Πυθαγόρεια τετράδα

Μια πυθαγόρεια τετράδα είναι μια πλειάδα ακεραίων αριθμών Πρότυπο:Math, Πρότυπο:Math, Πρότυπο:Math και Πρότυπο:Math, τέτοια ώστε Πρότυπο:Math. Αποτελούν λύσεις σε μια διοφαντική εξίσωση και συχνά λαμβάνονται υπόψη μόνο θετικές ακέραιες τιμές^[1]. Ωστόσο, για να δοθεί μια πιο πλήρης γεωμετρική ερμηνεία, οι ακέραιες τιμές μπορούν να είναι αρνητικές και μηδενικές (επιτρέποντας έτσι να συμπεριληφθούν πυθαγόρειες τριάδες) με μόνη προϋπόθεση ότι Πρότυπο:Math. Σε αυτό το πλαίσιο, μια πυθαγόρεια τετράδα Πρότυπο:Math ορίζει ένα κυβοειδές με ακέραια μήκη πλευρών Πρότυπο:Math, Πρότυπο:Math, και Πρότυπο:Math, του οποίου η διαγώνιος του χώρου έχει ακέραιο μήκος d. Με αυτή την ερμηνεία, οι πυθαγόρειες τετράδες ονομάζονται επίσης πυθαγόρεια κουτιά.^[2] Σε αυτό το λήμμα θα υποθέσουμε, εκτός αν αναφέρεται διαφορετικά, ότι οι τιμές μιας πυθαγόρειας τετράδας αποτελούνται από θετικούς ακέραιους αριθμούς.

Παραμετροποίηση πρωτόγονων τετράδων

Μια πυθαγόρεια τετράδα ονομάζεται πρωταρχική αν ο μέγιστος κοινός διαιρέτης των καταχωρίσεών της είναι 1. Κάθε πυθαγόρεια τετράδα είναι ακέραιο πολλαπλάσιο μιας πρωταρχικής τετράδας. Το σύνολο των πρωταρχικών πυθαγόρειων τετράδων για τις οποίες το Πρότυπο:Math είναι περιττό μπορεί να παραχθεί από τους τύπους

$\begin{matrix} a & = m^{2} + n^{2} - p^{2} - q^{2}, \\ b & = 2 (m q + n p), \\ c & = 2 (n q - m p), \\ d & = m^{2} + n^{2} + p^{2} + q^{2}, \end{matrix}$

όπου Πρότυπο:Math, Πρότυπο:Math, Πρότυπο:Math, Πρότυπο:Math είναι μη αρνητικοί ακέραιοι αριθμοί με μεγαλύτερο κοινό διαιρέτη 1 τέτοιο ώστε Πρότυπο:Math να είναι περιττός.^[3]^[4]^[1] Έτσι, όλες οι πρωταρχικές πυθαγόρειες τετράδες χαρακτηρίζονται από την ταυτότητα $(m^{2} + n^{2} + p^{2} + q^{2})^{2} = (2 m q + 2 n p)^{2} + (2 n q - 2 m p)^{2} + (m^{2} + n^{2} - p^{2} - q^{2})^{2} .$

Εναλλακτική παραμετροποίηση

Όλες οι πυθαγόρειες τετράδες ( μαζί με τις μη πρωταρχικές και με επανάληψη, αν και τα Πρότυπο:Math, Πρότυπο:Math και Πρότυπο:Math δεν εμφανίζονται σε όλες τις δυνατές σειρές) μπορούν να παραχθούν από δύο θετικούς ακέραιους Πρότυπο:Math και Πρότυπο:Math ως εξής:

Αν Πρότυπο:Math και Πρότυπο:Math έχουν διαφορετική ισοτιμία, έστω Πρότυπο:Math οποιοσδήποτε παράγοντας του Πρότυπο:Math τέτοιος ώστε Πρότυπο:Math. Τότε Πρότυπο:Math και Πρότυπο:Math. Ας σημειωθεί ότι Πρότυπο:Math (η μέθοδος αυτή βασίζεται σε αποτελέσματα που προέκυψαν για τις πυθαγόρειες τριάδες ^[5]).

