Υπεργεωμετρική κατανομή

Παράδειγμα δείγματος από την υπεργεωμετρική κατανομή με

N = 22

,

K = 11

και

n = 3

. Παρατηρήστε ότι η δειγματοληψία γίνεται χωρίς επανατοποθέτηση.

Υπεργεωμετρική Κατανομή
Συμβολισμός	$𝖧 (N, K, n)$
Παράμετροι	$N \in ℕ$ (το μέγεθος του πληθυσμού) $K \in {0, 1, \dots, N}$ (το πλήθος των επιτυχιών) $n \in {0, 1, \dots, N}$ (το πλήθος των δειγμάτων)
Φορέας	$k \in {\max (0, n + K - N), \dots, \min (n, k)}$
Συνάρτηση Μάζας Πιθανότητας	$\frac{(\binom{K}{k}) \cdot (\binom{N - K}{n - k})}{(\binom{N}{n})}$
Μέσος	$n \cdot \frac{K}{N}$
Επικρατούσα τιμή	$⌈ \frac{(n + 1) \cdot (K + 1)}{N + 2} ⌉ - 1$ , $⌊ \frac{(n + 1) \cdot (K + 1)}{N + 2} ⌋$
Διακύμανση	$n \cdot \frac{K}{N} \cdot \frac{N - K}{N} \cdot \frac{N - n}{N - 1}$

Η υπεργεωμετρική κατανομή είναι μια διακριτή συνάρτηση κατανομής τυχαίας μεταβλητής που δίνει το πλήθος των επιτυχιών σε $n$ δείγματα (χωρίς επανάληψη) σε έναν πεπερασμένο πληθυσμό μεγέθους $N$ , εκ των οποίων τα $K$ είναι επιτυχίες.

Η κατανομή γίνεται εύκολα κατανοητή με την περιγραφή της μέσω ενός μοντέλου με κάλπες. Θεωρούμε μια κάλπη με $K$ πράσινες μπάλες (επιτυχίες) και $N - K$ κόκκινες (αποτυχίες). Από την κάλπη παίρνουμε χωρίς επανατοποθέτηση $n$ μπάλες. Η υπεργεωμετρική κατανομή μας δίνει την πιθανότητα $k$ από αυτές να είναι πράσινες.

Ορισμός

Η πιθανότητα να υπάρχουν $k \in {\max (0, n + K - N), \dots, \min (n, k)}$ επιτυχίες είναι:^[1]^[2]^[3]^[4]

P (X = k) = \frac{(\binom{K}{k}) \cdot (\binom{N - K}{n - k})}{(\binom{N}{n})},

όπου $(\binom{x}{y})$ είναι ο διωνυμικός συντελεστής.

Από την ταυτότητα Βαντερμόντ προκύπτει ότι ο παραπάνω ορισμός δίνει μία έγκυρη συνάρτηση πιθανότητας.

Παραδείγματα

Παράδειγμα 1ο

Αν έχουμε $N = 6$ μπάλες εκ των οποίων οι $K = 2$ είναι πράσινες, τότε οι πιθανότητες να διαλέξουμε $k = 0, 1, 2$ πράσινες σε δύο δείγματα δίνονται ως εξής:

Πλήθος επιτυχιών	Δείγματα	Πιθανότητα
$X = 0$	$R_{1} R_{2}$ $R_{1} R_{3}$ $R_{1} R_{4}$ $R_{2} R_{3}$ $R_{2} R_{4}$ $R_{3} R_{4}$	$\frac{6}{15}$
$X = 1$	$Π_{1} R_{1}$ $Π_{2} R_{1}$ $Π_{1} R_{2}$ $Π_{2} R_{2}$ $Π_{1} R_{3}$ $Π_{2} R_{3}$ $Π_{1} R_{4}$ $Π_{2} R_{4}$	$\frac{8}{15}$
$X = 2$	$Π_{1} Π_{2}$	$\frac{1}{15}$

Παράδειγμα 2ο

Για $X \sim 𝖧 (22, 11, 3)$ έχουμε ότι

P (X = 2) = \frac{(\binom{11}{2}) \cdot (\binom{11}{1})}{(\binom{22}{2})} = \frac{11}{84} .

Μέση τιμή

Έστω $X \sim 𝖧 (N, K, n)$ , τότε μπορούμε να γράψουμε $X = \sum_{i = 1}^{n} X_{i}$ , όπου $X_{i}$ είναι η δείκτρια τυχαία μεταβλητή για το γεγονός

ℰ_{i} = {

Το

i

-οστό δείγμα ήταν επιτυχία

}

.

