Λογισμός των μεταβολών

Ο λογισμός των μεταβολών ή μεταβολικός λογισμός είναι κλάδος της μαθηματικής ανάλυσης που ασχολείται με τη μεγιστοποίηση ή την ελαχιστοποίηση συναρτησιακών ή συναρτησοειδών, τα οποία είναι απεικονίσεις από ένα σύνολο συναρτήσεων στους πραγματικούς αριθμούς. Τα συναρτησιακά συχνά εκφράζονται ως ορισμένα ολοκληρώματα συναρτήσεων και παραγώγων αυτών. Στο λογισμό των μεταβολών το ενδιαφέρον μας στρέφεται γύρω από τις ακρότατες συναρτήσεις, που είναι εκείνες για τις οποίες το συναρτησιακό λαμβάνει μέγιστη ή ελάχιστη τιμή, ή γύρω από τις στάσιμες συναρτήσεις, για τις οποίες η τιμή του συναρτησιακού παραμένει αμετάβλητη.

Εισαγωγικά

Ένα απλό παράδειγμα ενός τέτοιου προβλήματος είναι η εύρεση της καμπύλης βραχύτερου μήκους που συνδέει δυο σημεία. Απουσία περιορισμών, η λύση είναι προφανώς το ευθύγραμμο τμήμα που ενώνει τα δύο σημεία. Ωστόσο, αν η καμπύλη πρέπει να κείται σε δεδομένη επιφάνεια στο χώρο, τότε η λύση είναι λιγότερο προφανής και πιθανώς να υπάρχουν πολλές λύσεις. Τέτοιες λύσεις είναι γνωστές ως γεωδαισιακές. Ένα σχετικό πρόβλημα ανακύπτει από την αρχή του Φερμά το φως ακολουθεί τη διαδρομή του ελάχιστου οπτικού μήκους που συνδέει δυο σημεία, όπου το οπτικό μήκος εξαρτάται από τις φυσικές ιδιότητες του μέσου. Μία αντίστοιχη έννοια στη μηχανική είναι η αρχή της ελαχίστης δράσης.

Πολλά σημαντικά προβλήματα περιέχουν συναρτήσεις πολλών μεταβλητών. Οι λύσεις των προβλημάτων συνοριακών τιμών για την Εξίσωση Λαπλάς ικανοποιούν την αρχή του Ντίριχλετ. Το πρόβλημα του Plateau απαιτεί την εύρεση επιφάνειας ελαχίστου εμβαδού με δεδομένο σύνορο στο χώρο· συνήθως η λύση (ή μία από τις λύσεις) μπορεί να βρεθεί εμπειρικά με την εμβάπτιση ειδικά κατασκευασμένου πλαισίου σε σαπουνάδα. Πειραματικές προσεγγίσεις όπως η προηγούμενη είναι σχετικά εύκολες, ωστόσο η μαθηματική τους ερμηνεία είναι πολύ δυσκολότερη: μπορεί να υπάρχουν περισσότερες από μια επιφάνειες ελαχιστοποίησης, και μάλιστα με μη-τετριμμένη τοπολογία.

Ιστορία

Ο λογισμός των μεταβολών μπορεί να θεωρηθεί ότι ξεκινά με το πρόβλημα της βραχύχρονης καμπύλης που έθεσε ο Γιόχαν Μπερνούλι (1696). Το πρόβλημα αμέσως τράβηξε το ενδιαφέρον του Γιακόμπ Μπερνούλι και του Γκιγιόμ ντε λ'Οπιτάλ, όμως η πρώτη σοβαρή μελέτη έγινε από το Λέοναρντ Όιλερ. Η συνεισφορά του άρχισε το 1733, και το έργο του «Elementa Calculi Variationum» έδωσε το όνομα του νεοσύστατου κλάδου.Σε μεγάλο βαθμό συνέβαλε και ο Λαγκράνζ, ενώ ο Λεζάντρ (1786) δημιούργησε μια,όχι εντελώς ικανοποιητική, μέθοδο για τη διάκριση μεγίστων - ελαχίστων. Μάλιστα, το συγκεκριμένο ζήτημα απασχόλησε από νωρίς και τους Ισαάκ Νεύτωνα και Γκότφριντ Λάιμπνιτς. Σε αυτή τη διάκριση συνέβαλαν επίσης και οι Βιτσέντζο Μπρουνάτσι (1810), Καρλ Φρίντριχ Γκάους (1829), Σιμεών Πουασόν (1831), Μιχαήλ Οστρογκράντσκι (1834) και Κάρλ Γιακόμπι (1837). Μια σημαντική δουλεία ήταν και αυτή του Sarrus (1842), την οποία βελτίωσε και συνόψισε ο Cauchy (1844). Άλλες πολύτιμες διατριβές αλλά και απομνημονεύματα έχουν γραφτεί απο τους Strauch (1849), Jellett (1850), Otto Hesse (1857), Alfred Clebsch (1858) και Carll (1885), αλλά ίσως η πιο καθοριστική συμβολή του αιώνα είναι αυτή του Καρλ Βάιερστρας: οι περίφημες διαλέξεις του άφησαν εποχή, και μπορεί να θεωρηθεί πως ήταν ο πρώτος που μας παρείχε μία πραγματικά αυστηρή θεωρητική θεμελίωση. Το 20ό και το 23ο πρόβλημα του Χίλμπερτ (1900) ενθάρρυναν την περεταίρω ανάπτυξη του κλάδου. Στον 20ο αιώνα πλέον, ο Ντάβιντ Χίλμπερτ, η Έμμυ Ναίτερ, ο Λεωνίδα Τονέλι, ο Ανρί Λεμπέγκ και ο Ζακ Ανταμάρ μεταξύ άλλων είχαν σημαντική συνεισφορά. Ακόμη, ο Μάρστον Μορς εφάρμοσε το λογισμό των μεταβολών σε αυτό που τώρα ονομάζεται θεωρία του Morse, ενώ οι Lev Pontryagin, Ralph Rockafellar και F. H. Clarke ανέπτυξαν νέα μαθηματικά εργαλεία για το λογισμό των μεταβολών στη θεωρία βέλτιστου ελέγχου. Ο δυναμικός προγραμματισμός του Μπέλμαν είναι μια εναλλακτική θεωρία για το λογισμό των μεταβολών.

