{a_1{a}_2{a}_3\dots a_n}& =\prod _{1\le i<j\le n}\mathrm{sgn}(a_j-a_i)\\ & =\mathrm{sgn}(a_2-a_1)\mathrm{sgn}(a_3-a_1)\dots \mathrm{sgn}(a_n-a_1)\mathrm{sgn}(a_3-a_2)\mathrm{sgn}(a_4-a_2)\dots \mathrm{sgn}(a_n-a_2)\dots \mathrm{sgn}(a_n-a_{n-1})\end{array}$

όπου το γινόμενο είναι συνολικά αντισυμμετρικό σε όλους τους δείκτες και το σύμβολο Πρότυπο:Math υποδηλώνει τη συνάρτηση προσήμου, η οποία εξάγει το πρόσημο κάθε διαφοράς, απορρίπτοντας τις απόλυτες τιμές. Ο τύπος ισχύει για κάθε τιμή δείκτη και για κάθε Πρότυπο:Mvar (όταν Πρότυπο:Mvar = 0 ή 1, τότε πρόκειται για το "άδειο" γινόμενο (empty product). Ωστόσο, το να υπολογίσει κανείς αφελώς την παραπάνω έκφραση, απαιτείται χρονική πολυπλοκότητα τάξης Πρότυπο:Math, ενώ, χρησιμοποιώντας διακριτούς κύκλους μετάθεσης (disjoint cycles), απαιτείται ένα κόστος τάξης μόλις Πρότυπο:Math.

Ιδιότητες

Σε δύο διαστάσεις ((i,j)={1,2}), το σύμβολο μετάθεσης ικανοποιεί τις παρακάτω ιδιότητες:

$\begin{array}{cc}{ϵ}_{ij}{ϵ}_{mn}& ={\delta }_{im}{\delta }_{jn}-{\delta }_{in}{\delta }_{jm}\\ {ϵ}_{ij}{ϵ}_{in}& ={\delta }_{jn}\\ {ϵ}_{ij}{ϵ}_{ij}& =2\end{array}$

Αντίστοιχα σε τρεις διαστάσεις ((i,j,k)={1,2,3}),

$\begin{array}{cc}{ϵ}_{ijk}{ϵ}_{mnk}& ={\delta }_{im}{\delta }_{jn}-{\delta }_{in}{\delta }_{jm}\\ {ϵ}_{imn}{ϵ}_{jmn}& =2{\delta }_{ij}\\ {ϵ}_{ijk}{ϵ}_{ijk}& =6\end{array}$

Σε όλες τις παραπάνω σχέσεις το σύμβολο δ αναφέρεται στο δέλτα του Κρόνεκερ, ενώ υπονοείται κάθε φορά η σύμβαση άθροισης του Αϊνστάιν.

Χρήσεις

Διανυσματικός λογισμός

Στον διανυσματικό λογισμό, το εξωτερικό γινόμενο μεταξύ δύο διανυσμάτων Α=(a₁,a₂,a₃) και Β=(b₁,b₂,b₃) μπορεί να γραφτεί υπό μορφή ορίζουσας πίνακα ως εξής:

$𝐀\times 𝐁=\left|\begin{array}{ccc}{𝐞}_1& {𝐞}_2& {𝐞}_3\\ a_1& a_2& a_3\\ b_1& b_2& b_3\end{array}\right|$

όπου (e₁,e₂,e₃) μία βάση ορθομοναδιαίων διανυσμάτων. Βάσει του ορισμού του συμβόλου μετάθεσης, η παραπάνω σχέση μπορεί να γραφτεί επίσης κατά τον ακόλουθο συμπαγή τρόπο:

$𝐀\times 𝐁={ϵ}_{ijk}{𝐞}_i{a}_j{b}_k$

Εν γένει, αν C=A×B (όπου C=(c₁,c₂,c₃)) τότε:

$c_i={ϵ}_{ijk}{a}_j{b}_k$

Δείτε επίσης

• Δέλτα του Κρόνεκερ

Πηγές

• Πρότυπο:Cite web