Ταυτότητα Λαγκράνζ

Στα μαθηματικά, η ταυτότητα Λαγκράνζ (αναφέρεται και ως ταυτότητα Lagrange) είναι η ταυτότητα που ισχύει για κάθε πραγματικούς αριθμούς $a,b,x,y$ και λέει ότιΠρότυπο:RpΠρότυπο:Rp

$(a^2+b^2)\cdot (x^2+y^2)=(ax+by{)}^2+(ay-bx{)}^2$.

Πιο γενικά, για οποιαδήποτε για $n$ πραγματικούς $a_1,\dots ,a_n$ και $b_1,\dots ,b_n$ ισχύει ότι

$(a_1^2+\dots +a_n^2)\cdot (b_1^2+\dots +b_n^2)-(a_1{b}_1+\dots +a_n{b}_n{)}^2={(a_1{b}_2-a_2{b}_1)}^2+{(a_1{b}_3-a_1{b}_3)}^2+\dots +{(a_{n-1}{b}_n-a_{n-1}{b}_n)}^2,$

ή πιο σύντομα με την χρήση του συμβολισμού για το άθροισμα

$\left(\sum _{k=1}^n{a}_k^2\right)\left(\sum _{k=1}^n{b}_k^2\right)-{\left(\sum _{k=1}^n{a}_k{b}_k\right)}^2=\sum _{i=1}^{n-1}\sum _{j=i+1}^n{(a_i{b}_j-a_j{b}_i)}^2$.

Η σχέση αυτή μπορεί επίσης να γραφτεί με την χρήση διανυσμάτων $𝐚,𝐛\in {ℝ}^n$ ως εξής

${\Vert 𝐚\Vert }^2{\Vert 𝐛\Vert }^2-(𝐚\cdot 𝐛{)}^2=\sum _{1\le i<j\le n}{(a_i{b}_j-a_j{b}_i)}^2$.

Από αυτήν την σχέση και το γεγονός ότι $x^2\ge 0$ για κάθε πραγματικό αριθμό $x$, προκύπτει η ανισότητα Κωσύ-Σβαρτς στους πραγματικούς αριθμούς, δηλαδή

$\Vert 𝐚\Vert \Vert 𝐛\Vert \ge 𝐚\cdot 𝐛$.

Η ταυτότητα παίρνει το όνομά της από τον Ζοζέφ Λουί Λαγκράνζ.

Αποδείξεις

Απόδειξη για n = 2

Ξεκινώντας από το δεξί μέλος έχουμε ότι

$\begin{array}{cc}(ax+by{)}^2+(ay-bx{)}^2& =(ax{)}^2+2\cdot (ax)\cdot (by)+(by{)}^2+(ay{)}^2-2\cdot (ay)\cdot (bx)+(bx{)}^2\\ & =a^2{x}^2+2abxy+b^2{y}^2+a^2{y}^2-2abxy+b^2{x}^2\\ & =a^2{x}^2+b^2{y}^2+a^2{y}^2+b^2{x}^2\\ & =a^2\cdot (x^2+y^2)+b^2\cdot (x^2+y^2)\\ & =(a^2+b^2)\cdot (x^2+y^2),\end{array}$

το οποίο είναι το αριστερό μέλος.

Γενική απόδειξη

Ξεκινώντας από το δεξί μέλος έχουμε ότι

$\left(\sum _{k=1}^n{a}_k^2\right)\left(\sum _{k=1}^n{b}_k^2\right)-{\left(\sum _{k=1}^n{a}_k{b}_k\right)}^2=\sum _{i=1}^n\sum _{j=1}^n{a}_i^2{b}_j^2-\sum _{i=1}^n\sum _{j=1}^n{a}_i{b}_i{a}_j{b}_j.$

Για το αριστερό μέλος έχουμε ότι

$\sum _{i=1}^{n-1}\sum _{j=i+1}^n{(a_i{b}_j-a_j{b}_i)}^2=\sum _{i=1}^{n-1}\sum _{j=i+1}^n(a_i^2{b}_j^2-2a_i{b}_i{a}_j{b}_j+a_j^2{b}_i^2)=\sum _{i=1}^n\sum _{j=1}^n{a}_i^2{b}_j^2-\sum _{i=1}^n\sum _{j=1}^n{a}_i{b}_i{a}_j{b}_j$,

όπου στο τελευταίο βήμα προσθέσαμε τους όρους $a_i^2{b}_i^2$ στο πρώτο άθροισμα και τους αφαιρέσαμε από το δεύτερο. Επομένως, συμπεραίνουμε ότι τα δύο μέλη είναι ίσα.

Δείτε επίσης

• Ανισότητα Κωσύ-Σβαρτς