Ακρότατα

Ο λογισμός των μεταβολών ασχολείται με μέγιστα ή ελάχιστα συναρτησιακών, τα οποία συλλογικά ονομάζονται ακρότατα. Ένα συναρτησιακό εξαρτάται από μια συνάρτηση, όπως, κατ' αναλογία, μια συνάρτηση μπορεί να εξαρτάται από μία αριθμητική μεταβλητή, γι' αυτό και ένα συναρτησιακό έχει περιγραφτεί ως συνάρτηση μίας συνάρτησης. Τα συναρτησιακά έχουν ακρότατα ως προς τα στοιχεία Πρότυπο:Math δεδομένου χώρου συναρτήσεων με συγκεκριμένο πεδίο ορισμού. Ένα συναρτησιακό Πρότυπο:Math έχει ακρότατο στη συνάρτηση Πρότυπο:Math αν η Πρότυπο:Math έχει το ίδιο πρόσημο για κάθε Πρότυπο:Math που ανήκει σε μία αυθαίρετα μικρή περιοχή της Πρότυπο:MathΠρότυπο:Refn Η συνάρτηση Πρότυπο:Math ονομάζεται ακρότατη συνάρτηση. Το ακρότατο Πρότυπο:Math ονομάζεται μέγιστο αν Πρότυπο:Math σε μία οσοδήποτε μικρή περιοχή της Πρότυπο:Math και ελάχιστο αν Πρότυπο:Math αντίστοιχα. Σε ένα χώρο συνεχών συναρτήσεων, τα ακρότατα των αντίστοιχων συναρτησιακών λέγονται ασθενή ακρότατα ή ισχυρά ακρότατα, ανάλογα με το αν οι πρώτοι παράγωγοι των συνεχών συναρτήσεων είναι αντίστοιχα κατ' ανάγκην όλες συνεχείς ή όχι.

Τόσο τα ισχυρά όσο και τα ασθενή ακρότατα ενός συναρτησιακού αναφέρονται σε ένα διάστημα συνεχών συναρτήσεων, όμως το ασθενές ακρότατο έχει την πρόσθετη προϋπόθεση οι πρώτοι παράγωγοι των συναρτήσεων στο διάστημα να είναι συνεχείς. Έτσι, ένα ισχυρό ακρότατο είναι ταυτόχρονα και ασθενές, αλλά το αντίστοφο δεν ισχύει. Η εύρεση των ισχυρών ακρότατων είναι πιο δύσκολη σε σχέση με την εύρεση ασθενών. Ένα παράδειγμα που αποτελεί αναγκαία συνθήκη και χρησιμοποιείται για την εύρεση ασθενών ακρότατων είναι η εξίσωση Όιλερ-Λαγκράνζ. Πρότυπο:Refn

Εξίσωση Όιλερ-Λαγκράνζ

Η εύρεση των ακρότατων των συναρτησιακών είναι παρόμοια με την εύρεση των μέγιστων και ελάχιστων μιας συναρτήσης. Για να ορίσουμε τα μέγιστα και τα ελάχιστα μίας συνάρτησης χρειάζεται να βρούμε τα σημεία που μηδενίζουν την παράγωγό της. Ανάλογα, το ακρότατο του συναρτησιακού μπορεί να βρεθεί με την κατασκευή μίας συνάρτησης όπου η συναρτησιακή παράγωγος είναι ίση με 0. Αυτό μας οδηγεί στην επίλυση της αντίστοιχης εξίσωσης Όιλερ-Λαγκράνζ.

Ας θεωρήσουμε το συναρτησιακό

$J[y]=\underset{x_1}{\overset{x_2}{\int }}L[x,y(x),y^{\prime }(x)]dx,$

όπου

Πρότυπο:Math είναι σταθερές,

Πρότυπο:Math είναι δύο φορές συνεχώς παραγωγίσιμη,

Πρότυπο:Math

Πρότυπο:Math είναι δύο φορές συνεχώς (ολικά) παραγωγίσημη ως προς τα Πρότυπο:Math

Αν το συναρτησιακό Πρότυπο:Math επιτυγχάνει ένα τοπικό μέγιστο στην Πρότυπο:Math και η Πρότυπο:Math είναι μία αυθαίρετη συνάρτηση η οποία έχει τουλάχιστον μία παράγωγο και μηδενίζεται στα όρια ολοκλήρωσης Πρότυπο:Math και Πρότυπο:Math τότε για κάθε αριθμό Πρότυπο:Math κοντά στο 0,

$J[f]\le J[f+\epsilon \eta ].$

Ο όρος Πρότυπο:Math ονομάζεται μεταβολή της συνάρτησης Πρότυπο:Math και συμβολίζεται με Πρότυπο:Math

Αντικαθιστώντας όπου  Πρότυπο:Math το Πρότυπο:Math  στο συναρτησιακό Πρότυπο:Math το αποτέλεσμα είναι μια συνάρτηση του Πρότυπο:Math,

$\mathrm{\Phi }(\epsilon )=J[f+\epsilon \eta ].$

Δεδομένου ότι το συναρτησιακό Πρότυπο:Math παίρνει ελάχιστο για Πρότυπο:Math η συνάρτηση Πρότυπο:Math έχει ελάχιστο στο Πρότυπο:Math και έτσι

${\mathrm{\Phi }}^{\prime }(0)\equiv {\frac{d\mathrm{\Phi }}{d\epsilon }|}_{\epsilon =0}=\underset{x_1}{\overset{x_2}{\int }}{\frac{dL}{d\epsilon }|}_{\epsilon =0}dx=0.$

Λαμβάνοντας την ολική παράγωγο της Πρότυπο:Math όπου οι Πρότυπο:Math και Πρότυπο:Math είναι συναρτήσεις των Πρότυπο:Math αλλά το Πρότυπο:Math δεν είναι,

$\frac{dL}{d\epsilon }=\frac{\partial L}{\partial y}\frac{dy}{d\epsilon }+\frac{\partial L}{\partial y^{\prime }}\frac{d{y}^{\prime }}{d\epsilon }$

και δεδομένου ότι  Πρότυπο:Math  και  Πρότυπο:Math,

$\frac{dL}{d\epsilon }=\frac{\partial L}{\partial y}\eta +\frac{\partial L}{\partial y^{\prime }}{\eta }^{\prime }$ .

