Τετραγωνική ρίζα του 2

Πρότυπο:Μη-ακέραιος αριθμός Η τετραγωνική ρίζα του 2, ή αλλιώς, γραμμένο στα μαθηματικά, Πρότυπο:Math ή Πρότυπο:Math, είναι ο θετικός αλγεβρικός αριθμός που, όταν πολλαπλασιαστεί με τον εαυτό του, δίνει τον αριθμό 2. Τεχνικά, ονομάζεται η κύρια τετραγωνική ρίζα του 2, έτσι ώστε να διακρίνεται από τον αρνητικό αριθμό με την ίδια ιδιότητα.

Γεωμετρικά, η τετραγωνική ρίζα του 2 είναι το μήκος της διαγωνίου ενός τετραγώνου με πλευρά μήκους 1 (προκύπτει από το Πυθαγόρειο θεώρημα). Ήταν ίσως ο πρώτος γνωστός άρρητος αριθμός.

Ιστορία

Βαβυλωνιακή πήλινη πλάκα (YBC 7289) με σχολιασμούς. Δείχνει την τετραγωνική ρίζα του 2 σε εξηκονταδική μορφή (1 24 51 10).

Η βαβυλωνιακή πήλινη πλάκα YBC 7289 (1800-1600 π.Χ.) δίνει μια προσέγγιση του Πρότυπο:Math σε τέσσερα εξηνταδικά στοιχεία, 1 24 51 10, η οποία έχει ακρίβεια περίπου έξι δεκαδικά ψηφία, και είναι η κοντινότερη δυνατή εξηκονταδική αναπαράσταση του Πρότυπο:Math:

$1+\frac{24}{60}+\frac{51}{60^2}+\frac{10}{60^3}=\frac{305470}{216000}=1.41421\overline{296}.$

Μια άλλη πρώιμη προσέγγιση δίνεται στα αρχαία Ινδικά μαθηματικά κείμενα, τα Sulbasutras (800-200 π.Χ.) ως εξής: Αύξηση του μήκους της πλευράς με την τρίτη και της τρίτης από τη δική τέταρτη μικρότερη των τριάντα τέταρτο μέρος του τέταρτου. Δηλαδή,

$1+\frac{1}{3}+\frac{1}{3\times 4}-\frac{1}{3\times 4\times 34}=\frac{577}{408}=1.41421\overline{56862745098039}.$

Η προσέγγιση αυτή είναι η έβδομη στη σειρά από ολοένα και πιο ακριβείς προσεγγίσεις με βάση την ακολουθία των αριθμών του Πελ, η οποία μπορεί να προέρχεται από το συνεχές κλάσμα της επέκτασης του Πρότυπο:Math. Παρά τον μικρότερο παρονομαστή, είναι μόνο ελαφρώς λιγότερο ακριβές από τη βαβυλωνιακή προσέγγιση.

Πυθαγόρειοι μαθηματικοί ανακάλυψαν ότι η διαγώνιος ενός τετραγώνου είναι μη υπολογίσιμη, ή σε σύγχρονη γλώσσα, η τετραγωνική ρίζα του δύο είναι άρρητη. Λίγα είναι γνωστά σχετικά με το χρόνο ή τις συνθήκες αυτής της ανακάλυψης, αλλά το όνομα του Ιππάσου από το Μεταπόντιο αναφέρεται συχνά. Σύμφωνα με το μύθο, ο Ίππασος δολοφονήθηκε για αυτήν την αποκάλυψη. Η τετραγωνική ρίζα του δύο μερικές φορές αποκαλείται «ο αριθμός του Πυθαγόρα» ή «Πυθαγόρεια σταθερά», για παράδειγμα στο Πρότυπο:Harvard citation text .

Υπολογισμός με αλγορίθμους

Υπάρχουν αρκετοί αλγόριθμοι για την προσέγγιση του Πρότυπο:Math ως κλάσμα ακεραίων αριθμών. Ο πιο κοινός αλγόριθμος για αυτό, ο οποίος χρησιμοποιείται σε πολλούς υπολογιστές και αριθμομηχανές είναι η βαβυλωνιακή μέθοδος υπολογισμού τετραγωνικών ριζών. Η μέθοδος λειτουργεί ως εξής:

Πρώτον, διαλέγουμε ένα $a_0>0$, η τιμή του οποίου επηρεάζει μόνο πόσες επαναλήψεις απαιτούνται για την επίτευξη μίας προσέγγισης με συγκεκριμένη ακρίβεια. Στη συνέχεια, χρησιμοποιώντας αυτή την αρχική τιμή, χρησιμοποιεί τον ακόλουθο αναδρομικό υπολογισμό:

$a_{n+1}=\frac{a_n+\frac{2}{a_n}}{2}=\frac{a_n}{2}+\frac{1}{a_n}$.