Η ίδια μέθοδος ισχύει^[5] για την παραγωγή όλων των πυθαγόρειων τετράδων για τις οποίες Πρότυπο:Math και Πρότυπο:Math είναι και οι δύο ζυγοί. Έστω Πρότυπο:Math και Πρότυπο:Math και έστω Πρότυπο:Math ένας παράγοντας του Πρότυπο:Math τέτοιος ώστε Πρότυπο:Math. Τότε Πρότυπο:Math και Πρότυπο:Math. Αυτή η μέθοδος παράγει όλες τις πυθαγόρειες τετράδες ακριβώς μία φορά για κάθε μία, όταν τα Πρότυπο:Math και Πρότυπο:Math διατρέχουν όλα τα ζεύγη φυσικών αριθμών και η Πρότυπο:Math διατρέχει όλες τις επιτρεπτές τιμές για κάθε ζεύγος.

Δεν υπάρχει τέτοια μέθοδος αν και οι δύο Πρότυπο:Math και Πρότυπο:Math είναι μονές, οπότε δεν υπάρχουν λύσεις, όπως φαίνεται από την παραμετροποίηση στην προηγούμενη ενότητα.

Ιδιότητες

Ο μεγαλύτερος αριθμός που διαιρεί πάντα το γινόμενο Πρότυπο:Math είναι το 12.^[6] Η τετράδα με το ελάχιστο γινόμενο είναι η (1, 2, 2, 2, 3).

Δεδομένου μιας πυθαγόρειας τετράδας $(a, b, c, d)$ όπου $d^{2} = a^{2} + b^{2} + c^{2}$ τότε το $d$ μπορεί να οριστεί ως η νόρμα της τετράδας με την έννοια ότι $d = \sqrt{a^{2} + b^{2} + c^{2}}$ και είναι ανάλογο με την υποτείνουσα μιας πυθαγόρειας τριάδας.

Κάθε περιττός θετικός αριθμός εκτός από το 1 και το 5 μπορεί να είναι η νόρμα μιας πρωταρχικής πυθαγόρειας τετράδας $d^{2} = a^{2} + b^{2} + c^{2}$ έτσι ώστε $a, b, c$ να είναι μεγαλύτεροι από το μηδέν και να είναι πρώτοι προς αλλήλους .^[7]^[8] Όλες οι πρωτόγονες πυθαγόρειες τετράδες με τους περιττούς αριθμούς ως νόρμες μέχρι το 29 εκτός από το 1 και το 5 δίνονται στον παρακάτω πίνακα.

Παρόμοια με μια πυθαγόρεια τριάδα που δημιουργεί ένα ξεχωριστό ορθογώνιο τρίγωνο, μια πυθαγόρεια τετράδα θα δημιουργήσει ένα ξεχωριστό τρίγωνο του Ήρωνα ^[9] Αν τα a, b, c, d είναι μια πυθαγόρεια τετράδα με $a^{2} + b^{2} + c^{2} = d^{2}$ θα δημιουργήσει ένα τρίγωνο του Ήρωνα με πλευρές x, y, z ως εξής:-

x = d^{2} - a^{2}

y = d^{2} - b^{2}

z = d^{2} - c^{2}

.

Θα έχει ημιπερίμετρο $s = d^{2}$ , εμβαδόν $A = a b c d$ και ακτίνα $r = a b c / d$ .

Το exradii θα είναι:-

r_{x} = b c d / a

r_{y} = a c d / b

r_{z} = a b d / c

.

Η ακτίνα περιφέρειας θα είναι

R = (d^{2} - a^{2}) (d^{2} - b^{2}) (d^{2} - c^{2}) / (4 a b c d) = a b c d (1 / a^{2} + 1 / b^{2} + 1 / c^{2} - 1 / d^{2}) / 4

.

Η διατεταγμένη ακολουθία των εμβαδών αυτής της κατηγορίας τριγώνων του Ήρωνα μπορεί να βρεθεί στη διεύθυνση Πρότυπο:OEIS.