Επομένως, χρησιμοποιώντας ολοκλήρωση κατά παράγοντες,

$\begin{array}{cc}\underset{x_1}{\overset{x_2}{\int }}{\frac{dL}{d\epsilon }|}_{\epsilon =0}dx& =\underset{x_1}{\overset{x_2}{\int }}(\frac{\partial L}{\partial f}\eta +\frac{\partial L}{\partial f^{\prime }}{\eta }^{\prime })dx\\ & =\underset{x_1}{\overset{x_2}{\int }}(\frac{\partial L}{\partial f}\eta -\eta \frac{d}{dx}\frac{\partial L}{\partial f^{\prime }})dx+{\frac{\partial L}{\partial f^{\prime }}\eta |}_{x_1}^{x_2}\\ \end{array}$

όπου Πρότυπο:Math όταν ε = 0. Ο τελευταίος όρος χάνεται Πρότυπο:Math στα Πρότυπο:Math και Πρότυπο:Math εξ ορισμού. Επίσης, όπως αναφέρθηκε και προηγουμένως το αριστερό μέρος της εξίσωσης είναι μηδενικό, έτσι παίρνουμε

$\underset{x_1}{\overset{x_2}{\int }}\eta (\frac{\partial L}{\partial f}-\frac{d}{dx}\frac{\partial L}{\partial f^{\prime }})dx=0.$

Σύμφωνα με το θεμελειώδες λήμμα του λογισμού των μεταβολών, ο όρος στην παρένθεση είναι ίσος με το μηδέν, δηλαδή

$\frac{\partial L}{\partial f}-\frac{d}{dx}\frac{\partial L}{\partial f^{\prime }}=0$

το οποίο λέγεται εξίσωση Όιλερ–Λαγκράνζ. Το αριστερό μέλος της εξίσωσης ονομάζεται συναρτησιακή ή μεταβολική παράγωγος της Πρότυπο:Math και συμβολίζεται με Πρότυπο:Math

Σε γενικές γραμμές αυτό δίνει μία δεύτερης τάξης συνήθη διαφορική εξίσωση η οποία μπορεί να λυθεί για να πάρουμε την ακρότατη συνάρτηση Πρότυπο:Math Η εξίσωση των Όιλερ–Λαγκράνζ είναι αναγκαία, αλλά όχι ικανή συνθήκη για να είναι το Πρότυπο:Math ακρότατο. Μία ικανή συνθήκη για το ελάχιστο δίνεται στην ενότητα Μεταβολές και επαρκείς συνθήκες για ελάχιστο.

Παράδειγμα

Για την καλύτερη κατανόηση των παραπάνω, ας θεωρήσουμε το πρόβλημα της εύρεσης της ακρότατης συνάρτησης Πρότυπο:Math η οποία είναι η βραχύτερη καμπύλη που συνδέει δυο σημεία Πρότυπο:Math και Πρότυπο:Math Το μήκος τόξου της καμπύλης δίνεται από τον τύπο

$A[y]=\underset{x_1}{\overset{x_2}{\int }}\sqrt{1+[y^{\prime }(x){]}^2}dx,$

με

$y{}^{\prime }(x)=\frac{dy}{dx},y_1=f(x_1),y_2=f(x_2).$

Η εξίσωση των Όιλερ–Λαγκράνζ θα χρησιμοποιηθεί τώρα για την εύρεση της ακρότατης συνάρτησης Πρότυπο:Math η οποία ελαχιστοποιεί το συναρτησιακό Πρότυπο:Math

$\frac{\partial L}{\partial f}-\frac{d}{dx}\frac{\partial L}{\partial f^{\prime }}=0$

με

$L=\sqrt{1+[f^{\prime }(x){]}^2}.$

Εφόσον η Πρότυπο:Math δεν εμφανίζεται αυτή καθ' αυτή στην Πρότυπο:Math ο πρώτος όρος της εξίσωσης Όιλερ–Λαγκράνζ μηδενίζεται για όλα τα Πρότυπο:Math και τότε έχουμε

$\frac{d}{dx}\frac{\partial L}{\partial f^{\prime }}=0.$

Αντικαθιστώντας το Πρότυπο:Math και παίρνοντας τη μερική παράγωγο έχουμε,

$\frac{d}{dx}\frac{f^{\prime }(x)}{\sqrt{1+[f^{\prime }(x){]}^2}}=0.$

Λαμβάνοντας τώρα την παράγωγο Πρότυπο:Math, μετά από απλοποιήσεις καταλήγουμε στην

$\frac{d^{2}f}{d{x}^2}\cdot \frac{1}{{\left[\sqrt{1+[f^{\prime }(x){]}^2}\right]}^3}=0,$

αλλά αφού το Πρότυπο:Math είναι μη-μηδενικό,

$\frac{d^{2}f}{d{x}^2}=0,$

απ' όπου συνάγουμε ότι η βραχύτερη καμπύλη που συνδέει δύο σημεία Πρότυπο:Math και Πρότυπο:Math είναι η

$f(x)=mx+b,\mu \epsilon m=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}\kappa \alpha \iota b=\frac{x_2{y}_1-x_1{y}_2}{x_2-x_1},$

και έχουμε τότε βρει την ακρότατη συνάρτηση Πρότυπο:Math που ελαχιστοποιεί το συναρτησιακό Πρότυπο:Math έτσι ώστε Πρότυπο:Math να είναι ελάχιστο. Να σημειώσουμε εδώ ότι η Πρότυπο:Math είναι η εξίσωση μιας ευθείας γραμμής, με άλλα λόγια, η βραχύτερη απόσταση μεταξύ δυο σημείων είναι μία ευθεία.Πρότυπο:Refn

Ταυτότητα Beltrami

Σε προβλήματα φυσικής αποδεικνύεται συχνά ότι Πρότυπο:Math. Σε αυτή την περίπτωση, η εξίσωση Όιλερ-Λαγκράνζ μπορεί να απλοποιηθεί στην ταυτότητα Μπελτράμι:

$L-f^{\prime }\frac{\partial L}{\partial f^{\prime }}=C,$

όπου Πρότυπο:Math είναι μια σταθερά. Στο αριστερό μέρος της παραπάνω εξίσωσης φαίνεται ο μετασχηματισμός Legendre της Πρότυπο:Math ως προς την Πρότυπο:Math

Θεώρημα του Du Bois-Reymond

Mέχρι στιγμής έχει υποτεθεί ότι τα ακρότατα μιας συνάρτησης διαθέτουν δύο συνεχείς παραγώγους, αν και η ύπαρξη του ολοκληρώματος Πρότυπο:Math απαιτεί μόνο την πρώτη παράγωγο από τις δοκιμαστικές συναρτήσεις. Η συνθήκη του μηδενισμού της πρώτης μεταβολής στις ακρότατες συναρτήσεις μπορεί να θεωρηθεί ως μία αδύναμη μορφή της εξίσωσης Όιλερ-Λαγκράνζ. Το θεώρημα του Du Bois-Reymond αποφαίνεται ότι αυτή η αδύναμη μορφή συνεπάγεται την ισχυρή. Αν η Πρότυπο:Math έχει συνεχείς πρώτες και δεύτερες παραγώγους ως προς όλες τις μεταβλητές της και αν ισχύει ότι

$\frac{{\partial }^{2}L}{(\partial f^{\prime }{)}^2}\ne 0,$

τότε η

$f_0$

έχει δύο συνεχείς παραγώγους και ικανοποιεί την εξίσωση Όιλερ-Λαγκράνζ.   

