Ταυτότητα Bienaymé

Στην θεωρία πιθανοτήτων η ταυτότητα Bienaymé αναφέρεται στην μαθηματική ταυτότητα για τη διακύμανση του αθροίσματος $n$ τυχαίων μεταβλητώνΠρότυπο:RpΠρότυπο:Rp

$\mathrm{Var}\left(\sum _{i=1}^n{X}_i\right)=\sum _{i=1}^n\mathrm{Var}(X_i)+\sum _{i\ne j}\mathrm{Cov}(X_i,X_j),$

όπου $\mathrm{Cov}(X,Y)$ είναι η συνδιακύμανση των $X$ και $Y$.

Όταν οι τυχαίες μεταβλητές είναι ανεξάρτητες, τότε η ταυτότητα απλοποιείται ως εξής

$\mathrm{Var}\left(\sum _{i=1}^n{X}_i\right)=\sum _{i=1}^n\mathrm{Var}(X_i).$

Παραδείγματα

• Για $n=2$, η ταυτότητα έχει τη μορφή

$\mathrm{Var}(X_1+X_2)=\mathrm{Var}(X_1)+\mathrm{Var}(X_2)+2\mathrm{Cov}(X_1,X_2).$

• Για $n=3$, η ταυτότητα έχει τη μορφή

$\mathrm{Var}(X_1+X_2+X_3)=\mathrm{Var}(X_1)+\mathrm{Var}(X_2)+\mathrm{Var}(X_3)+2\mathrm{Cov}(X_1,X_2)+2\mathrm{Cov}(X_1,X_3)+2\mathrm{Cov}(X_2,X_3).$

Δείτε επίσης

• Διακύμανση
• Ανισότητα Τσεμπισιόφ
• Συνδιακύμανση