Δέλτα του Κρόνεκερ

Στα μαθηματικά, το δέλτα του Κρόνεκερ (ή αλλιώς σύμβολο του Κρόνεκερ) είναι η διακριτή εκδοχή της συνάρτησης δέλτα του Ντιράκ.

Αυστηρότερα, το δέλτα του Κρόνεκερ ορίζεται με τον εξής τρόπο:Πρότυπο:RpΠρότυπο:RpΠρότυπο:Rp

${\delta }_{ij}=\{\begin{array}{cc}0,& \text{αν }i\ne j,\\ 1,& \text{αν }i=j,\end{array}$

για φυσικούς αριθμούς $i,j$.

Μιγαδική ανάλυση

Στα πλαίσια της μιγαδικής ανάλυσης, το δέλτα του Κρόνεκερ μπορεί να αναπαρασταθεί υπό τη μορφή του παρακάτω ολοκληρώματος βρόχου:

${\delta }_{mn}=\frac{1}{2\pi i}{\oint }_C{z}^{m-n-1}dz.$

όπου $m$, $n$ ακέραιοι και $i$ η φανταστική μονάδα. Ο βρόχος $C$ ταυτίζεται με τον μοναδιαίο κύκλο.

Γραμμική άλγεβρα

Στα πλαίσια της γραμμικής άλγεβρας, το δέλτα του Κρόνεκερ μπορεί να αναπαρασταθεί υπό τη μορφή ενός συμμετρικού πίνακα διάστασης $N\times N$ όπου $N$ είναι ο συνολικός αριθμός των (θετικών) ακεραίων τιμών που μπορούν να πάρουν οι δείκτες.

Συγκεκριμένα, για $i,j=1,2,3$ τότε το δέλτα του Κρόνεκερ μπορεί να αναπαρασταθεί υπό τη μορφή ενός πίνακα $3\times 3$:

${\delta }_{ij}=\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right].$

Στην αναπαράσταση πίνακα λοιπόν, το δέλτα του Κρόνεκερ ταυτίζεται με τον μοναδιαίο πίνακα.

Ιδιότητες

Σε τρεις διαστάσεις ($i,j,k=1,2,3$) το δέλτα του Κρόνεκερ παρουσιάζει τις παρακάτω ιδιότητες:Πρότυπο:R

• ${\delta }_{ii}=3$
• ${\delta }_{ij}{ϵ}_{ijk}=0$
• ${ϵ}_{ipq}{ϵ}_{jpq}=2{\delta }_{ij}$
• ${ϵ}_{ijk}{ϵ}_{pqk}={\delta }_{ip}{\delta }_{jq}-{\delta }_{iq}{\delta }_{jp}$

όπου ${ϵ}_{ijk}$ το σύμβολο μετάθεσης. Σε όλες τις παραπάνω σχέσεις έγινε χρήση της σύμβασης άθροισης του Αϊνστάιν.