Σχέση με τα τετραδόνια και τους ορθολογικούς ορθογώνιους πίνακες

Μία πρωταρχική πυθαγόρεια τετράδα Πρότυπο:Math παραμετροποιείται από Πρότυπο:Math αντιστοιχεί στην πρώτη στήλη της αναπαράστασης του πίνακα Πρότυπο:Math της σύζευξης Πρότυπο:Math με το τετραδόνιο Χούρβιτς Πρότυπο:Math που περιορίζεται στον υποχώρο των τετραδονίων που καλύπτεται από τα Πρότυπο:Math, Πρότυπο:Math, Πρότυπο:Math, που προκύπτει από τη σχέση $E (α) = (\begin{matrix} m^{2} + n^{2} - p^{2} - q^{2} & 2 n p - 2 m q & 2 m p + 2 n q \\ 2 m q + 2 n p & m^{2} - n^{2} + p^{2} - q^{2} & 2 p q - 2 m n \\ 2 n q - 2 m p & 2 m n + 2 p q & m^{2} - n^{2} - p^{2} + q^{2} \end{matrix}),$

όπου οι στήλες είναι κατά ζεύγη ορθογώνιες και κάθε μία έχει νόρμα Πρότυπο:Math. Επιπλέον, ισχύει ότι το Πρότυπο:Math ανήκει στην ορθογώνια ομάδα $S O (3, ℚ)$ , και, στην πραγματικότητα, όλοι οι 3 × 3 ορθογώνιοι πίνακες με ρητούς συντελεστές προκύπτουν με αυτόν τον τρόπο.^[10]

Πρωτογενή πυθαγόρεια τετράδα με μικρή νόρμα

Υπάρχουν 31 πρωταρχικές πυθαγόρειες τετράδες στις οποίες όλες οι καταχωρήσεις είναι μικρότερες από 30.

(	1	,	2	,	2	,	3	)	(	2	,	10	,	11	,	15	)	(	4	,	13	,	16	,	21	)	(	2	,	10	,	25	,	27	)
(	2	,	3	,	6	,	7	)	(	1	,	12	,	12	,	17	)	(	8	,	11	,	16	,	21	)	(	2	,	14	,	23	,	27	)
(	1	,	4	,	8	,	9	)	(	8	,	9	,	12	,	17	)	(	3	,	6	,	22	,	23	)	(	7	,	14	,	22	,	27	)
(	4	,	4	,	7	,	9	)	(	1	,	6	,	18	,	19	)	(	3	,	14	,	18	,	23	)	(	10	,	10	,	23	,	27	)
(	2	,	6	,	9	,	11	)	(	6	,	6	,	17	,	19	)	(	6	,	13	,	18	,	23	)	(	3	,	16	,	24	,	29	)
(	6	,	6	,	7	,	11	)	(	6	,	10	,	15	,	19	)	(	9	,	12	,	20	,	25	)	(	11	,	12	,	24	,	29	)
(	3	,	4	,	12	,	13	)	(	4	,	5	,	20	,	21	)	(	12	,	15	,	16	,	25	)	(	12	,	16	,	21	,	29	)
(	2	,	5	,	14	,	15	)	(	4	,	8	,	19	,	21	)	(	2	,	7	,	26	,	27	)

Δημοσιεύσεις

Section 0.4 of Grothendieck, Alexandre; Dieudonné, Jean (1960). "Éléments de géométrie algébrique: I. Le langage des schémas". Publications Mathématiques de l'IHÉS. 4. doi:10.1007/bf02684778. MR 0217083.
Hartshorne, Robin (1977), Algebraic Geometry, Graduate Texts in Mathematics, vol. 52, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90244-9, MR 0463157

Δείτε επίσης

Εξωτερικοί σύνδεσμοι

English - Greek Dictionary of Pure and Applied Mathematics Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
Αγγλοελληνικό Λεξικό Μαθηματικής Ορολογίας - Πανεπιστήμιο Κύπρου
A. Bondal, D. Orlov, Semi-orthogonal decomposition for algebraic varieties_, PreprintMPI/95–15, alg-geom/9506006
CRC Concise Encyclopedia of Mathematics
Nuggets of Number Theory: A Visual Approach
Elements of the Theory of Numbers
Number Treasury 3: Investigations, Facts And Conjectures About More Than 100...

