Ταυτοτικός πίνακας

Στη γραμμική άλγεβρα, ο ταυτοτικός ή μοναδιαίος πίνακας είναι ο πίνακας ο οποίος έχει την μονάδα σε όλα τα στοιχεία της κυρίας διαγωνίου και το μηδέν σε όλα τα άλλα στοιχεία. Πιο συγκεκριμένα, σε έναν διανυσματικό χώρο $V$ με $n$ διαστάσεις, ο $n\times n$ ταυτοτικός πίνακας είναι ο πίνακας $I_n$ μεΠρότυπο:RpΠρότυπο:RpΠρότυπο:Rp

$(I_n{)}_{ij}=\{\begin{array}{cc}1& \text{αν }i=j,\\ 0& \text{διαφορετικά},\end{array}$

για κάθε $1\le i,j\le n$, όπου $0$ είναι το ουδέτερο στοιχείο της πρόσθεσης και $1$ το ουδέτερο στοιχείο του βαθμωτού πολλαπλασιασμού στον διανυσματικό χώρο. Η συνάρτηση στο δεξί μέλος είναι η συνάρτηση δέλτα του Κρόνεκερ, επομένως $(I_n{)}_{ij}={\delta }_{ij}$.Πρότυπο:Rp

Διαγραμματικά ο πίνακας δίνεται ως εξής:

$I_n=\left[\begin{array}{cccc}1& 0& \cdots & 0\\ 0& 1& \cdots & 0\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ 0& 0& \cdots & 1\end{array}\right].$

Παραδείγματα

• Για $n=1$, $I_1=\left[\begin{array}{c}1\end{array}\right]$.
• Για $n=2$, $I_2=\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right]$.
• Για $n=3$, $I_3=\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right]$.

Ιδιότητες

• Για κάθε $n\times n$ πίνακα $A$ έχουμε ότι

$A\cdot I_n=I_n\cdot A=A$

Δηλαδή, ο ταυτοτικός πίνακας είναι το ταυτοτικό (ή ουδέτερο) στοιχείο των πινάκων ως προς τον πολλαπλασιασμό πινάκων.Πρότυπο:R

• Πιο γενικά, για κάθε $n\times m$ πίνακα $A$ έχουμε ότιΠρότυπο:Rp

$A\cdot I_m=I_n\cdot A=A$.

• Η ορίζουσα του πίνακα είναι $\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t}(I_n)=1$.Πρότυπο:R
• Το ίχνος του πίνακα $\mathrm{t}\mathrm{r}(I_n)={\sum }_{i=1}^n(I_n{)}_{ii}=n$.
• Ο πίνακας είναι συμμετρικός, καθώς ο ανάστροφος $I_n^T=I_n$.
• Ο πίνακας είναι ορθογώνιος, καθώς $I_n\cdot I_n^T=I_n\cdot I_n=I_n$.
• Ο πίνακας είναι αντιστρέψιμος και ο αντίστροφός του είναι ο ίδιος ο πίνακας.Πρότυπο:R
• Έχει ιδιοτιμή το $1$ με πολλαπλότητα $n$ και κάθε διάνυσμα $v\ne \mathrm{𝟎}$ είναι ιδιοδιάνυσμα.Πρότυπο:R
• Ο πίνακας είναι διαγώνιος και μπορεί να γραφτεί ως $\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{g}(1,1,\dots ,1)$.