Διάσταση συσκευασίας

Στα μαθηματικά, η διάσταση συσκευασίας είναι μία από τις έννοιες που μπορούν να χρησιμοποιηθούν για να οριστεί η διάσταση ενός υποσυνόλου σε έναν μετρικό χώρο. Η διάσταση συσκευασίας είναι κατά μία έννοια διπλή της διάστασης Χάουσντορφ, δεδομένου ότι η διάσταση συσκευασίας κατασκευάζεται με το "πακετάρισμα" μικρών ανοικτών σφαιρών στο εσωτερικό του δεδομένου υποσυνόλου, ενώ η διάσταση Χάουσντορφ κατασκευάζεται με την κάλυψη του δεδομένου υποσυνόλου από τέτοιες μικρές ανοικτές σφαίρες. Η διάσταση συσκευασίας εισήχθη από τον C. Tricot Jr. το 1982.

Ορισμοί

Έστω (X, d) μετρικός χώρος με υποσύνολο S ⊆ X και s ≥ 0 πραγματικός αριθμός. Το s-διάστατο προ-μέτρο συσκευασίας του S ορίζεται ως εξής

$P_0^s(S)=\underset{\delta \downarrow 0}{\mathrm{lim\; sup}}\left\{\sum _{i\in I}\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{m}(B_i{)}^s|\begin{array}{c}\{B_i{\}}_{i\in I}\text{ είναι μια μετρήσιμη συλλογή}\\ \text{από κλειστές σφαίρες κατά ζεύγη με}\\ \text{διαμέτρους }\le \delta \text{ και κέντρα στο }S\end{array}\right\}.$

δηλαδή, το μέτρο συσκευασίας του S είναι το ελάχιστο των προμετρήσεων συσκευασίας των μετρήσιμων καλυμμάτων του S.

Αφού γίνει αυτό, η διάσταση συσκευασίας dim_P(S) of S ορίζεται αναλογικά με τη διάσταση Χάουστορφ:

$\begin{array}{cc}{\dim }_{\mathrm{P}}(S)& =\sup \{s\ge 0|P^s(S)=+\mathrm{\infty }\}\\ & =\inf \{s\ge 0|P^s(S)=0\}.\end{array}$

Παράδειγμα

Το ακόλουθο παράδειγμα είναι η απλούστερη κατάσταση όπου οι διαστάσεις Χάουσντορφ και συσκευασίας μπορεί να διαφέρουν.

Καθορίζουμε μια ακολουθία $(a_n)$ τέτοια ώστε $a_0=1$ και $0<a_{n+1}<a_n/2$. Ορίζουμε επαγωγικά μια εμφωλευμένη ακολουθία $E_0\supset E_1\supset E_2\supset \cdots$ συμπαγών υποσυνόλων της πραγματικής γραμμής ως εξής: Έστω $E_0=[0,1]$. Για κάθε συνδεδεμένη συνιστώσα του $E_n$ (η οποία θα είναι αναγκαστικά ένα διάστημα μήκους $a_n$), διαγράφουμε το μεσαίο διάστημα μήκους $a_n-2a_{n+1}$, λαμβάνοντας δύο διαστήματα μήκους $a_{n+1}$, τα οποία θα θεωρηθούν ως συνδεδεμένες συνιστώσες του $E_{n+1}$. Στη συνέχεια, ορίζουμε $K=\bigcap _n{E}_n$. Τότε το $K$ είναι τοπολογικά ένα σύνολο Κάντορ (δηλ. ένας συμπαγής εντελώς ασύνδετος τέλειος χώρος). Παραδείγματος χάριν, το $K$ θα είναι το συνηθισμένο σύνολο Κάντορ μεσαίων-τρίτων αν $a_n=3^{-n}$.

