Πολυωνυμική κατανομή

Πολυωνυμική Κατανομή

Παράμετροι	$n\in \mathbb{N}$ (πλήθος δειγμάτων) $k\in \mathbb{N}$ (πλήθος αποτελεσμάτων) $p_1,\dots ,p_k\ge 0$ με ${\sum }_{i=1}^k{p}_i=1$.
Φορέας	$\{(x_1,\dots ,x_k)\in {\mathbb{N}}^k\mid {\sum }_{i=1}^k{x}_i=n\}$
Συνάρτηση Μάζας Πιθανότητας	$\frac{n!}{x_1!x_2!\dots x_k!}\cdot p_1^{x_1}\cdot \dots \cdot p_k^{x_k}$
Μέσος	$\mathrm{E}[X_i]=n\cdot p_i$
Διακύμανση	$\mathrm{V}[X_i]=n\cdot p_i\cdot (1-p_i)$ $\mathrm{Cov}(X_i,X_j)=-n{p}_i{p}_j$ για $i\ne j$
Εντροπία	$-{\log }_2(n!)-n\cdot {\sum }_{i=1}^n{p}_i{\log }_2{p}_i$ $+{\sum }_{i=1}^k{\sum }_{x_i=0}^n(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{x_i})p_i^{x_i}\cdot (1-p{)}^{n-x_i}{\log }_2(x_i!)$
Πιθανογεννήτρια	${\left(\sum _{i=1}^k{p}_i{t}_i\right)}^n$
Χαρακτηριστική	${(\sum _{i=1}^k{p}_i\cdot e^{t_i})}^n$

Στην θεωρία πιθανοτήτων και τη στατιστική, η πολυωνυμική κατανομή είναι η γενίκευση της διωνυμικής κατανομής, όπου υπάρχουν $n$ επαναλήψεις ενός πειράματος με $k$ πιθανά αποτελέσματα. Πιο συγκεκριμένα, δίνει την πιθανότητα για κάθε δυνατό πλήθος αποτελεσμάτων $(x_1,\dots ,x_k)\in {\mathbb{N}}^n$.

Ανάλυση παραμέτρων

Η πολυωνυμική κατανομή εξετάζει τη συνδυαστική πιθανότητα να συμβούν ταυτόχρονα μια σειρά από k ενδεχόμενα Ε₁, Ε₂, …, Ε_k, σε n επαναλήψεις μιας τυχαίας διαδικασίας, το καθένα εκ των οποίων έχει τη δική του πιθανότητα p₁, p₂, …, p_k να πραγματοποιηθεί σε μία εκτέλεση της διαδικασίας. Συμβολίζουμε με x₁, x₂, …, x_k, τον ακριβή αριθμό των φορών που ζητάμε να εμφανισθεί το κάθε ενδεχόμενο.

Ισχύουν οι παρακάτω σχέσεις:

$\sum _{i=1}^k{p}_i=1$ και $\sum _{i=1}^k{x}_i=n$

Η πιθανότητα να εμφανισθεί το κάθε ενδεχόμενο όσες φορές ακριβώς ορίσαμε, δίνεται από τον τύπο:

$\mathrm{P}(X_1=x_1,\dots ,X_n=x_n)=\frac{n!}{x_1!x_2!\dots x_k!}\cdot p_1^{x_1}{p}_2^{x_2}\dots p_k^{x_k}$.

Παραδείγματα

Έστω ότι έχουμε ένα δοχείο με $n=22$ μπάλες, $9$ κόκκινες, $7$ μαύρες και $6$ μπλε. Τότε αν διαλέξουμε $k=3$ μπάλες (με αντικατάσταση), τότε η κατανομή είναι πολυωνυμική με παραμέτρους

$(p_1,p_2,p_3)=(\frac{9}{22},\frac{7}{22},\frac{6}{22})$,

και λαμβάνουμε τις εξής πιθανότητες για τα ενδεχόμενα:

Αποτέλεσμα	Πιθανότητα
$(3,0,0)$	$\frac{3!}{3!0!0!}\cdot {\left(\frac{9}{22}\right)}^3\approx 0.0684$
$(0,3,0)$	$\frac{3!}{0!3!0!}\cdot {\left(\frac{7}{22}\right)}^3\approx 0.0322$
$(0,0,3)$	$\frac{3!}{0!0!3!}\cdot {\left(\frac{6}{22}\right)}^3\approx 0.0202$
$(1,2,0)$	$\frac{3!}{1!2!0!}\cdot {\left(\frac{9}{22}\right)}^1\cdot {\left(\frac{7}{22}\right)}^2\approx 0.0912$
$(1,0,2)$	$\frac{3!}{1!0!2!}\cdot {\left(\frac{9}{22}\right)}^1\cdot {\left(\frac{6}{22}\right)}^2\approx 0.1242$
$(2,1,0)$	$\frac{3!}{2!1!0!}\cdot {\left(\frac{9}{22}\right)}^2\cdot {\left(\frac{7}{22}\right)}^1\approx 0.159$
$(0,1,2)$	$\frac{3!}{0!1!2!}\cdot {\left(\frac{7}{22}\right)}^1\cdot {\left(\frac{6}{22}\right)}^2\approx 0.070$
$(2,0,1)$	$\frac{3!}{2!0!1!}\cdot {\left(\frac{9}{22}\right)}^2\cdot {\left(\frac{6}{22}\right)}^1\approx 0.136$
$(0,2,1)$	$\frac{3!}{0!2!1!}\cdot {\left(\frac{7}{22}\right)}^2\cdot {\left(\frac{6}{22}\right)}^1\approx 0.0828$
$(1,1,1)$	$\frac{3!}{1!1!1!}\cdot {\left(\frac{9}{22}\right)}^1\cdot {\left(\frac{7}{22}\right)}^1\cdot {\left(\frac{6}{22}\right)}^1\approx 0.212$