Φαινόμενο Lavrentiev

Ο πρώτος που έδωσε καλές συνθήκες για να έχουν οι εξισώσεις Όιλερ-Λαγκράνζ στάσιμη λύση ήταν ο Χίλμπερτ. Μέσα σε μια κυρτή επιφάνεια και μία θετική τρεις φορές παραγωγίσιμη Λαγρανζιανή οι λύσεις αποτελούνται απο ένα αριθμήσιμο σύνολο από τομές που είτε εντοπίζονται κατά μήκος του συνόρου, είτε ικανοποιούν τις εξισώσεις Όιλερ-Λαγκράνζ στο εσωτερικό.

Ωστόσο Lavrentiev το 1926 έδειξε ότι υπάρχουν περιπτώσεις όπου δεν υπάρχει βέλτιστη λύση αλλά μια από αυτές μπορεί να προσεγγιστεί με αυθαίρετη ακρίβεια αυξάνοντας τον αριθμό των τομών. Για παράδειγμα η ακόλουθη:

$L(t,x,x^{\prime })=(x^3-t{)}^{2}x{\text{'}}^6,$

$x(0)=0,x(1)=1.$

Εδώ μία καμπύλη σε σχήμα «ζικ-ζακ» δίνει καλύτερη λύση από οποιαδήποτε ομαλή καμπύλη και η αύξηση του αριθμού των τομών βελτιώνει την λύση.

Συναρτήσεις πολλών μεταβλητών

Προβλήματα μεταβολών με πολλαπλά ολοκληρώματα προκύπτουν σε πλήθος εφαρμογών. Για παράδειγμα, αν η $\phi (x,y)$ δίνει τη μετατόπιση μεμβράνης επί πεδίου ορισμού $D$ στο επίπεδο x,y, τότε η δυναμική του ενέργεια είναι ανάλογη του εμβαδού της:

$U[\phi ]=\underset{D}{\iint }\sqrt{1+\mathrm{\nabla }\phi \cdot \mathrm{\nabla }\phi }dxdy.$

Το πρόβλημα του Plateau αφορά την εύρεση συνάρτησης που ελαχιστοποιεί το εμβαδό επιφάνειας με δεδομένο σύνορο του συνόλου $D^{.}$ οι λύσεις ονομάζονται ελάχιστες επιφάνειες. Η εξίσωση Όιλερ-Λαγκράνζ εδώ είναι μη-γραμμική:

${\phi }_{xx}(1+{\phi }_y^2)+{\phi }_{yy}(1+{\phi }_x^2)-2{\phi }_x{\phi }_y{\phi }_{xy}=0.$

Δείτε Courant (1950) για περισσότερες λεπτομέρειες.

Η αρχή του Dirichlet

Συνήθως φτάνει να θεωρήσουμε μικρές μετατοπίσεις της μεμβράνης, της οποίας η ενεργειακή διαφορά από την αρχική της θέση δίνεται προσεγγιστικά από τον τύπο

$V[\phi ]=\frac{1}{2}\underset{D}{\iint }\mathrm{\nabla }\phi \cdot \mathrm{\nabla }\phi dxdy.$

Ζητείται η ελαχιστοποίηση του συναρτησιακού $V$ με πεδίο ορισμού το σύνολο όλων των δοκιμαστικών συναρτήσεων $\phi :D\to ℝ$ (όπου το $D$ έχει δεδομένο σύνορο). Αν $u$ είναι μία συνάρτηση ελαχιστοποίησης και $v$ είναι μία αυθαίρετη ομαλή συνάρτηση που μηδενίζεται στο σύνορο του $D,$ τότε η πρώτη μεταβολή της $V[u+\epsilon v]$ πρέπει να μηδενίζεται:

$\frac{d}{d\epsilon }V[u+\epsilon v]{|}_{\epsilon =0}=\underset{D}{\iint }\mathrm{\nabla }u\cdot \mathrm{\nabla }vdxdy=0.$

Δεδομένου ότι η $u$ είναι δύο φορές παραγωγίσιμη, μπορούμε να εφαρμόσουμε το θεώρημα της απόκλισης απ' όπου παίρνουμε την

$\underset{D}{\iint }\mathrm{\nabla }\cdot (v\mathrm{\nabla }u)dxdy=\underset{D}{\iint }\mathrm{\nabla }u\cdot \mathrm{\nabla }v+v\mathrm{\nabla }\cdot \mathrm{\nabla }udxdy=\underset{C}{\iint }v\frac{\partial u}{\partial n}ds,$

όπου $C$ είναι το σύνορο του $D,$ $s$ είναι το μήκος του συνόρου και $\partial u/\partial n$ είναι η κανονική παράγωγος του $u$ στο $C.$ Καθώς το $v$ μηδενίζεται στο σύνορο, όπως και η πρώτη μεταβολή, καταλήγουμε στη σχέση

$\underset{D}{\iint }v\mathrm{\nabla }\cdot \mathrm{\nabla }udxdy=0$

για κάθε τέτοια ομαλή συνάρτηση $v.$ Η απόδειξη για την περίπτωση των μονοδιάστατων ολοκληρωμάτων μπορεί να αναχθεί στην παρούσα έτσι ώστε να μας δίνει

$\mathrm{\nabla }\cdot \mathrm{\nabla }u=0$

στο $D.$

Η δυσκολία αυτής της μεθόδου έγκειται στο γεγονός ότι η συνάρτηση ελαχιστοποίησης $u$ πρέπει να έχει δύο παραγώγους. Ο Riemann υποστήριξε ότι η ύπαρξη ομαλής συνάρτησης ελαχιστοποίησης αναμένεται βάσει του αντίστοιχου φυσικού προβλήματος: οι μεμβράνες πράγματι παίρνουν θέσεις που ελαχιστοποιούν τη δυναμική τους ενέργεια. Ο Riemann ονόμασε την ιδέα αυτή «αρχή του Dirichlet» προς τιμήν του δασκάλου του Peter Gustav Lejeune Dirichlet. Παρ' όλα αυτά ο Weirstrass έδωσε αντιπαράδειγμα με ένα πρόβλημα μεταβολών χωρίς λύση: Να ελαχιστοποιηθεί το

