Τετραγωνική ρίζα του 3

Πρότυπο:Μη-ακέραιος αριθμός Η τετραγωνική ρίζα του 3 είναι ο θετικός πραγματικός αριθμός που, όταν πολλαπλασιαστεί με τον εαυτό του, δίνει τον αριθμό 3. Συμβολίζεται με $\sqrt{3}$ ή $3^{1/2}$. Ονομάζεται ακριβέστερα η κύρια τετραγωνική ρίζα του 3 για να διακρίνεται από τον αρνητικό αριθμό με την ίδια ιδιότητα. Η τετραγωνική ρίζα του 3 είναι ένας άρρητος αριθμός. Είναι επίσης γνωστή ως η σταθερά του Θεοδώρου, από τον Θεόδωρο τον Κυρηναίο που απέδειξε την αρρητότητά της.

Πρότυπο:As of, η αριθμητική της τιμή είχε υπολογιστεί σε τουλάχιστον 3 τρισεκατομμύρια ψηφία. Η δεκαδική της επέκταση, γραμμένη εδώ σε 60 δεκαδικά ψηφία, δίνεται από την ακολουθία:

Πρότυπο:Gaps Πρότυπο:Oeis

Το κλάσμα $\frac{97}{56}$ (Πρότυπο:Val...) μπορεί να χρησιμοποιηθεί ως καλή προσέγγιση. Παρόλο που έχει παρονομαστή μόνο 56, διαφέρει από τη σωστή τιμή κατά λιγότερο από $\frac{1}{10,000}$ (περίπου $9.2\times 10^{-5}$, με σχετικό σφάλμα $5\times 10^{-5}$). Η στρογγυλοποιημένη τιμή του, Πρότυπο:Val, έχει σχετικό σφάλμα μόλις 0,01%.

Το κλάσμα $\frac{716,035}{413,403}$ ( Πρότυπο:Val...) έχει σχετικό σφάλμα $1\times 10^{-11}$.

Ο Αρχιμήδης ανέφερε ένα εύρος για την τιμή της: $(\frac{1351}{780}{)}^2>3>(\frac{265}{153}{)}^2$.

Το κατώτερο όριο $\frac{1351}{780}$ είναι μια ακριβής προσέγγιση για το $\sqrt{3}$ που διαφέρει από τη σωστή τιμή κατά λιγότερο από $\frac{1}{608,400}$ (έξι δεκαδικά ψηφία, σχετικό σφάλμα $3\times 10^{-7}$) και το ανώτατο όριο $\frac{265}{153}$ διαφέρει από τη σωστή τιμή κατά λιγότερο από $\frac{2}{23,409}$ (τέσσερα δεκαδικά ψηφία, σχετικό σφάλμα $1\times 10^{-5}$).

Σχέσεις

Το $\sqrt{3}$ μπορεί να εκφραστεί ως το συνεχές κλάσμα Πρότυπο:Nowrap Πρότυπο:Oeis.

Επόμενως, για τον πίνακα

${\left[\begin{array}{cc}1& 2\\ 1& 3\end{array}\right]}^n=\left[\begin{array}{cc}{a}_{11}& a_{12}\\ a_{21}& a_{22}\end{array}\right]$,

ισχύει ότι, καθώς $n\to \mathrm{\infty }$

$\sqrt{3}=2\cdot \frac{a_{22}}{a_{12}}-1$.

Επίσης μπορεί να αναπαρασταθεί με το γενικευμένο συνεχές κλάσμα όπως το

$[2;-4,-4,-4,...]=2-\frac{1}{4-\frac{1}{4-\frac{1}{4-\ddots }}}$,

που είναι το Πρότυπο:Nowrap όπου υπολογίζεται σε κάθε δεύτερο όρο.

Γεωμετρία και τριγωνομετρία

Το ύψος ενός ισόπλευρου τριγώνου με μήκος πλευράς 2 είναι ίσο με Πρότυπο:Sqrt. Επίσης, η πλευρά αυτή είναι η υποτείνουσα ενός τριγώνου 30-60-90 με μήκος 2.

Το ύψος ενός κανονικού εξαγώνου με πλευρές μήκους 1 είναι ίσο με Πρότυπο:Sqrt.

Η διαγώνιος του μοναδιαίου κύβου είναι Πρότυπο:Radic.

Η τετραγωνική ρίζα του 3 μπορεί να βρεθεί ως το μήκος του ύψους ενός ισόπλευρου τριγώνου με πλευρά μήκους 2.

Σε ένα ισόπλευρο τρίγωνο με πλευρές μήκους 1 κοπεί σε δύο ίσα μισά, διχοτομώντας μια εσωτερική γωνία για να σχηματιστεί μια ορθή γωνία στη μία πλευρά, η υποτείνουσα του τριγώνου της ορθής γωνίας έχει μήκος ένα και οι πλευρές του έχουν μήκος $\frac{1}{2}$ και $\frac{\sqrt{3}}{2}$. Από αυτό, προκύπτουν οι τριγωνομετρικοί αριθμοί

$\tan 60^{\circ }=\sqrt{3}$, $\sin 60^{\circ }=\frac{\sqrt{3}}{2}$ και $\cos 30^{\circ }=\frac{\sqrt{3}}{2}$.

Η τετραγωνική ρίζα του 3 εμφανίζεται επίσης σε αλγεβρικές σχέσεις για διάφορες άλλες τριγωνομετρικές σταθερές, συμπεριλαμβανομένων των ημιτόνων των 3°, 12°, 15°, 21°, 24°, 33°, 39°, 48°, 51°, 57°, 66°, 69°, 75°, 78°, 84° και 87°.

Επίσης σε ένα κανονικό εξάγωνο με πλευρές μήκους 1, η απόσταση μεταξύ παράλληλων πλευρών είναι $\sqrt{3}$.

Στον μοναδιαίο κύβο το μήκος της διαγωνίου είναι ίσο με $\sqrt{3}$.

Άλλες χρήσεις και εμφανίσεις

Δυναμική μηχανική

Στην δυναμική μηχανική, η τάση μεταξύ δύο φάσεων σε ένα τριφασικό σύστημα είναι ίση με $\sqrt{3}$ φορές τη γραμμή προς την ουδέτερη τάση. Αυτό συμβαίνει επειδή οποιεσδήποτε δύο φάσεις απέχουν 120° μεταξύ τους και δύο σημεία σε έναν κύκλο με απόσταση 120 μοιρών χωρίζονται μεταξύ τους με $\sqrt{3}$ φορές την ακτίνα (δείτε παραδείγματα γεωμετρίας παραπάνω).

Ειδικές συναρτήσεις

Είναι γνωστό ότι οι περισσότερες ρίζες της ν-οστής παραγώγου της $J_{\nu }^{(n)}(x)$ (όπου $n<18$ και $J_{\nu }(x)$ είναι η συνάρτηση Μπέσελ πρώτου τύπου τάξης $\nu$) είναι υπερβατικές. Οι μόνες εξαιρέσεις είναι οι αριθμοί $\pm \sqrt{3}$, που είναι οι αλγεβρικές ρίζες της $J_1^{(3)}(x)$ και της $J_0^{(4)}(x)$.

Δείτε επίσης

• Τετραγωνική ρίζα του 2
• Τετραγωνική ρίζα του 5