Παραπομπές

↑ ^1,0 ^1,1 R. Spira, The diophantine equation Πρότυπο:Math, Amer. Math. Monthly Vol. 69 (1962), No. 5, 360–365.
↑ R. A. Beauregard and E. R. Suryanarayan, Pythagorean boxes, Math. Magazine 74 (2001), 222–227.
↑ R.D. Carmichael, Diophantine Analysis, New York: John Wiley & Sons, 1915.
↑ L.E. Dickson, Some relations between the theory of numbers and other branches of mathematics, in Villat (Henri), ed., Conférence générale, Comptes rendus du Congrès international des mathématiciens, Strasbourg, Toulouse, 1921, pp. 41–56; reprint Nendeln/Liechtenstein: Kraus Reprint Limited, 1967; Collected Works 2, pp. 579–594.
↑ ^5,0 ^5,1 Amato, Roberto, A characterization of Pythagorean triples, JP Journal of Algebra, Number Theory and Applications 39 (2) (2017), 221-230.
↑ MacHale, Des, and van den Bosch, Christian, «Generalising a result about Pythagorean triples», Mathematical Gazette' 96, March 2012, pp. 91-96.
↑ Πρότυπο:Cite web
↑ Πρότυπο:Cite web
↑ Πρότυπο:Cite web
↑ J. Cremona, Letter to the Editor, Amer. Math. Monthly 94 (1987), 757–758.

Πρότυπο:Authority control Πρότυπο:Portal bar

[Spira-1] 1,0 ^1,1 R. Spira, The diophantine equation Πρότυπο:Math, Amer. Math. Monthly Vol. 69 (1962), No. 5, 360–365.

[2] R. A. Beauregard and E. R. Suryanarayan, Pythagorean boxes, Math. Magazine 74 (2001), 222–227.

[3] R.D. Carmichael, Diophantine Analysis, New York: John Wiley & Sons, 1915.

[4] L.E. Dickson, Some relations between the theory of numbers and other branches of mathematics, in Villat (Henri), ed., Conférence générale, Comptes rendus du Congrès international des mathématiciens, Strasbourg, Toulouse, 1921, pp. 41–56; reprint Nendeln/Liechtenstein: Kraus Reprint Limited, 1967; Collected Works 2, pp. 579–594.

[Amato-5] 5,0 ^5,1 Amato, Roberto, A characterization of Pythagorean triples, JP Journal of Algebra, Number Theory and Applications 39 (2) (2017), 221-230.

[6] MacHale, Des, and van den Bosch, Christian, «Generalising a result about Pythagorean triples», Mathematical Gazette' 96, March 2012, pp. 91-96.

[7] Πρότυπο:Cite web

[8] Πρότυπο:Cite web

[9] Πρότυπο:Cite web

[10] J. Cremona, Letter to the Editor, Amer. Math. Monthly 94 (1987), 757–758.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