Δοχείο με $22$ μπάλες εκ των οποίων οι $9$ είναι κόκκινες, $7$ μαύρες και $6$ μπλε.

Η πολυωνυμική κατανομή μπορεί να χρησιμοποιηθεί για να μοντελοποιήσει τα εξής:

• Οι ταξιδιωτικοί προορισμοί των $n$ κατοίκων της χώρας μας στο εσωτερικό με την κατηγοριοποίησή τους στους εξής $k$ προορισμούς: Κυκλάδες, Σποράδες, Δωδεκάνησα, Επτάνησα, Ζαγοροχώρια, Ορεινή Ναυπακτία, Πήλιο, Αράχωβα και Καλάβρυτα.

• Η εξέταση ανάπτυξης του κλάδου επιχειρήσεων ανάλογα με την γεωγραφική περιοχή και την μορφολογία του εδάφους, που μπορεί να είναι καλλιέργεια εσπεριδοειδών ή οσπρίων, δημιουργία φάρμας, εξόρυξη μετάλλων.

Μέση τιμή

Η περιθωριακή κατανομή του $X_i$ είναι διωνυμική με παραμέτρους $n\in \mathbb{N}$ και $p_i\in [0,1]$. Επομένως, η μέση τιμή του $X_i$, δίνεται από τον τύπο

$\mathrm{E}[X_i]=n\cdot p_i$.

Διακύμανση

Αντίστοιχα, η διακύμανση του $X_i$ δίνεται από τον τύπο

$\mathrm{V}[X_i]=n\cdot p_i\cdot (1-p_i)$.

Συνδιακύμανση

Από τον ορισμό της συνδιακύμανσης για $X_i$ και $X_j$ με $i\ne j$, έχουμε ότι

$\mathrm{Cov}(X_i,X_j)=\mathrm{E}[X_i{X}_j]-\mathrm{E}[X_i]\cdot \mathrm{E}[X_j].$

Από τον νόμο της ολικής πιθανότητας, και αφού η τυχαία μεταβλητή $Y=(X_i\mid X_j=k)$ είναι $𝖡𝗂𝗇(n-k,p_i/(1-p_j))$, έχουμε ότι

$\begin{array}{cc}\mathrm{E}[X_i{X}_j]& =\sum _{k=0}^n\mathrm{E}[X_i\mid X_j=k]\cdot \mathrm{P}(X_j=k)\\ & =\sum _{k=0}^n(n-k)\cdot \frac{p_i}{1-p_j}\cdot k\cdot (\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})p_j^k\cdot (1-p_j{)}^{n-k}\\ & =\sum _{k=0}^n(n-k)\cdot \frac{p_i}{1-p_j}\cdot k\cdot (\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})p_j^k\cdot (1-p_j{)}^{n-k}\\ & =n\cdot \frac{p_i}{1-p_j}\cdot \sum _{k=0}^n(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})p_j^k\cdot (1-p_j{)}^{n-k}-\frac{p_i}{1-p_j}\cdot \sum _{k=0}^n(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})p_j^k\cdot (1-p_j{)}^{n-k}\cdot k\\ & =n\cdot \frac{p_i}{1-p_j}\cdot \sum _{k=0}^n\mathrm{P}(X_j=k)\cdot k-p_i\cdot \sum _{k=0}^n\mathrm{P}(X_j=k)\cdot k^2\\ & =n\cdot \frac{p_i}{1-p_j}\cdot (n\cdot p_j+n\cdot (n-1)\cdot p_j^2+n\cdot p_j)\\ & =n^2\cdot p_i\cdot p_j-n\cdot p_i\cdot p_j.\end{array}$

Επομένως,

$\mathrm{Cov}(X_i,X_j)=n^2\cdot p_i\cdot p_j-n\cdot p_i\cdot p_j-n^2\cdot p_i\cdot p_j=-n\cdot p_i\cdot p_j.$

Δείτε επίσης

• Διωνυμική κατανομή
• Υπεργεωμετρική κατανομή