Ανακλαστική κλειστότητα

Η ανακλαστική κλειστότητα

R^{'}

μίας σχέσης

R

(με μαύρο χρώμα οι σχέσεις μεταξύ των στοιχείων της). Με πράσινο τα στοιχεία που πρεπει να προστεθούν ώστε να γίνει ανακλαστική.

Στην θεωρία συνόλων, η ανακλαστική κλειστότητα μίας σχέσης $R \subseteq S \times S$ σε ένα σύνολο $S$ είναι η σχέση^[1]

R^{'} = R \cup {(x, x) : x \in S}

.

Αυτή είναι η ελάχιστη σχέση (ως προς την σύγκριση υποσυνόλου) που συμπεριλαμβάνει την $R$ και είναι ανακλαστική.

Παραδείγματα

R = {(1, 1), (1, 2), (1, 4), (2, 3), (3, 2), (3, 3), (3, 4), (4, 1), (4, 5)}

,

είναι η σχέση (δείτε το πρώτο σχήμα)

R^{'} = {(1, 1), (1, 2), (1, 4), (2, 2), (2, 3), (3, 2), (3, 3), (3, 4), (4, 1), (4, 4), (4, 5), (5, 5)}

,

όπου με πράσινο χρώμα είναι τα στοιχεία που προστέθηκαν.

Η ανακλαστική κλειστότητα της σχέσης $<$ στο σύνολο των φυσικών (ή των πραγματικών) αριθμών είναι η σχέση $\leq$ .