Συμμετρική κλειστότητα

Η συμμετρική κλειστότητα $R^{\prime }$ μίας σχέσης $R$ (με μαύρο χρώμα τα στοιχεία που συσχετίζονται από΄την $R$). Με πράσινο τα στοιχεία που πρεπει να προστεθούν ώστε να γίνει συμμετρική.

Στην θεωρία συνόλων, η συμμετρική κλειστότητα μίας σχέσης $R\subseteq S\times S$ σε ένα σύνολο $S$ είναι η σχέση

$R^{\prime }=R\cup \{(y,x):(x,y)\in R\}$.

Αυτή είναι η ελάχιστη σχέση (ως προς την σύγκριση υποσυνόλου) που συμπεριλαμβάνει την $R$ και είναι συμμετρική. Μπορεί να γραφτεί και ως $R\cup R^T$, όπου $R^T$ είναι η αντίστροφη σχέση της $R$.

Παραδείγματα

• Η συμμετρική κλειστότητα της σχέσης

$R=\{(1,2),(1,4),(2,2),(2,3)(3,2),(3,4),(4,1),(5,4)\}$,

είναι η σχέση (δείτε το πρώτο σχήμα)

$R^{\prime }=\{(1,2),(1,4),(2,1),(2,2),(2,3)(3,2),(3,4),(4,1),(4,3),(4,5),(5,4)\}$,

όπου με πράσινο χρώμα είναι τα στοιχεία που προστέθηκαν.

• Η συμμετρική κλειστότητα της σχέσης $\le$ στο σύνολο των φυσικών αριθμών $\mathbb{N}$ είναι η σχέση $\mathbb{N}\times \mathbb{N}$.
• Η συμμετρική κλειστότητα της σχέσης $<$ στο σύνολο των φυσικών αριθμών $\mathbb{N}$ είναι η σχέση $\mathbb{N}\times \mathbb{N}\setminus {\mathrm{i}\mathrm{d}}_{\mathbb{N}}$, όπου ${\mathrm{i}\mathrm{d}}_{\mathbb{N}}$ είναι η ταυτοτική σχέση στο $\mathbb{N}$.
• Η συμμετρική κλειστότητα της σχέσης «είναι απόγονος του/της» είναι η σχέση «είναι απόγονος ή πρόγονος του/της».

Δείτε επίσης

• Συμμετρική σχέση
• Ανακλαστική κλειστότητα