Θεώρημα Τσέβα

Τα ευθύγραμμα τμήματα $\mathrm{A}{\mathrm{A}}^{\prime }$, $\mathrm{B}{\mathrm{B}}^{\prime }$ και $\mathrm{\Gamma }{\mathrm{\Gamma }}^{\prime }$ συντρέχουν.

Στη γεωμετρία, το θεώρημα Τσέβα (αναφέρεται συχνά ως θεώρημα Ceva) δίνει μία αναγκαία και ικανή συνθήκη για τρία ευθύγραμμα που ενώνουν τις κορυφές ενός τριγώνου με τις απέναντι πλευρές τους, να συντρέχουν.

Πιο συγκεκριμένα, σε ένα τρίγωνο $\mathrm{A}\mathrm{B}\mathrm{\Gamma }$ τα ευθύγραμμα τμήματα $\mathrm{A}{\mathrm{A}}^{\prime }$, $\mathrm{B}{\mathrm{B}}^{\prime }$ και $\mathrm{\Gamma }{\mathrm{\Gamma }}^{\prime }$ (με ${\mathrm{A}}^{\prime },{\mathrm{B}}^{\prime },{\mathrm{\Gamma }}^{\prime }$ σημεία των πλευρών $\mathrm{B}\mathrm{\Gamma },\mathrm{A}\mathrm{\Gamma },\mathrm{A}\mathrm{B}$ αντίστοιχα) συντρέχουν αννΠρότυπο:Rp

$\frac{{\mathrm{A}}^{\prime }\mathrm{B}}{{\mathrm{A}}^{\prime }\mathrm{\Gamma }}\mathrm{\cdot }\frac{{\mathrm{B}}^{\prime }\mathrm{\Gamma }}{{\mathrm{B}}^{\prime }\mathrm{A}}\mathrm{\cdot }\frac{{\mathrm{\Gamma }}^{\prime }\mathrm{A}}{{\mathrm{\Gamma }}^{\prime }\mathrm{B}}\mathrm{=}\mathrm{1}\mathrm{.}$

Το θεώρημα παίρνει το όνομά του από τον μαθηματικό Τζιοβάνι Τσέβα και είναι στενά συνδεδεμένο με το θεώρημα του Μενελάου.

Εφαρμογές

Το θεώρημα του Τσέβα χρησιμοποιείται συχνά για να αποδείξει ότι τρεις σεβιανές ενός τριγώνου συντρέχουν: οι διάμεσοι συντρέχουν στο βαρύκεντρο, οι διχοτόμοι στο έγκεντρο, τα ύψη στο ορθόκεντρο, και άλλα.

Απόδειξη βαρυκέντρου

Έστω ${\mathrm{M}}_{\mathrm{A}},{\mathrm{M}}_{\mathrm{B}},{\mathrm{M}}_{\mathrm{\Gamma }}$ τα μέσω των πλευρών του τριγώνου, δηλαδή $\mathrm{B}{\mathrm{M}}_{\mathrm{A}}\mathrm{=}\mathrm{\Gamma }{\mathrm{M}}_{\mathrm{A}}$, $\mathrm{A}{\mathrm{M}}_{\mathrm{B}}\mathrm{=}\mathrm{\Gamma }{\mathrm{M}}_{\mathrm{B}}$ και $\mathrm{B}{\mathrm{M}}_{\mathrm{A}}\mathrm{=}\mathrm{\Gamma }{\mathrm{M}}_{\mathrm{A}}$. Τότε

$\frac{\mathrm{A}{\mathrm{M}}_{\mathrm{B}}}{\mathrm{\Gamma }{\mathrm{M}}_{\mathrm{B}}}\cdot \frac{\mathrm{\Gamma }{\mathrm{M}}_{\mathrm{A}}}{\mathrm{B}{\mathrm{M}}_{\mathrm{A}}}\cdot \frac{\mathrm{B}{\mathrm{M}}_{\mathrm{\Gamma }}}{\mathrm{A}{\mathrm{M}}_{\mathrm{\Gamma }}}=1.$

Επομένως, οι τρεις διάμεσοι διέρχονται από το ίδιο σημείο (το βαρύκεντρο).

Απόδειξη εγκέντρου

Από το θεώρημα εσωτερικής διχοτόμου έχουμε για τις διχοτόμους $\mathrm{A}{\mathrm{\Delta }}_{\mathrm{A}}$, $\mathrm{B}{\mathrm{\Delta }}_{\mathrm{B}}$ και $\mathrm{\Gamma }{\mathrm{\Delta }}_{\mathrm{\Gamma }}$ ότι

$\frac{\mathrm{A}\mathrm{B}}{\mathrm{A}\mathrm{\Gamma }}\mathrm{=}\frac{\mathrm{B}{\mathrm{\Delta }}_{\mathrm{A}}}{\mathrm{\Gamma }{\mathrm{\Delta }}_{\mathrm{A}}},\frac{\mathrm{B}\mathrm{A}}{\mathrm{B}\mathrm{\Gamma }}\mathrm{=}\frac{\mathrm{A}{\mathrm{\Delta }}_{\mathrm{B}}}{\mathrm{\Gamma }{\mathrm{\Delta }}_{\mathrm{B}}}$ και $\frac{\mathrm{\Gamma }\mathrm{A}}{\mathrm{\Gamma }\mathrm{B}}\mathrm{=}\frac{\mathrm{A}{\mathrm{\Delta }}_{\mathrm{\Gamma }}}{\mathrm{B}{\mathrm{\Delta }}_{\mathrm{\Gamma }}}\mathrm{.}$