Αφού υπάρχουν $K$ επιτυχίες συνολικά, έχουμε ότι

P (ℰ_{i}) = \frac{K}{N} .

Από την γραμμικότητα της αναμενόμενης τιμής, έχουμε ότι

E [X] = E [\sum_{i = 1}^{n} X_{i}] = \sum_{i = 1}^{n} E [X_{i}] = n \cdot \frac{K}{N} .

Διακύμανση

Όπως και για την μέση τιμή, γράφουμε $X = \sum_{i = 1}^{n} X_{i}$ . Τότε από την ταυτότητα Bienaymé, έχουμε για την διακύμανση ότι

Για την διακύμανση, από την κατανομή Μπερνούλλι, έχουμε ότι

Πρότυπο:NumBlk

Για την συνδιακύμανση, έχουμε ότι

Cov [X_{i}, X_{j}] = E [X_{i} X_{j}] - E [X_{i}] \cdot E [X_{j}] .

Για τον πρώτο όρο, έχουμε

E [X_{i} X_{j}] = E [X_{i} | X_{j} = 1] \cdot P (X_{j} = 1) = \frac{K - 1}{N - 1} \cdot \frac{k}{N} .

Επομένως,

Cov [X_{i}, X_{j}] = \frac{K}{N} \cdot \frac{K}{N} - \frac{K - 1}{N - 1} \cdot \frac{K}{N} = \frac{K}{N} \cdot (\frac{K}{N} - \frac{K - 1}{N - 1}) = \frac{K \cdot (N - K)}{N^{2} \cdot (N - 1)} .

Επιστρέφοντας στην (Πρότυπο:EquationNote), λαμβάνουμε ότι

\begin{matrix} Var [X] & = n \cdot \frac{K}{N} \cdot (1 - \frac{K}{N}) + n \cdot (n - 1) \cdot \frac{K \cdot (N - K)}{N^{2} \cdot (N - 1)} \\ = n \cdot \frac{K}{N} \cdot \frac{N - K}{N} \cdot \frac{N - n}{N - 1} . \end{matrix}

Επικρατούσα τιμή

Η επικρατούσα τιμή της κατανομής δίνεται από το $⌊ v ⌋$ ή $⌈ v ⌉ - 1$ , όπου

v = \frac{(n + 1) \cdot (K + 1)}{N + 2} .

Ο λόγος είναι ότι $P (X = k) > P (X = k - 1)$ αν και μόνο αν $k < v$ , καθώς

\begin{matrix} \frac{P (X = k)}{P (X = k - 1)} > 1 & \Leftrightarrow \frac{\frac{K!}{k! (K - k)!} \cdot \frac{(N - K)!}{(N - k)! (N - K - n + k)!}}{\frac{K!}{(k - 1)! (K - k + 1)!} \cdot \frac{(N - K)!}{(n - k + 1)! \cdot (N - K - n + k - 1)!}} > 1 \\ \Leftrightarrow \frac{K - k + 1}{k} \cdot \frac{n - k + 1}{N - K - n + k} > 1 \\ \Leftrightarrow k < \frac{(n + 1) \cdot (K + 1)}{N + 2} \end{matrix}

Ανισότητες

Για $X \sim 𝖧 (N, K, n)$ έχουμε ότι για $p = \frac{K}{N}$ και κάθε $t \geq 0$ ,^[5]

P (X \geq (p + t) \cdot n) \leq {((\frac{p}{p + t}) \cdot {(\frac{1 - p}{1 - p - t})}^{1 - p - t})}^{n} \leq e^{- 2 t^{2} n} .

Δείτε επίσης

Παραπομπές

Πρότυπο:Μαθηματικά-επέκταση

[1] Πρότυπο:Cite journal

[2] Πρότυπο:Cite web

[3] Πρότυπο:Cite web

[4] Πρότυπο:Cite web

[5] Πρότυπο:Cite journal

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

Υπεργεωμετρική κατανομή

Περιεχόμενα

Ορισμός

Παραδείγματα

Παράδειγμα 1ο

Παράδειγμα 2ο

Μέση τιμή

Διακύμανση

Επικρατούσα τιμή

Ανισότητες

Δείτε επίσης

Παραπομπές

Μενού πλοήγησης

Υπεργεωμετρική κατανομή

Ορισμός

Παραδείγματα

Παράδειγμα 1ο

Παράδειγμα 2ο

Μέση τιμή

Διακύμανση

Επικρατούσα τιμή

Ανισότητες

Δείτε επίσης

Παραπομπές

Μενού πλοήγησης

Αναζήτηση