Σταθερά (μαθηματικά)

Στα μαθηματικά, η λέξη σταθερά αποδίδει πολλαπλές έννοιες. Ως επίθετο, αναφέρεται στη μη μεταβολή (δηλ. αμετάβλητη σε σχέση με κάποια άλλη τιμή)- ως ουσιαστικό, έχει δύο διαφορετικές σημασίες:

• Ένας σταθερός και καλά καθορισμένος αριθμός ή άλλο μη μεταβαλλόμενο μαθηματικό αντικείμενο, ή το σύμβολο που το δηλώνει. Οι όροι μαθηματική σταθερά ή φυσική σταθερά χρησιμοποιούνται μερικές φορές για να διακρίνουν αυτή την έννοια.
• Μια συνάρτηση της οποίας η τιμή παραμένει αμετάβλητη (δηλ. μια σταθερή συνάρτηση). Μια τέτοια σταθερά αναπαρίσταται συνήθως από μια μεταβλητή η οποία δεν εξαρτάται από την κύρια μεταβλητή (ή τις κύριες μεταβλητές).

Παραδείγματος χάριν, μια γενική τετραγωνική συνάρτηση γράφεται συνήθως ως:

$a{x}^2+bx+c,$

όπου Πρότυπο:Mvar, Πρότυπο:Mvar και Πρότυπο:Mvar είναι σταθερές (συντελεστές ή παράμετροι), και Πρότυπο:Mvar μια μεταβλητή - ένας χώρος τοποθέτησης για το όρισμα της συνάρτησης που μελετάται. Ένας πιο σαφής τρόπος για να δηλώσουμε αυτή τη συνάρτηση είναι

$x\mapsto a{x}^2+bx+c,$

το οποίο καθιστά σαφές το καθεστώς ως όρισμα συνάρτησης του Πρότυπο:Mvar (και κατ' επέκταση τη σταθερότητα των Πρότυπο:Mvar, Πρότυπο:Mvar και Πρότυπο:Mvar). Σε αυτό το παράδειγμα τα Πρότυπο:Mvar, Πρότυπο:Mvar και Πρότυπο:Mvar είναι συντελεστές του πολυωνύμου. Εφόσον το Πρότυπο:Mvar εμφανίζεται σε έναν όρο που δεν περιλαμβάνει το Πρότυπο:Mvar, ονομάζεται σταθερός όρος του πολυωνύμου και μπορεί να θεωρηθεί ως ο συντελεστής του Πρότυπο:Math. Γενικότερα, κάθε πολυωνυμικός όρος ή έκφραση μηδενικού βαθμού (χωρίς μεταβλητή) είναι σταθερά.Πρότυπο:Rp

Σταθερή συνάρτηση

Κύριο άρθρο: Σταθερή συνάρτηση

Μια σταθερά μπορεί να χρησιμοποιηθεί για τον ορισμό μιας σταθερής συνάρτησης που αγνοεί τα ορίσματά της και δίνει πάντα την ίδια τιμή. Μια σταθερή συνάρτηση μιας μόνο μεταβλητής, όπως $f(x)=5$ έχει γραφική παράσταση μια οριζόντια γραμμή παράλληλη με τον άξονα x. Μια τέτοια συνάρτηση παίρνει πάντα την ίδια τιμή (στην προκειμένη περίπτωση 5), επειδή η μεταβλητή δεν εμφανίζεται στην έκφραση που ορίζει τη συνάρτηση.

Γραφική παράσταση της $f(x)=5$.

Εξάρτηση από το περιβάλλον

Ο εξαρτώμενος από τα συμφραζόμενα χαρακτήρας της έννοιας «σταθερά» μπορεί να φανεί σε αυτό το παράδειγμα από τον στοιχειώδη λογισμό:

$\begin{array}{cc}\frac{d}{dx}{2}^x& =\underset{h\to 0}{\lim }\frac{2^{x+h}-2^x}{h}=\underset{h\to 0}{\lim }{2}^x\frac{2^h-1}{h}\\ & =2^x\underset{h\to 0}{\lim }\frac{2^h-1}{h}& & \text{since }x\text{ is constant (i.e. does not depend on }h\text{)}\\ & =2^x\cdot 𝐜𝐨𝐧𝐬𝐭𝐚𝐧𝐭,& & \text{where }𝐜𝐨𝐧𝐬𝐭𝐚𝐧𝐭\text{ means not depending on }x.\end{array}$

«Σταθερά» σημαίνει ότι δεν εξαρτάται από κάποια μεταβλητή, δεν αλλάζει καθώς η μεταβλητή αυτή αλλάζει. Στην πρώτη περίπτωση παραπάνω, σημαίνει ότι δεν εξαρτάται από το h- στη δεύτερη, σημαίνει ότι δεν εξαρτάται από το x. Μια σταθερά σε ένα στενότερο πλαίσιο θα μπορούσε να θεωρηθεί ως μεταβλητή σε ένα ευρύτερο πλαίσιο.

Αξιοσημείωτες μαθηματικές σταθερές

Κύριο άρθρο: Μαθηματική σταθερά

Ορισμένες τιμές εμφανίζονται συχνά στα μαθηματικά και συμβολίζονται συμβατικά με ένα συγκεκριμένο σύμβολο. Αυτά τα τυποποιημένα σύμβολα και οι τιμές τους ονομάζονται μαθηματικές σταθερές. Παραδείγματα περιλαμβάνουν:

• 0 (μηδέν).
• 1 (ένα), ο φυσικός αριθμός μετά το μηδέν.
• Πρότυπο:Pi (π), η σταθερά που αντιπροσωπεύει τον λόγο της περιφέρειας ενός κύκλου προς τη διάμετρό του, περίπου ίση με 3,141592653589793238462643.
• Πρότυπο:Mvar περίπου 2,718281828459045235360287.
• Πρότυπο:Mvar, τη φανταστική μονάδα, έτσι ώστε Πρότυπο:Math.
• $\sqrt{2}$ (τετραγωνική ρίζα του 2), το μήκος της διαγωνίου ενός τετραγώνου με μοναδιαίες πλευρές, περίπου ίσο με 1.414213562373095048801688.
• Πρότυπο:Mvar (χρυσή τομή), περίπου ίση με 1,618033988749894848204586, ή αλγεβρικά, $\frac{1+\sqrt{5}}{2}$.

