Θεώρημα Μενελάου

Το θεώρημα του Μενελάου δίνει την αναγκαία και ικανή συνθήκη ώστε τα σημεία $\mathrm{\Delta },\mathrm{E},\mathrm{Z}$ στις πλευρές του $\mathrm{A}\mathrm{B}\mathrm{\Gamma }$ να είναι συνευθειακά.

Στην γεωμετρία, το θεώρημα Μενελάου δίνει μία αναγκαία και ικανή συνθήκη για τρία σημεία στις πλευρές ενός τριγώνου να είναι συνευθειακά.

Πιο συγκεκριμένα, αν μία ευθεία τέμνει τις πλευρές $\mathrm{A}\mathrm{B}$, $\mathrm{\Gamma }\mathrm{A}$, $\mathrm{B}\mathrm{\Gamma }$ του τριγώνου $\mathrm{A}\mathrm{B}\mathrm{\Gamma }$ (ή τις προεκτάσεις τους) στα σημεία $\mathrm{\Delta },\mathrm{E},\mathrm{Z}$ αντίστοιχα (που είναι διαφορετικά από τα $\mathrm{A},\mathrm{B},\mathrm{\Gamma }$), τότεΠρότυπο:Rp

$\frac{\overline{\mathrm{A}\mathrm{\Delta }}}{\overline{\mathrm{\Delta }\mathrm{B}}}\cdot \frac{\overline{\mathrm{B}\mathrm{Z}}}{\overline{\mathrm{Z}\mathrm{\Gamma }}}\cdot \frac{\overline{\mathrm{\Gamma }\mathrm{E}}}{\overline{\mathrm{E}\mathrm{A}}}=-1.$

Η εξίσωση χρησιμοποιεί προσανατολισμένα μήκη, δηλ. το μήκος $\overline{\mathrm{A}\mathrm{B}}$ είναι θετικό ή αρνητικό αν το $\mathrm{A}$ είναι στα αριστερά ή στα δεξιά του $\mathrm{B}$ σύμφωνα με κάποιον σταθερό προσανατολισμό της ευθείας. Για παράδειγμα, το $\mathrm{A}\mathrm{\Delta }/\mathrm{A}\mathrm{B}$ έχει θετική τιμή αν το $\mathrm{\Delta }$ είναι μεταξύ του $\mathrm{A}$ και του $B$ και αρνητική διαφορετικά.

Ισχύει επίσης το αντίστροφο, δηλαδή αν για τα σημεία $\mathrm{\Delta },\mathrm{E},\mathrm{Z}$ των πλευρών $\mathrm{A}\mathrm{B}$, $\mathrm{\Gamma }\mathrm{A}$, $\mathrm{B}\mathrm{\Gamma }$ (ή των προεκτάσεων τους) ισχύει ότι

$\frac{\overline{\mathrm{A}\mathrm{\Delta }}}{\overline{\mathrm{\Delta }\mathrm{B}}}\cdot \frac{\overline{\mathrm{B}\mathrm{Z}}}{\overline{\mathrm{Z}\mathrm{\Gamma }}}\cdot \frac{\overline{\mathrm{\Gamma }\mathrm{E}}}{\overline{\mathrm{E}\mathrm{A}}}=-1$,

τότε τα $\mathrm{\Delta },\mathrm{E},\mathrm{Z}$ είναι συνευθειακά.

Το θεώρημα παίρνει το όνομά του από τον Μενέλαο τον Αλεξανδρέα, στου οποίου το έργο Σφαιρικά γίνεται η παλαιότερη γνωστή αναφορά. Το θεώρημα είναι στενά συνδεδεμένο με το θεώρημα Τσέβα.

Ιστορία

Η πιο παλιά γνωστή αναφορά του θεωρήματος είναι στο έργο Σφαιρικά του Μενελάου. Εκεί εμφανίζεται η εκδοχή του θεωρήματος στο επίπεδο ως λήμμα, για την απόδειξη της εκδοχής του θεωρήματος στη σφαίρα.

Στο έργο Μαθηματική σύνταξις, ο Κλαύδιος Πτολεμαίος εφαρμόζει το θεώρημα σε πολλές περιπτώσεις της σφαιρικής γεωμετρίας. Κατά τη χρυσή εποχή του Ισλάμ (8ος-14ος αι.) οι Μουσουλμάνοι λόγιοι αφιέρωσαν έναν αριθμό από έργα, που σχετίζονται με τη σπουδή του θεωρήματος του Πτολεμαίου και αναφέρονται ως η πρόταση η σχετική με τις τέμνουσες (Πρότυπο:Lang). Το πλήρες τετράπλευρο εκαλείτο το σχήμα των τεμνουσών στην ορολογία τους. Στο έργο Τα κλειδιά της Αστρονομίας ο Αλ-Μπιρουνί έχει έναν κατάλογο αυτών των εργασιών, που μπορεί να ταξινομηθούν είτε ως σπουδές σαν μέρος των σχολίων στην Αλμαγέστη του Πτολεμαίου (όπως είναι οι εργασίες του αλ-Ναϋρίζι και του αλ-Καζίν, οι οποίες δείχνουν ειδικές περιπτώσεις του θεωρήματος του Μενελάου, όπως ο νόμος των ημιτόνων), είτε ως ανεξάρτητες εργασίες όπως:

• Η Μελέτη στη μορφή των τεμνουσών (Πρότυπο:Lang) του Ταμπίτ ιμπν Κουρρά.
• Το έργο Βγάζοντας το πέπλο του μυστηρίου από τη μορφή των τεμνουσών (Πρότυπο:Lang. Η χαμένη αυτή μελέτη αναφέρεται από τον Αλ-Τουσί και τον Νασίρ αλ-Ντιν αλ-Τουσί.
• Εργασία του αλ-Σίτζι.
• Το έργο Tahdhib του Αμπού Νασρ ιμπν Ιράκ.

Δείτε επίσης

• Θεώρημα Τσέβα