$W[\phi ]=\underset{-1}{\overset{1}{\int }}(x{\phi }^{\prime }{)}^{2}dx$

με πεδίο ορισμού το σύνολο όλων των δοκιμαστικών συναρτήσεων $\phi$ που ικανοποιούν τις σχέσεις $\phi (-1)=-1$ και $\phi (1)=1.$ Το $W$ γίνεται αυθαίρετα μικρό με την επιλογή συναρτήσεων γραμμικών κατά κλάδους που μεταβάλλονται μεταξύ των τιμών $-1$ και $1$ σε μία μικρή περιοχή γύρω από την αρχή $\overrightarrow{0}.$ Εντούτοις, δεν υπάρχει συνάρτηση για την οποία $W=0.$ Η συζήτηση περί της ισχύος της αρχής του Dirichlet εξηγείται αναλυτικά στον ιστότοπο http://turnbull.mcs.st-and.ac.uk/~history/Biographies/Riemann.html Πρότυπο:Webarchive (στα Αγγλικά). Τελικά αποδείχθηκε πως η αρχή ισχύει, χρειάζεται όμως μία προχωρημένη εφαρμογή της θεωρίας κανονικότητας για τις ελλειπτικές μερικές διαφορικές εξισώσεις· δείτε Jost και Li-Jost (1998).

Προβλήματα ιδιοτιμών

Τόσο τα μονοδιάστατα, όσο και τα πολυδιάστατα προβλήματα ιδιοτιμών ανάγονται σε προβλήματα μεταβολών.

Προβλήματα Sturm-Liouville

Το πρόβλημα ιδιοτιμών Sturm-Liouville αφορά μια γενική τριωνυμική μορφή

$Q[\phi ]=\underset{x_1}{\overset{x_2}{\int }}[p(x){\phi }^{\prime }(x{)}^2+q(x)\phi (x{)}^2]dx,$

όπου η $\phi$ είναι περιορισμένη στις συναρτήσεις που ικανοποιούν τις οριακές συνθήκες

$\phi (x_1)=0,\phi (x_2)=0.$

Έστω $R$ ένα ολοκλήρωμα κανονικοποίησης

$R[\phi ]=\underset{x_1}{\overset{x_2}{\int }}r(x)\phi (x{)}^{2}dx.$

Οι συναρτήσεις $p(x)$ και $r(x)$ απαιτούμε να είναι αυστηρά θετικές παντού. Έχουμε λοιπόν το εξής πρόβλημα μεταβολών: Να ελαχιστοποιηθεί ο λόγος $Q/R$ στο πεδίο ορισμού ορισμού του $Q.$ Η εξίσωση Όιλερ-Λαγκράνζ όταν $u$ είναι η συνάρτηση ελαχιστοποίησης έχει ως εξής:

$-(p{u}^{\prime }{)}^{\prime }+qu-\lambda ru=0,$

όπου $\lambda$ είναι ο λόγος

$\lambda =\frac{Q[u]}{R[u]}.$

Αποδεικνύεται (δείτε Gelfand και Fomin 1963) ότι η συνάρτηση ελαχιστοποίησης $u$ είναι δύο φορές παραγωγίσιμη και ικανοποιεί την εξίσωση των Όιλερ-Λαγκράνζ. Το αντίστοιχο $\lambda$ συμβολίζεται ως ${\lambda }_1^{.}$ αυτό είναι η μικρότερη ιδιοτιμή για τη δεδομένη εξίσωση (υπ' όψη των περιορισμών του $Q$). Επίσης, θα γράφουμε $u_1(x)$ για την αντίστοιχη συνάρτηση ελαχιστοποίησης. Αυτός ο τρόπος εύρεσης ιδιοτιμών οδηγεί στη μέθοδο Rayleigh–Ritz: επιλέγουμε μία συνάρτηση προσέγγισης $u$ την οποία εκφράζουμε ως γραμμικό συνδιασμό των συναρτήσεων μίας βάσης συναρτήσεων (για παράδειγμα τριγωνομετρικών συναρτήσεων), και αυτόν τον γραμμικό συνδυασμό τον ελαχιστοποιούμε σε πεπερασμένο πλήθος διαστάσεων. Αυτή η μέθοδος συνήθως είναι εκπληκτικά ακριβής.

Η αμέσως μικρότερη ιδιοτιμή και ιδιοσυνάρτηση μπορεί να βρεθεί ελαχιστοποιώντας το $Q$ με τον επιπλέον περιορισμό

$\underset{x_1}{\overset{x_2}{\int }}r(x)u_1(x)\phi (x)dx=0.$

Η παρούσα διαδικασία μπορεί να επαναληφθεί για να πάρουμε μία πλήρη ακολουθία ιδιοτιμών και ιδιοσυναρτήσεων για το πρόβλημα.

Στο ίδιο πρόβλημα μεταβολών καταλήγουμε επίσης και όταν έχουμε πιο γενικές οριακές συνθήκες. Αντί να απαιτούμε το μηδενισμό της $\phi$ στα όρια ολοκλήρωσης μπορούμε να μην επιβάλλουμε κανέναν περιορισμό και να θέσουμε

$Q[\phi ]=\underset{x_1}{\overset{x_2}{\int }}[p(x){\phi }^{\prime }(x{)}^2+q(x)\phi (x{)}^2]dx+a_1\phi (x_1{)}^2+a_2\phi (x_2{)}^2,$

όπου τα $a_1$ και $a_2$ είναι επιλεγμένα αυθαίρετα. Θέτοντας $\phi =u+\epsilon v$ η πρώτη μεταβολή του πηλίκου $Q/R$ είναι

$V_1=\frac{2}{R[u]}(\underset{x_1}{\overset{x_2}{\int }}[p(x)u^{\prime }(x)v^{\prime }(x)+q(x)u(x)v(x)-\lambda u(x)v(x)]dx+a_{1}u(x_1)v(x_1)+a_{2}u(x_2)v(x_2)),$

όπου το $\lambda$ δίνεται από το λόγο $Q[u]/R[u],$ όπως προηγουμένως. Εφαρμόζοντας κατά παράγοντες ολοκλήρωση παίρνουμε