Πυθαγόρεια τετράδα

Περιεχόμενα

Παραμετροποίηση πρωτόγονων τετράδων

Εναλλακτική παραμετροποίηση

Ιδιότητες

Σχέση με τα τετραδόνια και τους ορθολογικούς ορθογώνιους πίνακες

Πρωτογενή πυθαγόρεια τετράδα με μικρή νόρμα

Δημοσιεύσεις

Δείτε επίσης

Εξωτερικοί σύνδεσμοι

Παραπομπές

Μενού πλοήγησης

(	1	,	2	,	2	,	3	)	(	2	,	10	,	11	,	15	)	(	4	,	13	,	16	,	21	)	(	2	,	10	,	25	,	27	)
(	2	,	3	,	6	,	7	)	(	1	,	12	,	12	,	17	)	(	8	,	11	,	16	,	21	)	(	2	,	14	,	23	,	27	)
(	1	,	4	,	8	,	9	)	(	8	,	9	,	12	,	17	)	(	3	,	6	,	22	,	23	)	(	7	,	14	,	22	,	27	)
(	4	,	4	,	7	,	9	)	(	1	,	6	,	18	,	19	)	(	3	,	14	,	18	,	23	)	(	10	,	10	,	23	,	27	)
(	2	,	6	,	9	,	11	)	(	6	,	6	,	17	,	19	)	(	6	,	13	,	18	,	23	)	(	3	,	16	,	24	,	29	)
(	6	,	6	,	7	,	11	)	(	6	,	10	,	15	,	19	)	(	9	,	12	,	20	,	25	)	(	11	,	12	,	24	,	29	)
(	3	,	4	,	12	,	13	)	(	4	,	5	,	20	,	21	)	(	12	,	15	,	16	,	25	)	(	12	,	16	,	21	,	29	)
(	2	,	5	,	14	,	15	)	(	4	,	8	,	19	,	21	)	(	2	,	7	,	26	,	27	)

(	1	,	2	,	2	,	3	)	(	2	,	10	,	11	,	15	)	(	4	,	13	,	16	,	21	)	(	2	,	10	,	25	,	27	)
(	2	,	3	,	6	,	7	)	(	1	,	12	,	12	,	17	)	(	8	,	11	,	16	,	21	)	(	2	,	14	,	23	,	27	)
(	1	,	4	,	8	,	9	)	(	8	,	9	,	12	,	17	)	(	3	,	6	,	22	,	23	)	(	7	,	14	,	22	,	27	)
(	4	,	4	,	7	,	9	)	(	1	,	6	,	18	,	19	)	(	3	,	14	,	18	,	23	)	(	10	,	10	,	23	,	27	)
(	2	,	6	,	9	,	11	)	(	6	,	6	,	17	,	19	)	(	6	,	13	,	18	,	23	)	(	3	,	16	,	24	,	29	)
(	6	,	6	,	7	,	11	)	(	6	,	10	,	15	,	19	)	(	9	,	12	,	20	,	25	)	(	11	,	12	,	24	,	29	)
(	3	,	4	,	12	,	13	)	(	4	,	5	,	20	,	21	)	(	12	,	15	,	16	,	25	)	(	12	,	16	,	21	,	29	)
(	2	,	5	,	14	,	15	)	(	4	,	8	,	19	,	21	)	(	2	,	7	,	26	,	27	)

Πυθαγόρεια τετράδα

Παραμετροποίηση πρωτόγονων τετράδων

Εναλλακτική παραμετροποίηση

Ιδιότητες

Σχέση με τα τετραδόνια και τους ορθολογικούς ορθογώνιους πίνακες

Πρωτογενή πυθαγόρεια τετράδα με μικρή νόρμα

Δημοσιεύσεις

Δείτε επίσης

Εξωτερικοί σύνδεσμοι

Παραπομπές

Μενού πλοήγησης

Αναζήτηση

(	1	,	2	,	2	,	3	)	(	2	,	10	,	11	,	15	)	(	4	,	13	,	16	,	21	)	(	2	,	10	,	25	,	27	)
(	2	,	3	,	6	,	7	)	(	1	,	12	,	12	,	17	)	(	8	,	11	,	16	,	21	)	(	2	,	14	,	23	,	27	)
(	1	,	4	,	8	,	9	)	(	8	,	9	,	12	,	17	)	(	3	,	6	,	22	,	23	)	(	7	,	14	,	22	,	27	)
(	4	,	4	,	7	,	9	)	(	1	,	6	,	18	,	19	)	(	3	,	14	,	18	,	23	)	(	10	,	10	,	23	,	27	)
(	2	,	6	,	9	,	11	)	(	6	,	6	,	17	,	19	)	(	6	,	13	,	18	,	23	)	(	3	,	16	,	24	,	29	)
(	6	,	6	,	7	,	11	)	(	6	,	10	,	15	,	19	)	(	9	,	12	,	20	,	25	)	(	11	,	12	,	24	,	29	)
(	3	,	4	,	12	,	13	)	(	4	,	5	,	20	,	21	)	(	12	,	15	,	16	,	25	)	(	12	,	16	,	21	,	29	)
(	2	,	5	,	14	,	15	)	(	4	,	8	,	19	,	21	)	(	2	,	7	,	26	,	27	)