Καρτεσιανό γινόμενο

Στα μαθηματικά, το Καρτεσιανό γινόμενο είναι μια μαθηματική πράξη, η οποία επιστρέφει ένα σύνολο (ή γινόμενο συνόλων ή απλά γινόμενο) από διάφορα σύνολα. Δηλαδή, για τα σύνολα A και B, το Καρτεσιανό γινόμενο Πρότυπο:Nowrap είναι το σύνολο όλων των διατεταγμένων ζεύγων Πρότυπο:Nowrap όπου Πρότυπο:Nowrap και Πρότυπο:Nowrap. Τα γινόμενα αυτά μπορούν να καθοριστούν, χρησιμοποιώντας σημειογραφία δημιουργίας συνόλων, π.χ.:

A \times B = {(a, b) | a \in A \land b \in B}

.^[1]

Θα μπορούσε να δημιουργηθεί ένας πίνακας από τη λήψη του Καρτεσιανού γινομένου ενός συνόλου γραμμών και ενός συνόλου στηλών. Όταν ληφθεί το Καρτεσιανό γινόμενο Πρότυπο:Nowrap, τα κελιά του παραχθέντος πίνακα θα περιέχουν διατεταγμένα ζεύγη της μορφής Πρότυπο:Nowrap.

Γενικότερα, το Καρτεσιανό γινόμενο ν συνόλων, γνωστό και ως ν-οστό Καρτεσιανό γινόμενο, μπορεί να εκπροσωπείται από έναν πίνακα ν διαστάσεων, όπου κάθε στοιχείο του είναι μια ν-άδα. Ένα διατεταγμένο ζεύγος είναι μια 2-άδα ή απλά ένα ζεύγος.

Το Καρτεσιανό γινόμενο ονομάστηκε από τον Ρενέ Ντεκάρτ,^[2] του οποίου η διατύπωση της αναλυτικής γεωμετρίας οδήγησε σε μια έννοια που γενικεύεται περαιτέρω με τον όρο άμεσο γινόμενο.

Παραδείγματα

Τράπουλα

Ένα ενδεικτικό παράδειγμα είναι η κανονική τράπουλα με τις 52 κάρτες.

Τα τραπουλόχαρτα συμβολίζονται από ένα σύνολο 13-στοιχείων {A, K, Q, J, 10, 9, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2}, τα χρώματα των οποίων καθορίζονται από ένα σύνολο 4-στοιχείων Πρότυπο:Nowrap. Το Καρτεσιανό γινόμενο των δύο αυτών συνόλων επιστρέφει ένα σύνολο 52-στοιχείων, το οποίο αποτελείται από 52 διατεταγμένα ζεύγη, που αντιστοιχούν σε όλα τα πιθανά 52 τραπουλόχαρτα.

Πρότυπο:Nowrap επιστρέφει ένα σύνολο της μορφής { (A, ♠), (A, Πρότυπο:Color), (A, Πρότυπο:Color), (A, ♣), (K, ♠), ..., (3, ♣), (2, ♠), (2, Πρότυπο:Color), (2, Πρότυπο:Color), (2, ♣) }.

Πρότυπο:Nowrap επιστρέφει ένα σύνολο της μορφής { (♠, A), (♠, K), (♠, Q), (♠, J), (♠, 10), ..., (♣, 6), (♣, 5), (♣, 4), (♣, 3), (♣, 2) }.

Και τα δύο σύνολα είναι διακριτά, αν και ασυνεχή.

Σύστημα συντεταγμένων δύο διαστάσεων

Το βασικό ιστορικό παράδειγμα αφορά το Καρτεσιανό επίπεδο στην αναλυτική γεωμετρία.

Ο Ρενέ Ντεκάρτ, για να εκλάβει τα γεωμετρικά σχήματα με αριθμητικό τρόπο και να εξαγάγει αριθμητικά πληροφορίες από τις αριθμητικές αναπαραστάσεις των σχημάτων, απέδωσε σε κάθε σημείο του επιπέδου ένα ζεύγος πραγματικών αριθμών, που το ονόμασε ως συντεταγμένες του σημείου. Συνήθως το πρώτο και το δεύτερο συστατικό ενός ζεύγους ονομάζεται x και y συντεταγμένη αντιστοίχως (βλ. την εικόνα δεξιά).

Με το σύνολο όλων αυτών των ζευγαριών, δηλαδή το Καρτεσιανό γινόμενο Πρότυπο:Nowrap όπου ℝ το σύνολο των πραγματικών αριθμών, αποδίδεται το σύνολο όλων των σημείων στο επίπεδο.

Άλλες μορφές

Συντομευμένη μορφή

Αν πολλαπλασιάζονται μαζί αρκετά σύνολα, π.χ. X₁, X₂, X₃, …, τότε ορισμένοι συγγραφείς^[3] επιλέγουν να συντομεύσουν το Καρτεσιανό γινόμενο απλά ως ×X_i.