Αντίστροφη σχέση

Πρότυπο:Multiple image Στην θεωρία συνόλων, η αντίστροφη σχέση μίας σχέσης $R\subseteq X\times Y$ είναι η σχέση $R^T\subseteq Y\times X$ που ορίζεται ωςΠρότυπο:RpΠρότυπο:Rp

$R^T=\{(y,x):(x,y)\in R\}$,

δηλαδή έχει όλα τα ζεύγη της $R$ με αντεστραμμένη την σειρά του πρώτου και του δεύτερου στοιχείου τους.

Η αντίστροφη σχέση συμβολίζεται επίσης ως $R^{-1}$ ή $R^{\text{op}}$.

Παραδείγματα

• Η αντίστροφη σχέση της σχέσης "είναι γονιός του/της" είναι "είναι παιδί του/της".
• Η αντίστροφη σχέση της σύγκρισης $<$ στους πραγματικούς αριθμούς είναι η $>$.
• Η αντίστροφη σχέση μίας συμμετρικής σχέσης είναι η ίδια η σχέση. Έτσι, η ταυτοτική σχέση είναι η αντίστροφη του εαυτού της.
• Η αντίστροφη της σχέσης

$R=\{(1,\beta ),(1,\delta ),(3,\delta ),(4,\alpha ),(4,\delta ),(5,\beta )\}$,

είναι η σχέση (δείτε και τις δύο εικόνες παραπάνω)

$R^T=\{(\alpha ,4),(\beta ,1),(\beta ,5),(\delta ,1),(\delta ,3),(\delta ,4)\}$.

Ιδιότητες

• Ο πίνακας της αντίστροφης σχέσης είναι ο ανάστροφος της αρχικής, δηλαδή $M(R^T)=(M(R){)}^T$.
• Η αντιστροφή μίας σχέσης είναι ταυτοδύναμη πράξη, δηλαδή $(R^T{)}^T=R$.
• Η γραφική αναπαράσταση της $R^T$ προκύπτει από την αντιστροφή της φοράς των ακμών της $R$.

Για οποιεσδήποτε δύο σχέσεις $R,S$ ισχύει ότι:Πρότυπο:R

• Αν $R\subseteq S$, τότε $R^T\subseteq S^T$.

• $(R\cap S{)}^T=R^T\cap S^T$.

• $(R\cup S{)}^T=R^T\cup S^T$.

• $(R\circ S{)}^T=S^T\circ R^T$.

Σχέση με άλλες έννοιες

• Μία σχέση είναι συμμετρική ανν $R=R^T$.
• Μία σχέση είναι αντισυμμετρική ανν $R\cap R^T\subseteq {\mathrm{i}\mathrm{d}}_X$, όπου ${\mathrm{i}\mathrm{d}}_X$ η ταυτοτική σχέση στο σύνολο $X$.
• Μία σχέση είναι μερική συνάρτηση ανν $R\circ R^T\subseteq {\mathrm{i}\mathrm{d}}_Y$
• Μία σχέση είναι (ολική) συνάρτηση ανν $R\circ R^T\subseteq {\mathrm{i}\mathrm{d}}_Y$ και $R^T\circ R\subseteq {\mathrm{i}\mathrm{d}}_X$.

Δείτε επίσης

• Συμμετρική σχέση
• Αντισυμμετρική σχέση
• Σύνθεση σχέσεων