Είναι δυνατόν να αποδειχθεί ότι οι διαστάσεις Χάουσντορφ και οι διαστάσεις συσκευασίας του συνόλου $K$ δίνονται αντίστοιχα από:

$\begin{array}{cc}{\dim }_{\mathrm{H}}(K)& =\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{lim\; inf}}\frac{n\log 2}{-\log a_n},\\ {\dim }_{\mathrm{P}}(K)& =\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{lim\; sup}}\frac{n\log 2}{-\log a_n}.\end{array}$

Προκύπτει εύκολα ότι με δεδομένους αριθμούς $0\le d_1\le d_2\le 1$, μπορεί κανείς να επιλέξει μια ακολουθία $(a_n)$ όπως παραπάνω, έτσι ώστε το σχετικό (τοπολογικό) σύνολο του Κάντορ $K$ να έχει διάσταση Χάουστορφ $d_1$ και διάσταση συσκευασίας $d_2$.

Γενικεύσεις

Μπορούμε να θεωρήσουμε συναρτήσεις διάστασης πιο γενικές από τη "διάμετρο στα s": για κάθε συνάρτηση h : [0, +∞) → [0, +∞], έστω ότι η προμέτρηση συσκευασίας του S με συνάρτηση διάστασης h ορίζεται ως εξής

$P_0^h(S)=\underset{\delta \downarrow 0}{\lim }\sup \left\{\sum _{i\in I}h(\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{m}(B_i))|\begin{array}{c}\{B_i{\}}_{i\in I}\text{ είναι μια μετρήσιμη συλλογή}\\ \text{από διαχωρισμένες σφαίρες κατά ζεύγη με}\\ \text{διαμέτρους }\le \delta \text{ και κέντρα σε }S\end{array}\right\}$

και ορίζουμε το μέτρο συσκευασίας του S με συνάρτηση διάστασης h ως εξής

$P^h(S)=\inf \{\sum _{j\in J}{P}_0^h(S_j)|S\subseteq \bigcup _{j\in J}{S}_j,J\text{ μετρήσιμο}\}.$

Η συνάρτηση h λέγεται ότι είναι μια ακριβής (packing') συνάρτηση διάστασης για το S αν P^h(S) είναι και πεπερασμένη και αυστηρά θετική.

Ιδιότητες

• Αν S είναι ένα υποσύνολο του n-διάστατου Ευκλείδειου χώρου Rⁿ με τη συνήθη μετρική του, τότε η διάσταση συσκευασίας του S είναι ίση με την ανώτερη τροποποιημένη διάσταση κουτιού του S:

${\dim }_{\mathrm{P}}(S)={\bar{\dim }}_{\mathrm{M}\mathrm{B}}(S).$

Το αποτέλεσμα αυτό είναι ενδιαφέρον διότι δείχνει πώς μια διάσταση που προκύπτει από ένα μέτρο (διάσταση συσκευασίας) συμπίπτει με μια διάσταση που προκύπτει χωρίς τη χρήση μέτρου (η τροποποιημένη διάσταση κουτιού).

Ας σημειωθεί, ωστόσο, ότι η διάσταση συσκευασίας δεν είναι ίση με τη διάσταση του κουτιού. Παραδείγματος χάριν, το σύνολο των ρητών Q έχει διάσταση κουτιού ένα και διάσταση συσκευασίας μηδέν.

Εξωτερικοί σύνδεσμοι

• Πρότυπο:Cite journal Πρότυπο:MathSciNet

Βιβλιογραφία

• Logical Approaches to Computational Barriers
• Fractals in Probability and Analysis
• Optical Polarization in Biomedical Applications

Δείτε επίσης

• Αλγόριθμος διαμαντιού τετραγώνου
• Καμπύλη που γεμίζει το χώρο
• Νιφάδα του Κοχ
• Καμπύλη Χίλμπερτ
• Καμπύλη του δράκου
• Σπόγγος του Μένγκερ
• Σύνολο Μάντελμπροτ
• Σύνολο Julia
• Σύνολο Κάντορ
• Οικοδομήσιμο Σύμπαν