$\frac{R[u]}{2}{V}_1=\underset{x_1}{\overset{x_2}{\int }}v(x)[-(p{u}^{\prime }{)}^{\prime }+qu-\lambda ru]dx+v(x_1)[-p(x_1)u^{\prime }(x_1)+a_{1}u(x_1)]+v(x_2)[p(x_2)u^{\prime }(x_2)+a_{2}u(x_2)].$

Αν πρώτα απαιτήσουμε η $v$ να μηδενίζεται στα $x_1,$ $x_2,$ τότε η πρώτη μεταβολή θα μηδενίζεται για κάθε τέτοια $v$ μόνον αν

$-(p{u}^{\prime }{)}^{\prime }+qu-\lambda ru=0\gamma \iota \alpha x_1<x<x_2.$

Αν το $u$ ικανοποιεί αυτή τη συνθήκη, τότε η πρώτη μεταβολή θα μηδενίζεται για αυθαίρετα επιλεγμένο $v$ μόνο αν

$-p(x_1)u^{\prime }(x_1)+a_{1}u(x_1)=0\kappa \alpha \iota p(x_2)u^{\prime }(x_2)+a_{2}u(x_2)=0.$

Οι τελευταίοι αυτοί περιορισμοί είναι οι φυσικές οριακές συνθήκες του προβλήματος, καθώς δεν επιβάλλονται στις δοκιμαστικές συναρτήσεις για την ελαχιστοποίηση, αλλά είναι συνέποια αυτής.

Προβλήματα ιδιοτιμών σε πολλές διαστάσεις

Το πρόβλημα ιδιοτιμών σε περισσότερες από μία διαστάσεις ορίζεται κατ' αναλογία με το αντίστοιχο μονοδιάστατο. Για παράδειγμα, δεδομένου πεδίου ορισμού $D$ με σύνορο $B$ σε τρεις διαστάσεις, ορίζουμε

$Q[\phi ]=\underset{D}{\iiint }p(X)\mathrm{\nabla }\phi \cdot \mathrm{\nabla }\phi +q(X){\phi }^{2}dxdydz+\underset{B}{\iint }\sigma (S){\phi }^{2}dS$

και

$R[\phi ]=\underset{D}{\iiint }r(X)\phi (X{)}^{3}dxdydz.$

Έστω $u$ μία συνάρτηση που ελαχιστοποιεί το πηλίκο $Q[\phi ]/R[\phi ],$ χωρίς κανένα περιορισμό στο σύνορο $B.$ Η εξίσωση Όιλερ-Λαγκράνζ που ικανοποιείται από τη $u$ είναι η

$-\mathrm{\nabla }\cdot (p(X)\mathrm{\nabla }u)+q(x)u-\lambda r(x)u=0,$

όπου

$\lambda =\frac{Q[u]}{R[u]}.$

Η συνάρτηση ελαχιστοποίησης $u$ πρέπει επίσης να ικανοποιεί τη φυσική οριακή συνθήκη

$p(S)\frac{\partial u}{\partial n}+\sigma (S)u=0$

στο σύνορο $B.$ Αυτό το αποτέλεσμα βασίζεται στη θεωρία κανονικότητας για τις ελλειπτικές μερικές διαφορικές εξισώσεις· δείτε Jost και Li-Jost (1998) για λεπτομέρειες. Πολλές επεκτάσεις, συμπεριλαμβανομένων αποτελεσμάτων πληρότητας, ασυμπτωτικών ιδιοτήτων των ιδιοτιμών και αποτελεσμάτων που αφορούν τους κόμβους ιδιοσυναρτήσεων, βρίσκονται στο σύγγραμμα των Courant και Hilbert (1953).

Εφαρμογές

Μερικές εφαρμογές του λογισμού των μεταβολών περιλαμβάνουν:

• Την εύρεση της αλυσοειδούς καμπύλης.
• Το πρόβλημα του βράχιστου (ελάχιστου) χρόνου του Γιόχαν Μπερνούλι.
• Ισοπεριμετρικά προβλήματα.
• Γεωδαισιακά προβλήματα σε επίπεδα.
• Προβλήματα ελαχιστοποίησης επιφάνειας και το πρόβλημα του Plateau.
• Προβλήματα βέλτιστου ελέγχου.

Αρχή του Φερμά

Σύμφωνα με την αρχή του Φερμά, το φως κατά τη διαδρομή του μέσα σε ένα μέσο από ένα σημείο Α σε ένα σημείο Β, ακολουθεί τον οπτικό δρόμο που (τοπικά) ελαχιστοποιεί το οπτικό μήκος του. Αν η τετμημένη $x$ οριστεί ως παράμετρος κατά μήκος του οπτικού δρόμου, με $y=f(x),$ τότε το οπτικό μήκος δίνεται από τον τύπο:

$A[f]=\underset{x=x_0}{\overset{x_1}{\int }}n(x,f(x))\sqrt{1+f^{\prime }(x{)}^2}dx,$

όπου ο δείκτης διαθλάσεως $n(x,y)$ εξαρτάται από το υλικό του οπτικού μέσου. Αν θεωρήσουμε $f(x)=f_0(x)+\epsilon f_1(x)$ τότε η πρώτη μεταβολή του Πρότυπο:Math (η οποία εξαρτάται από το Πρότυπο:Math) είναι

$\delta A[f_0,f_1]=\underset{x=x_0}{\overset{x_1}{\int }}[\frac{n(x,f_0){f_0}^{\prime }(x){f_1}^{\prime }(x)}{\sqrt{1+{f_0}^{\prime }(x{)}^2}}+n_y(x,f_0)f_1\sqrt{1+{f_0}^{\prime }(x{)}^2}]dx.$

Κάνοντας ολοκλήρωση κατά παράγοντες στον πρώτο όρο, καταλήγουμε στην εξίσωση Όιλερ–Λαγκράνζ:

$-\frac{d}{dx}\left[\frac{n(x,f_0){f_0}^{\prime }}{\sqrt{1+f_0{\text{'}}^2}}\right]+n_y(x,f_0)\sqrt{1+{f_0}^{\prime }(x{)}^2}=0.$

Ολοκληρώνοντας την παραπάνω εξίσωση μπορούν να υπολογιστούν οι ακτίνες φωτός. Αυτός ο φορμαλισμός χρησιμοποιείται στο πλαίσιο της Λαγρανζιανής οπτικής, καθώς και της Χαμιλτονιανής οπτικής.

