Ανισότητα Σάμιουελσον

Στην θεωρία πιθανοτήτων και στην στατιστική, η ανισότητα Σάμιουελσον (αναφέρεται και ως ανισότητα Samuelson) λέει ότι για κάθε $x_1,\dots ,x_n$, ισχύει ότι

$\bar{x}-s\sqrt{n-1}\le x_i\le \bar{x}+s\sqrt{n-1},$

όπου $\bar{x}=\frac{1}{n}{\sum }_{i=1}^n{x}_i$ είναι η δειγματική μέση τιμή και $s=\sqrt{\frac{1}{n}\cdot \sum _{i=1}^n(x_i-\bar{x}{)}^2}$ είναι η δειγµατική διακύμανση.

Δηλαδή σε μία δειγματοληψία, κάθε ένα από τα δείγματα είναι στο διάστημα $[\bar{x}-s\sqrt{n-1},\bar{x}+s\sqrt{n-1}]$.

Ανισότητα παίρνει το όνομά της από τον Πολ Σάμιουελσον.

Απόδειξη

Η απόδειξη που θα δούμε βασίζεται στην ανισότητα Κωσύ-Σβαρτς και ακολουθεί αυτή στην εργασία του Άρνολντ.

Χωρίς βλάβη της γενικότητας θα αποδείξουμε την ανισότητα για $i=n$. Θεωρούμε τα διανύσματα $𝐚=(x_1,\dots ,x_{n-1})$ και $𝐛=(1,\dots ,1)$. Από την ανισότητα Κωσύ-Σβαρτς, έχουμε ότι

$|𝐚\cdot 𝐛|\le \Vert 𝐚\Vert \cdot \Vert 𝐛\Vert .$

Το εσωτερικό τους γινόμενο δίνεται από

$|𝐚\cdot 𝐛|=|\sum _{j=1}^{n-1}(\bar{x}-x_j)|=|(n-1)\bar{x}-(n\cdot \bar{x}-x_n)|=|x_n-\bar{x}|.$

Το δεξί μέλος της ανισότητας δίνεται από

$\Vert 𝐚\Vert \cdot \Vert 𝐛\Vert =\sqrt{\sum _{i=1}^{n-1}{1}^2}\cdot \sqrt{\sum _{i=1}^{n-1}(\bar{x}-x_i{)}^2}=\sqrt{(n-1)\cdot \sum _{i=1}^{n-1}(\bar{x}-x_i{)}^2}$

Συνδυάζοντας τα δύο μέλη, λαμβάνουμε

$|x_n-\bar{x}|\le \sqrt{(n-1)\cdot \sum _{i=1}^{n-1}(\bar{x}-x_i{)}^2}$.

Υψώνοντας στο τετράγωνο και τα δύο μέλη,

${|x_n-\bar{x}|}^2\le (n-1)\cdot \sum _{i=1}^{n-1}(\bar{x}-x_i{)}^2$,

και προσθέτοντας τον όρο $(n-1)\cdot \sum _{i=1}^{n-1}(\bar{x}-x_n{)}^2$ και στα δύο μέλη,

$n\cdot {|x_n-\bar{x}|}^2\le (n-1)\cdot \sum _{i=1}^n(\bar{x}-x_i{)}^2$.

Αναδιατάσσοντας, έχουμε ότι

$|x_n-\bar{x}|\le \sqrt{\frac{n-1}{n}\cdot \sum _{i=1}^n(\bar{x}-x_i{)}^2}$

Από τον ορισμό της δειγµατικής διακύµανσης έχουμε ότι

$|x_n-\bar{x}|\le s\sqrt{n-1}$.

Σχέση με ανισότητα Τσεμπισιόφ

Η ανισότητα Τσεμπισιόφ μπορεί να χρησιμοποιηθεί ώστε να δώσει ένα λιγότερο ισχυρό φράγμα για την απόκλιση $|\bar{x}-x_i|$. Για κάθε τυχαία μεταβλητή $X$ η ανισότητα Τσεμπισιόφ λέει ότι για κάθε $\alpha >0$,

$\mathrm{Pr}(|X-E[X]|\le \alpha )\le \frac{\mathrm{V}\mathrm{a}\mathrm{r}(X)}{{\alpha }^2}$.

Θεωρούμε την τυχαία μεταβλητή $X$ για την οποία $\mathrm{Pr}(X=x_i)=\frac{1}{n}$ για κάθε $1\le i\le n$. Τότε ισχύει ότι $E[X]=\bar{x}$ και ${\sigma }^2=\mathrm{Var}(X)=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n(\bar{x}-x_i{)}^2=s$. Για $\alpha ={\sigma }^2$ η ανισότητα Τσεμπισιόφ δίνει ότι

$\mathrm{Pr}(|X-\bar{x}|\le s\sqrt{n})>1-\frac{1}{n}.$

Επομένως, με πιθανότητα $1-1/n$ (δηλαδή πάντοτε αφού κάθε τιμή έχει πιθανότητα να επιλεγεί $1/n$) ισχύει ότι,

$|X-\bar{x}|\le s\sqrt{n},$

που είναι ισοδύναμο ότι για κάθε $1\le i\le n$,

$|x_i-\bar{x}|\le s\sqrt{n}.$

Σε σχέση με την ανισότητα Σάμιουελσον είναι λιγότερο ισχυρό αφού $\sqrt{n}\ge \sqrt{n-1}$, αλλά η ανισότητα μπορεί να δώσει φράγματα για κάποιο δοθέν ποσοστό των δειγμάτων.

Γενικεύσεις

Διάφορες γενικεύσεις της ανισότητας Σάμιουελσον έχουν μελετηθεί.

Δείτε επίσης

• Ανισότητα Τσεμπισιόφ