Ανισότητα Τσεμπισιόφ

Στην θεωρία πιθανοτήτων, η ανισότητα Τσεμπισιόφ (αναφέρεται και ως ανισότητα Chebyshev) δίνει ένα φράγμα στην πιθανότητα μία τυχαία μεταβλητή $X$ να αποκλίνει από την αναμενόμενη τιμή της, συναρτήσει της διακύμανσής της. Πιο συγκεκριμένα, για κάθε τυχαία μεταβλητή $X$ με πεπερασμένη διακύμανση $\mathrm{Var}(X)<\mathrm{\infty }$, ισχύει για κάθε $a>0$Πρότυπο:RpΠρότυπο:RpΠρότυπο:Rp

$\mathrm{Pr}(|X-\mathrm{E}(X)|\ge a)\le \frac{\mathrm{Var}(X)}{a^2}.$

Απόδειξη

Η τυπική απόδειξη της ανισότητας Τσεμπισιόφ προκύπτει από την εφαρμογή της ανισότητας Μαρκόφ η οποία λέει ότι για οποιαδήποτε μη-αρνητική τυχαία μεταβλητή $Y$, ισχύει ότι για κάθε $a>0$

$\mathrm{Pr}(Y\ge a)\le \frac{\mathrm{E}(Y)}{a}$.

Υπενθυμίζουμε επίσης ότι η διακύμανση της $X$ ορίζεται ως

$\mathrm{Var}(X)=\mathrm{E}[(X-\mathrm{E}(X){)}^2].$

Η ανισότητα Τσεμπισιόφ προκύπτει από την ανισότητα Μαρκόφ, θεωρώντας την τυχαία μεταβλητή

$Y=(X-\mathrm{E}(X){)}^2.$

Πιο συγκεκριμένα, για την $Y$ (που είναι μη-αρνητική ως το τετράγωνο μίας τυχαίας μεταβλητής), η ανισότητα Μαρκόφ δίνει

$\mathrm{Pr}((X-\mathrm{E}(X){)}^2\ge a^2)\le \frac{\mathrm{Var}(X)}{a^2}$.

καθώς $\mathrm{E}(Y)=\mathrm{E}((X-\mathrm{E}(X){)}^2)=\mathrm{Var}(X)$. Αφού $a>0$, καταλήγουμε ότι

$\mathrm{Pr}(|X-\mathrm{E}(X)|\ge a)\le \frac{\mathrm{Var}(X)}{a^2}$.

Δείτε επίσης

• Ανισότητα Μαρκόφ
• Ανισότητα Σάμιουελσον