Ο νόμος του Σνελ

Υπάρχει μια ασυνέχεια του δείκτη διάθλασης όταν το φως εισέρχεται ή εξέρχεται ενός φακού. Ας υποθέσουμε

$n(x,y)=n_{-}\alpha \nu x<0,$

$n(x,y)=n_{+}\alpha \nu x>0,$

όπου $n_{-}$ και $n_{+}$ είναι σταθερές. Συνεπώς, η εξίσωση του Όιλερ-Λαγκράνζ παραμένει ως προηγουμένως στο διάστημα $x<0$ και $x>0,$ και ο οπτικός δρόμος αποτελεί μια ευθεία γραμμή, καθώς ο δείκτης διάθλασης παραμένει σταθερός. Για $x=0$ η $f$ πρέπει να είναι συνεχής, με την $f^{\prime }$ να μπορεί να είναι ασυνεχής. Εφαρμόζοντας την κατά παράγοντες μέθοδο στα ξεχωριστά χωρία και αξιοποιώντας την εξίσωση των Όιλερ-Λαγκράνζ, η πρώτη μεταβολή παίρνει τη μορφή

$\delta A[f_0,f_1]=f_1(0)[n_{-}\frac{{f_0}^{\prime }(0_{-})}{\sqrt{1+{f_0}^{\prime }(0_{-}{)}^2}}-n_{+}\frac{{f_0}^{\prime }(0_{+})}{\sqrt{1+{f_0}^{\prime }(0_{+}{)}^2}}].$

Ο παράγοντας που πολλαπλασιάζει το $n_{-}$ είναι το ημίτονο της γωνίας που σχηματίζει η προσπίπτουσα ακτίνα με τον άξονα των τετμημένων (άξονας των $x$)· αντιστοίχως ο παράγοντας που πολλαπλασιάζει το $n_{+}$ είναι το ημίτονο της γωνίας που σχηματίζει η διαθλόμενη ακτίνα με τον άξονα των τετμημένων. Ο Νόμος του Σνελ για τη διάθλαση απαιτεί αυτοί οι όροι να είναι ίσοι. Όπως μας αποδεικνύει ο παραπάνω υπολογισμός, ο νόμος του Σνελ (Willebrord Snel van Royen) είναι ισοδύναμος με την απαίτηση η πρώτη μεταβολή του μήκους του οπτικού δρόμου να μηδενίζεται.

Η αρχή του Φερμά σε τρεις διαστάσεις

Είναι δόκιμο να χρησιμοποιήσουμε το διανυσματικό συμβολισμό: έστω $X=(x_1,x_2,x_3)$ και μια παράμετρος $t,$ θα συμβολίζουμε ως $X(t)$ την παραμετρική παράσταση καμπύλης $C$ και ως $\dot{X}(t)$ το εφαπτόμενο διάνυσμα αυτής. Το οπτικό μήκος της καμπύλης δίνεται από τον εξής τύπο:

$A[C]=\underset{t=t_0}{\overset{t_1}{\int }}n(X)\sqrt{\dot{X}\cdot \dot{X}}dt.$

Ας σημειωθεί ότι το ολοκλήρωμα παραμένει αναλλοίωτο σε σχέση με τις μεταβολές στην παραμετρική παράσταση της $C.$ Οι εξισώσεις Όιλερ–Λαγκράνζ για μία καμπύλη ελαχιστοποίησης παίρνουν την εξής συμμετρική μορφή

$\frac{d}{dt}P=\sqrt{\dot{X}\cdot \dot{X}}\mathrm{\nabla }n,$

όπου

$P=\frac{n(X)\dot{X}}{\sqrt{\dot{X}\cdot \dot{X}}}.$

Εξ ορισμού η $P$ ικανοποιεί την εξίσωση

$P\cdot P=n(X{)}^2.$

Άρα το ολοκλήρωμα μπορεί να γραφεί και ως

$A[C]=\underset{t=t_0}{\overset{t_1}{\int }}P\cdot \dot{X}dt.$

Από την τελευταία μορφή έπεται ότι αν μπορέσουμε να βρούμε συνάρτηση $\psi (X)$ τέτοια ώστε $\mathrm{\nabla }\psi =P,$ τότε το ολοκλήρωμα Πρότυπο:Math δίνεται από τη διαφορά $\psi (X(t_1))-\psi (X(t_0)).$ Επομένως, το πρόβλημα της μελέτης των καμπυλών για τις οποίες το ολοκλήρωμα είναι στάσιμο συνδεέται με τη μελέτη των σταθμικών επιφανειών (level surfaces) της $\psi .$ Για την εύρεση μίας τέτοιας συνάρτησης θα χρησιμοποιήσουμε την κυματική εξίσωση, που περιγράφει τη διάδοση του φωτός. Αυτός ο φορμαλισμός χρησιμοποιείται ως γενικό πλαίσιο στη Λαγρανζιανή οπτική και στην Χαμιλτονιανή οπτική.

Συσχέτιση της $\psi$ με την κυματική εξίσωση

Η κυματική εξίσωση για ένα μη-ομογενές μέσο είναι η

$u_{tt}=c^2\mathrm{\nabla }\cdot \mathrm{\nabla }u,$

όπου $c$ είναι η ταχύτητα, που γενικά εξαρτάται από το $X.$ Τα μέτωπα των φωτεινών κυμάτων είναι χαρακτηριστικές επιφάνειες αυτής της διαφορικής εξίσωσης, για τις οποίες ισχύει:

${\phi }_t^2=c(X{)}^2\mathrm{\nabla }\phi \cdot \mathrm{\nabla }\phi .$

Ας ψάξουμε για λύσεις της μορφής

$\phi (t,X)=t-\psi (X{)}^{.}$

σε αυτή την περίπτωση η $\psi$ ικανοποιεί τη σχέση

$\mathrm{\nabla }\psi \cdot \mathrm{\nabla }\psi =n^2,$

όπου $n=1/c.$ Σύμφωνα με τη θεωρία των πρωτοβάθμιων μερικών διαφορικών εξισώσεων, αν $P=\mathrm{\nabla }\psi ,$ τότε ισχύει

$\frac{dP}{ds}=n\mathrm{\nabla }n,$

όταν έχουμε ένα σύστημα καμπυλών (ακτίνων φωτός) που δίνονται από τον τύπο

$\frac{dX}{ds}=P.$

Αυτές οι εξισώσεις για τη λύση μιας πρωτοβάθμιας μερικής διαφορικής εξίσωσης ταυτίζονται με εκείνες των Όιλερ-Λαγκράνζ,φυσικά αν θεωρήσουμε ότι