Όσο περισσότερες επαναλήψεις τρέξουμε από τον αλγόριθμο (δηλαδή, όσο περισσότερους υπολογισμούς εκτελούμε και όσο μεγαλύτερο είναι το Πρότυπο:Math), τόσο καλύτερη προσέγγιση της τετραγωνικής ρίζας του 2 που επιτυγχάνεται. Κάθε επανάληψη περίπου διπλασιάζει το πλήθος των σωστών ψηφίων. Ξεκινώντας με το $a_0=1$ οι επόμενες προσεγγίσεις είναι οι εξής (όπου με bold είναι τα δεκαδικά ψηφία που είναι σωστά):

• 3/2 = 1 ,5
• 17/12 = 1,41 6 ...
• 577/408= 1,41421 5 ...
• 665857/470832= 1,41421356237 46 ...

Η τιμή της Πρότυπο:Math υπολογίστηκε με 137.438.953.444 δεκαδικά ψηφία από την ομάδα Yasumasa στον Καναδά το 1997. Τον Φεβρουάριο του 2006 το ρεκόρ για τον υπολογισμό του Πρότυπο:Math επιτεύχθηκε με την χρήση του προσωπικού υπολογιστή. Ο Σιγκέρου Κόντο υπολόγισε 1 τρισεκατομμύρια δεκαδικά ψηφία το 2010. Για την επίτευξη αυτού του ρεκόρ, δείτε τον παρακάτω πίνακα. Μεταξύ μαθηματικών σταθερών που είναι δύσκολο να υπολογιστούν, μόνο το [[Π (μαθηματική σταθερά)|Πρότυπο:Pi]] έχει υπολογιστεί με μεγαλύτερη ακρίβεια.

Ημερομηνία	Όνομα	Πλήθος ψηφίων
Ιανουάριος 5, 2022	Tizian Hanselmann	Πρότυπο:Val
Ιούνιος 28, 2016	Ron Watkins	Πρότυπο:Val
Απρίλιος 3, 2016	Ron Watkins	Πρότυπο:Val
Ιανουάριος 20, 2016	Ron Watkins	Πρότυπο:Val
Φεβρουάριος 9, 2012	Alexander Yee	Πρότυπο:Val
Μάρτιος 22, 2010	Shigeru Kondo	Πρότυπο:Val

Αποδείξεις αρρητότητας

Με εις άτοπον απαγωγή

Ας υποθέσουμε ότι το $\sqrt{2}$ μπορεί να γραφτεί ως το κλάσμα $\frac{p}{q}$, όπου $p$ και $q\ne 0$ είναι φυσικοί αριθμοί που είναι σχετικά πρώτοι μεταξύ τους, δηλαδή δεν υπάρχει κάποιος αριθμός (μεγαλύτερος του 1) που να διαιρεί και το $p$ και το $q$. Τότε, έχουμε ότι

$\sqrt{2}=\frac{p}{q}\Rightarrow 2=\frac{p^2}{q^2}\Rightarrow 2q^2=p^2$.

Επομένως, έχουμε ότι $2\mid p^2$ και άρα $2\mid p$, δηλαδή $p=2p^{\prime }$ για κάποιον φυσικό αριθμό $p^{\prime }$.

Επιστρέφοντας στην σχέση $2q^2=p^2$, έχουμε ότι

$2q^2=4(p^{\prime }{)}^2\Rightarrow q^2=2(p^{\prime }{)}^2$.

Συνεπώς, $2\mid q^2$ και $2\mid q$. Αυτό όμως μας οδηγεί σε άτοπο καθώς και ο $p$ και ο $q$ είναι ζυγοί, άρα δεν είναι πρώτοι μεταξύ (άτοπο).

Με το θεμελιώδες θεώρημα της αριθμητικής

Ξανά γράφοντας το $\sqrt{2}$ σαν κλάσμα $\frac{p}{q}$, έχουμε ότι

$2q^2=p^2$.

Από το θεμελιώδες θεώρημα αριθμητικής, οι αριθμοί $2q^2$ και $p^2$ μπορούν να γραφτούν μοναδικά ως γινόμενο πρώτων αριθμών. Ο $p^2$, λόγω του τετραγώνου, έχει κάθε πρώτο παράγοντα ζυγό αριθμό φορών. Το ίδιο και το $q^2$. Αλλά τότε ο $2q^2$ έχει μονό πλήθος από παράγοντες $2$. Συνεπώς, δεν μπορούν οι α$p^2$ και $2q^2$ να είναι ίσοι.

Περεταίρω ανάγνωση

Εξωτερικοί σύνδεσμοι

• Πρότυπο:Citation.
• Πρότυπο:Mathworld
• Η Τετραγωνική Ρίζα του Δύο και 5 εκατομμύρια ψηφία από Jerry Bonnell και Robert J. Nemiroff
• Η τετραγωνική ρίζα του 2 είναι άρρητη, μια συλλογή από αποδείξεις
• Πρότυπο:Cite web

Ελληνικά άρθρα

• Πρότυπο:Cite journal
• Πρότυπο:Cite journal
• Πρότυπο:Cite journal
• Πρότυπο:Cite journal

Ξενόγλωσσα άρθρα

• Πρότυπο:Cite journal
• Πρότυπο:Cite journal
• Πρότυπο:Cite journal