Διατεταγμένο ζεύγος

Πρότυπο:Πηγές Ένα διατεταγμένο ζεύγος μπορεί να οριστεί ως μία συλλογή από δύο αντικείμενα στην οποία καθορίζεται η διάταξη των αντικειμένων, έτσι ώστε το ένα αντικείμενο να είναι το πρώτο και το άλλο το δεύτερο στοιχείο του διατεταγμένου ζεύγους. Συνήθως συμβολίζεται με δύο γωνιακές παρενθέσεις ή με δύο απλές παρενθέσεις, για παράδειγμα το διατεταγμένο ζεύγος με πρώτο στοιχείο το $a$ και δεύτερο το $b$ σημειώνεται $⟨a,b⟩$ ή $(a,b)$ .

Ενώ για τα σύνολα η αρχή της ταυτότητας δεν περιλαμβάνει διάταξη, έτσι ώστε ισχύει για παράδειγμα ότι $\{1,2\}=\{2,1\}$, αντίθετα για τα διατεταγμένα ζεύγη η αρχή της ταυτότητας περιλαμβάνει τη διάταξη, έτσι ώστε ισχύει για παράδειγμα ότι $⟨1,2⟩\ne ⟨2,1⟩$ .

Έχουν προταθεί αρκετοί διαφορετικοί τυπικοί ή αυστηροί ορισμοί για την έννοια του διατεταγμένου ζεύγους, η οποία άλλοτε ορίζεται ως πρωταρχική έννοια και άλλες φορές ορίζεται με βάση τα σύνολα. Ένας τυπικός ορισμός του διατεταγμένου ζεύγους είναι αυτός του Kuratowski:

$⟨a,b⟩:=\{\left\{a\right\},\{a,b\}\}$ .

Με βάση αυτόν τον ορισμό η ιδιότητα ότι το στοιχείο $x$ είναι το πρώτο στοιχείο του διατεταγμένου ζεύγους $p$ μπορεί να λάβει τη μορφή

$\mathrm{\forall }Y\in p:x\in Y$ ,

και η ιδιότητα ότι το στοιχείο $x$ είναι το δεύτερο στοιχείο του διατεταγμένου ζεύγους $p$ μπορεί να λάβει τη μορφή

$(\mathrm{\exists }Y\in p:x\in Y)\wedge (\mathrm{\forall }{Y}_1,Y_2\in p:Y_1\ne Y_2\to (x\notin Y_1\vee x\notin Y_2))$ .

Πρότυπο:Μαθηματικά-επέκταση