$\frac{ds}{dt}=\frac{\sqrt{\dot{X}\cdot \dot{X}}}{n}.$

Συμπεραίνουμε λοιπόν, πως η $\psi$ είναι η τιμή του $A[C]$ συναρτήσει του σημείου $X(t_1)$ που αντιστοιχεί στο άνω όριο ολοκλήρωσης $t_1,$ όταν $C$ είναι μια καμπύλη ελαχιστοποίησης. Ώστε, όταν μια οικογένεια καμπυλών ελαχιστοποίησης κατασκευαστεί, οι τιμές του οπτικού μήκους ικανοποιούν τη χαρακτηριστική εξίσωση που αντιστοιχεί στην κυματική εξίσωση. Ως εκ τούτου, η επίλυση της σχετικής πρωτοβάθμιας μερικής διαφορικής εξίσωσης ισοδυναμεί με την εύρεση οικογενειών λύσεων του αντίστοιχου προβλήματος μεταβολών. Αυτή είναι η ουσία της θεωρίας των Hamilton–Jacobi, η οποία ισχύει και σε πιο γενικά προβλήματα μεταβολών.

Η Αρχή της Ελάχιστης Δράσης

Κυρίως Άρθρο: Δράση (φυσική)

Στην κλασσική μηχανική, η δράση, S, ορίζεται ως η χρονική ολοκλήρωση της Λαγρανζιανής L. Η Λαγρανζιανή είναι η διαφορά των ενεργειών,

$L=T-U,$

όπου T είναι η κινητική ενέργεια ενός μηχανικού συστήματος και U η δυναμική του ενέργεια. Η αρχή του Hamilton (ή η αρχη της ελάχιστης δράσης) υποστηρίζει ότι η κίνηση σε ένα συντηρητικό ολονομικό (με ακέραιους περιορισμούς) μηχανικό σύστημα είναι τέτοια ώστε το ολοκλήρωμα της δράσης

$S=\underset{t=t_0}{\overset{t_1}{\int }}L(x,\dot{x},t)dt$

είναι στάσιμο σε σχέση με τις μεταβολές της διαδρομής x(t). Οι εξισώσεις Όιλερ–Λαγκράνζ αυτού του συστήματος είναι γνωστές ως εξισώσεις Λαγκράνζ:

$\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial \dot{x}}=\frac{\partial L}{\partial x},$

και είναι ισοδύναμες με τις εξισώσεις κίνησης του Νεύτωνα (για τέτοιου είδους συστήματα).

Οι συζυγείς ορμές P ορίζονται από

$p=\frac{\partial L}{\partial \dot{x}}.$

Για παράδειγμα, αν

$T=\frac{1}{2}m{\dot{x}}^2,$

τότε

$p=m\dot{x}.$

Η μηχανική του Hamilton προκύπτει εαν θέσουμε τις συζυγείς ορμές στη θέση του $\dot{x}$, και η Λαγρανζιανή L αντικατασταθεί από την Χαμιλτονιανή H, η οποία ορίζεται ως

$H(x,p,t)=p\dot{x}-L(x,\dot{x},t).$

Η Χαμιλτονιανή είναι η συνολική ενέργεια του συστήματος: H = T + U. Η αναλογία με τις αρχές του Φερμά ορίζει ότι οι λύσεις των Λαγρανζιανών εξισώσεων (οι τροχές των σωματιδίων) μπορούν να περιγραφούν σε όρους επιπέδων των επιφανειών μιας συνάρτησης του X. Αυτή η συνάρτηση είναι η λύση της εξίσωσης Hamilton–Jacobi :

$\frac{\partial \psi }{\partial t}+H(x,\frac{\partial \psi }{\partial x},t)=0.$

Μεταβολές και επαρκείς συνθήκες για ελάχιστο

Ο Λογισμός των μεταβολών ασχολείται με τις μεταβολές των συναρτησιακών, οι οποίες είναι μικρές μεταβολές στην αξία του συναρτησιακού λόγω μικρών μεταβολών στη συνάρτηση που είναι το όρισμά του. Η πρώτη μεταβολή ορίζεται ως το γραμμικό μέρος της μεταβολής στο συναρτησιακού και η δεύτερη μεταβολή ορίζεται ως το τετραγωνικό μέρος.

Για παράδειγμα, αν J[y] είναι ένα συναρτησιακό με συνάρτηση y = y(x) ως όρισμά του και υπάρχει μια μικρή μεταβολή στο όρισμά της από y σε y + h, όπου h = h(x) είναι μια συνάρτηση στον ίδιο συναρτησιακό χώρο με την y, τότε η μεταβολή που αντιστοιχεί στο συναρτησιακό είναι

$\mathrm{\Delta }J[h]=J[y+h]-J[y]$.

Το συναρτησιακό J[y] λέγεται διαφορίσιμο αν

$\mathrm{\Delta }J[h]=\varphi [h]+ϵ\Vert h\Vert$,

όπου φ[h] είναι ένα γραμμικό συναρτησιακό, ||h|| η νόρμα της h, και ε → 0 καθώς ||h|| → 0. Το γραμμικό συναρτησιακό φ[h] είναι η πρώτη διαφορά του J[y] και δίνεται από,

$\delta J[h]=\varphi (h)$.

Το συναρτησιακό J[y] λέγεται δυο φορές διαφορίσιμο αν

$\mathrm{\Delta }J[h]={\varphi }_1[h]+{\varphi }_2[h]+ϵ\Vert h{\Vert }^2$,

όπου φ₁[h] είναι ένα γραμμικό συναρτησιακό (πρώτη μεταβολή), φ₂[h] είναι ένα τετραγωνικό συναρτησιακό, και ε → 0 as ||h|| → 0. Το τετραγωνικό συναρτησιακό φ₂[h] είναι η δεύτερη μεταβολή του J[y] και δίνεται από,

${\delta }^{2}J[h]={\varphi }_2(h)$.

Η δεύτερη μεταβολή δ²J[h] λέγεται αυστηρά θετική αν

${\delta }^{2}J[h]\ge k\Vert h{\Vert }^2$,

για όλα τα h και για κάποια σταθερά k > 0 .

Επαρκής συνθήκη για ένα ελάχιστο:

Το συναρτησιακό J[y] έχει ένα ελάχιστο στο y = ŷ αν η πρώτη μεταβολή του δJ[h] = 0 στο y = ŷ και η δεύτερη μεταβολή του δ²J[h] είναι αυστηρά θετική στο y = ŷ.