Πεπερασμένο σύνολο

Στην θεωρία συνόλων, ένα πεπερασμένο σύνολο είναι ένα σύνολο $S$ για το οποίο υπάρχει φυσικός αριθμός $n\in \mathbb{N}$ και 1-1 και επί συνάρτηση $f:S\to \{1,2,\dots ,n\}$ ή είναι το κενό σύνολο. Ο αριθμός $n$ είναι ο πληθάριθμος του συνόλου και συμβολίζεται ως $|S|$.

Για παράδειγμα, τα παρακάτω σύνολα είναι πεπερασμένα

• $S_1=\{1,2,3\}$,
• $S_2=\{2,4,6,8\}$,
• $S_3=\mathrm{\varnothing }$,

ενώ τα σύνολα των φυσικών αριθμών $\mathbb{N}$, ακεραίων αριθμών $\mathbb{Z}$ και των πραγματικών αριθμών $ℝ$ είναι μη-πεπερασμένα.

Σε ένα πεπερασμένο σύνολο τα στοιχεία του μπορούν να απαριθμηθούν ως $a_1,\dots ,a_n$.

Ιδιότητες

• Για δύο πεπερασμένα σύνολα $S_1$ και $S_2$ ισχύει από την αρχή εγκλεισμού-αποκλεισμού ότι

$|S_1\cup S_2|=|S_1|+|S_2|-|S_1\cap S_2|$.

• Για δύο πεπερασμένα σύνολα $S_1$ και $S_2$ το καρτεσιανό τους γινόμενο $S_1\times S_2$, ικανοποιεί

$|S_1\times S_2|=|S_1|\cdot |S_2|$.

• Το δυναμοσύνολο $𝒫(S)$ του $S$ έχει $|𝒫(S)|=2^{|S|}$ στοιχεία.
• Κάθε πεπερασμένο σύνολο είναι αριθμήσιμο.