Επομένως, έχουμε ότι

$\frac{\mathrm{B}{\mathrm{\Delta }}_{\mathrm{A}}}{\mathrm{\Gamma }{\mathrm{\Delta }}_{\mathrm{A}}}\mathrm{\cdot }\frac{\mathrm{\Gamma }{\mathrm{\Delta }}_{\mathrm{B}}}{\mathrm{A}{\mathrm{\Delta }}_{\mathrm{B}}}\mathrm{\cdot }\frac{\mathrm{A}{\mathrm{\Delta }}_{\mathrm{\Gamma }}}{\mathrm{B}{\mathrm{\Delta }}_{\mathrm{\Gamma }}}\mathrm{=}\frac{\mathrm{A}\mathrm{B}}{\mathrm{A}\mathrm{\Gamma }}\mathrm{\cdot }\frac{\mathrm{B}\mathrm{\Gamma }}{\mathrm{B}\mathrm{A}}\mathrm{\cdot }\frac{\mathrm{\Gamma }\mathrm{A}}{\mathrm{\Gamma }\mathrm{B}}\mathrm{=}\mathrm{1}$,

και από το αντίστροφο θεώρημα του Τσέβα καταλήγουμε ότι οι τρεις διχοτόμοι διέρχονται από το ίδο σημείο (το έγκεντρο).

Απόδειξη ορθοκέντρου

Τα τρίγωνα $\mathrm{A}{\mathrm{H}}_{\mathrm{B}}\mathrm{B}$ και $\mathrm{A}{\mathrm{H}}_{\mathrm{\Gamma }}\mathrm{\Gamma }$ είναι όμοια καθώς έχουν μία ορθή και την $\hat{\mathrm{A}}$ ίση. Επομένως,

$\frac{\mathrm{A}\mathrm{B}}{\mathrm{A}\mathrm{\Gamma }}=\frac{\mathrm{A}{\mathrm{H}}_{\mathrm{B}}}{\mathrm{A}{\mathrm{H}}_{\mathrm{\Gamma }}}$.

Αντίστοιχα,

$\frac{\mathrm{B}\mathrm{A}}{\mathrm{B}\mathrm{\Gamma }}=\frac{\mathrm{B}{\mathrm{H}}_{\mathrm{A}}}{\mathrm{B}{\mathrm{H}}_{\mathrm{\Gamma }}}$ και $\frac{\mathrm{\Gamma }\mathrm{B}}{\mathrm{\Gamma }\mathrm{A}}=\frac{\mathrm{\Gamma }{\mathrm{H}}_{\mathrm{B}}}{\mathrm{\Gamma }{\mathrm{H}}_{\mathrm{A}}}$.

Επομένως,

$\frac{\mathrm{A}{\mathrm{H}}_{\mathrm{B}}}{{\mathrm{H}}_{\mathrm{B}}\mathrm{\Gamma }}\cdot \frac{\mathrm{B}{\mathrm{H}}_{\mathrm{\Gamma }}}{{\mathrm{H}}_{\mathrm{\Gamma }}\mathrm{A}}\cdot \frac{\mathrm{\Gamma }{\mathrm{H}}_{\mathrm{A}}}{{\mathrm{H}}_{\mathrm{A}}\mathrm{B}}=\frac{\mathrm{A}\mathrm{\Gamma }}{\mathrm{A}\mathrm{B}}\cdot \frac{\mathrm{B}\mathrm{A}}{\mathrm{B}\mathrm{\Gamma }}\cdot \frac{\mathrm{\Gamma }\mathrm{B}}{\mathrm{\Gamma }\mathrm{A}}=1$,

και από το αντίστροφο θεώρημα του Τσέβα, προκύπτει ότι τα τρία ύψη συντρέχουν (στο σημείο που ονομάζεται ορθόκεντρο).

Άλλες εφαρμογές

Το αντίστροφο του θεωρήματος του Τσέβα μπορεί να χρησιμοποιηθεί στις αποδείξεις για την ύπαρξη του σημείου Νάγκελ, του σημείου Gergonne και του σημείου Λεμουάν.

Επεκτάσεις

Υπάρχουν διάφορες γενικεύσεις του θεωρήματος του Τσέβα για τετράπλευρα, πολύγωνα καθώς και για περισσότερες διαστάσεις.

Δείτε επίσης

• Θεώρημα του Μενελάου

Περαιτέρω ανάγνωση

Εξωτερικοί σύνδεσμοι

• Θεώρημα του Τσέβα: Αποδείξεις και εφαρμογές
• Θεώρημα του Τσέβα και εφαρμογές Πρότυπο:Webarchive
• Διαδραστική εφαρμογή για το θεώρημα του Τσέβα και σχέση με το θεώρημα Μενελάου
• Διαδραστική εφαρμογή για το θεώρημα του Τσέβα

Ελληνικά άρθρα

• Πρότυπο:Cite journal

Ξενόγλωσσα άρθρα

• Πρότυπο:Cite journal
• Πρότυπο:Cite journal
• Πρότυπο:Cite journal
• Πρότυπο:Cite journal
• Πρότυπο:Cite journal
• Πρότυπο:Cite journal
• Πρότυπο:Cite journal