Σταθερές στον λογισμό

Στον λογισμό, οι σταθερές αντιμετωπίζονται με διάφορους τρόπους ανάλογα με την πράξη. Παραδείγματος χάριν, η παράγωγος (ρυθμός μεταβολής) μιας σταθερής συνάρτησης είναι μηδέν. Αυτό συμβαίνει επειδή οι σταθερές, εξ ορισμού, δεν μεταβάλλονται. Συνεπώς, η παράγωγος τους είναι μηδέν.

Αντίθετα, όταν η αντιπαράγωγος είναι μια σταθερή συνάρτηση, η σταθερά πολλαπλασιάζεται με τη μεταβλητή ολοκλήρωσης.

Κατά τη διάρκεια της αξιολόγησης ενός ορίου, μια σταθερά παραμένει η ίδια όπως ήταν πριν και μετά την αξιολόγηση.

Η ολοκλήρωση μιας συνάρτησης μιας μεταβλητής συχνά περιλαμβάνει μια σταθερά ολοκλήρωσης. Αυτό προκύπτει από το γεγονός ότι το ολοκλήρωμα είναι το αντίστροφο (αντίθετο) της παραγώγου που σημαίνει ότι ο στόχος της ολοκλήρωσης είναι η ανάκτηση της αρχικής συνάρτησης πριν από τη διαφοροποίηση. Η παράγωγος μιας σταθερής συνάρτησης είναι μηδέν, όπως προαναφέρθηκε, και ο διαφορικός τελεστής είναι γραμμικός τελεστής, οπότε συναρτήσεις που διαφέρουν μόνο κατά ένα σταθερό όρο έχουν την ίδια παράγωγο. Για να αναγνωριστεί αυτό, προστίθεται μια σταθερά ολοκλήρωσης σε ένα αόριστο ολοκλήρωμα- αυτό εξασφαλίζει ότι περιλαμβάνονται όλες οι πιθανές λύσεις. Η σταθερά ολοκλήρωσης γράφεται γενικά ως 'c' και αντιπροσωπεύει μια σταθερά με σταθερή αλλά απροσδιόριστη τιμή.

Παραδείγματα

Αν Πρότυπο:Math είναι η σταθερή συνάρτηση τέτοια ώστε $f(x)=72$ για κάθε Πρότυπο:Math τότε

$\begin{array}{cc}{f}^{\prime }(x)& =0\\ \int f(x)dx& =72x+c\\ \underset{x\to 0}{\lim }f(x)& =72\end{array}$

Εξωτερικοί σύνδεσμοι

• English - Greek Dictionary of Pure and Applied Mathematics Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
• Αγγλοελληνικό Λεξικό Μαθηματικής Ορολογίας - Πανεπιστήμιο Κύπρου
• Ευκλείδεια Γεωμετρία - Πανελλήνιο Σχολικό Δίκτυο
• Θεωρία ομάδων και Λι αλγεβρών -Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
• Θεωρία Αριθμών και Εφαρμογές
• Υπολογιστική Θεωρία Αριθμών

Δείτε επίσης

• Θεωρία αριθμών
• Αλγεβρική θεωρία αριθμών
• Φυσικός αριθμός
• Αλγεβρική θεωρία αριθμών
• Τετραγωνική ρίζα του 2
• Θεωρία αναπαραστάσεων
• Χρυσή τομή
• Άρτιοι και περιττοί αριθμοί
• Επεξεργασία σήματος
• Κβαντική μηχανική
• Πολλαπλάσιο (μαθηματικά)
• Διακριτός μετασχηματισμός Φουριέ
• Φυσική σταθερά
• Διακριτός μετασχηματισμός Φουριέ
• Θεμελιώδες θεώρημα αριθμητικής
• Αλγεβρική γεωμετρία
• Συναρτησιακή ανάλυση
• Ευκλείδειος χώρος

Βιβλιογραφία

• Πρότυπο:Cite book
• Πρότυπο:Cite book
• Πρότυπο:Cite book
• Πρότυπο:Cite book
• Πρότυπο:Cite book
• Πρότυπο:Cite book
• Πρότυπο:Cite book
• Πρότυπο:Cite book

Παραπομπές

• Πρότυπο:Cite book
• Πρότυπο:Cite book
• Πρότυπο:Cite book
• Πρότυπο:Cite book
• en:George W. Mackey, Harmonic analysis as the exploitation of symmetry–a historical survey, Bull. Amer. Math. Soc. 3 (1980), 543–698.
• M. Bujosa, A. Bujosa and A. Garcıa-Ferrer. Mathematical Framework for Pseudo-Spectra of Linear Stochastic Difference Equations, IEEE Transactions on Signal Processing vol. 63 (2015), 6498–6509.
• Πρότυπο:Citation
• Πρότυπο:Citation.

Πηγές

• Πρότυπο:Citation
• Πρότυπο:Citation
• Πρότυπο:Citation
• Πρότυπο:Cite book
• Πρότυπο:Cite book
• Πρότυπο:Citation
• Πρότυπο:Citation