Ταυτοτική σχέση

Αρχείο:Identity relation graph matrix.svg

Η αναπαράσταση της ταυτοτικής σχέσης ${\mathrm{i}\mathrm{d}}_{[5]}$ του συνόλου $[5]=\{1,2,3,4,5\}$, ως γράφο και ως πίνακα.

Στην θεωρία συνόλων, η ταυτοτική σχέση ${\mathrm{i}\mathrm{d}}_S$ στο σύνολο $S$ είναι η σχέση που σχετίζει κάθε στοιχείο του $S$ με τον εαυτό του, δηλαδήΠρότυπο:Rp

${\mathrm{i}\mathrm{d}}_S=\{(x,x):x\in S\}$.

Η ονομασία ${\mathrm{i}\mathrm{d}}_S$ είναι συντομογραφία της λατινικής λέξης identity που σημαίνει ταυτότητα. Όταν το σύνολο $S$ είναι ξεκάθαρο από τα συμφραζόμενα, μπορεί να παραληφθεί, και η συνάρτηση γράφετε ως $\mathrm{i}\mathrm{d}$.Πρότυπο:Rp

Παραδείγματα

• Για το σύνολο $S=\{1,2,3,4,5\}$ η ταυτοτική σχέση είναι η εξής:

${\mathrm{i}\mathrm{d}}_S=\{(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(5,5)\}$.

• Για το σύνολο $S=\{\alpha ,\beta ,\gamma ,\delta \}$, η ταυτοτική σχέση είναι η εξής:

${\mathrm{i}\mathrm{d}}_S=\{(\alpha ,\alpha ),(\beta ,\beta ),(\gamma ,\gamma ),(\delta ,\delta )\}$.

Ιδιότητες

• Είναι ανακλαστική, αφού για κάθε $x\in S$ έχουμε ότι $(x,x)\in {\mathrm{i}\mathrm{d}}_S$. Επίσης για κάθε ανακλαστική σχέση $R$ στο $S$ ισχύει ότι ${\mathrm{i}\mathrm{d}}_S\subseteq R$.
• Είναι συμμετρική και μεταβατική. Επομένως η ${\mathrm{i}\mathrm{d}}_S$ είναι σχέση ισοδυναμίας.
• Είναι το ουδέτερο στοιχείο για την σύνθεση σχέσεων, καθώς $R\circ {\mathrm{i}\mathrm{d}}_S=R$ για κάθε σχέση $R\subseteq S^{\prime }\times S$.
• Ο πίνακας που αναπαριστά την ${\mathrm{i}\mathrm{d}}_S$ είναι ο ταυτοτικός πίνακας.
• Ο γράφος που αναπαριστά την ${\mathrm{i}\mathrm{d}}_S$ αποτελείται μόνο από βρόγχους.
• Για κάθε δύο σύνολα $S,S^{\prime }$ με $S\subseteq S^{\prime }$, ισχύει ότι ${\mathrm{i}\mathrm{d}}_S\subseteq {\mathrm{i}\mathrm{d}}_{S^{\prime }}$.

Σχετικές έννοιες

Για κάθε σχέση $R$ στο σύνολο $S$, η ανακλαστική κλειστότητα της $R$ δίνεται από την σχέση $R\cup {\mathrm{i}\mathrm{d}}_S$.

Δείτε επίσης

• Ανακλαστική κλειστότητα
• Ταυτοτική συνάρτηση