Αριθμός Ταμαγκάουα

Στα μαθηματικά, ο αριθμός Ταμαγκάουα $\tau (G)$ μιας ημι-απλής αλγεβρικής ομάδας που ορίζεται πάνω από ένα συνολικό σώμα Πρότυπο:Math είναι το μέτρο $G(𝔸)/G(k)$, όπου $𝔸$ είναι ο δακτύλιος adele του Πρότυπο:Math. Οι αριθμοί Ταμαγκάουα εισήχθησαν από τον Ταμαγκάουα (Πρότυπο:Harvs) και πήραν το όνομά τους από τον Βέιλ (Πρότυπο:Harvs).

Η παρατήρηση του Τσουνέο Ταμαγκάουα ήταν ότι, ξεκινώντας από μια αναλλοίωτη διαφορική μορφή ω στο Πρότυπο:Math, ορισμένη πάνω στο Πρότυπο:Math, το σχετικό μέτρο ήταν καλά ορισμένο: ενώ το Πρότυπο:Math θα μπορούσε να αντικατασταθεί από το Πρότυπο:Math με το Πρότυπο:Math ένα μη μηδενικό στοιχείο του $k$, ο τύπος του γινομένου για τις αποτιμήσεις στο Πρότυπο:Math αντικατοπτρίζεται από την ανεξαρτησία από το Πρότυπο:Math του μέτρου του πηλίκου, για το μέτρο του γινομένου που κατασκευάζεται από το Πρότυπο:Math σε κάθε αποτελεσματικό παράγοντα. Ο υπολογισμός των αριθμών Ταμαγκάουα για ημιαπλές ομάδες περιέχει σημαντικά μέρη της κλασικής θεωρίας τετραγωνικών μορφών.

Ορισμός

Έστω Πρότυπο:Math ένα συνολικό σώμα, Πρότυπο:Math ο δακτύλιος των adeles και Πρότυπο:Math μια ημι-απλή αλγεβρική ομάδα ορισμένη πάνω στο Πρότυπο:Math.

Επιλέγουμε μέτρα Χάαρ στις πληρότητες Πρότυπο:Math έτσι ώστε το Πρότυπο:Math να έχει όγκο 1 για όλες τις θέσεις v εκτός από πεπερασμένα πολλά μέρη Πρότυπο:Math. Αυτά στη συνέχεια επάγουν ένα μέτρο Χάαρ στο Πρότυπο:Math, το οποίο υποθέτουμε περαιτέρω ότι είναι κανονικοποιημένο έτσι ώστε το Πρότυπο:Math να έχει όγκο 1 ως προς το επαγόμενο πηλίκο του μέτρου.

Το μέτρο Ταμαγκάουα στην αλγεβρική ομάδα Πρότυπο:Math ορίζεται τώρα ως εξής. Ας πάρουμε μια αριστερά αναλλοίωτη Πρότυπο:Math-μορφή Πρότυπο:Math στην Πρότυπο:Math που ορίζεται πάνω στο Πρότυπο:Math, όπου Πρότυπο:Math είναι η διάσταση της Πρότυπο:Math. Αυτό, μαζί με τις παραπάνω επιλογές του μέτρου Χάαρ πάνω στο Πρότυπο:Math, επάγει μέτρα Χάαρ στην Πρότυπο:Math για όλες τις θέσεις του Πρότυπο:Math. Καθώς η Πρότυπο:Math είναι ημιαπλή, το γινόμενο αυτών των μέτρων δίνει ένα μέτρο Χάαρ στην Πρότυπο:Math, που ονομάζεται μέτρο Ταμαγκάουα. Το μέτρο Ταμαγκάουα δεν εξαρτάται από την επιλογή του ω, ούτε από την επιλογή των μέτρων στο Πρότυπο:Math, επειδή ο πολλαπλασιασμός του Πρότυπο:Math με ένα στοιχείο του Πρότυπο:Math πολλαπλασιάζει το μέτρο Χάαρ στο Πρότυπο:Math επί 1, χρησιμοποιώντας τον τύπο του γινομένου για τις αποτιμήσεις.

Ο αριθμός Ταμαγκάουα Πρότυπο:Math ορίζεται ως το μέτρο Ταμαγκάουα του Πρότυπο:Math.

Η εικασία του Βέιλ για τους αριθμούς Ταμαγκάουα

Η εικασία του Βέιλ για τους αριθμούς Ταμαγκάουα δηλώνει ότι ο αριθμός Ταμαγκάουα Πρότυπο:Math μιας απλά συνδεδεμένης (δηλαδή χωρίς κατάλληλη αλγεβρική κάλυψη) απλής αλγεβρικής ομάδας που ορίζεται πάνω σε ένα αριθμητικό σώμα είναι 1. Ο Βέιλ (Πρότυπο:Harvs) υπολόγισε τον αριθμό Ταμαγκάουα σε πολλές περιπτώσεις κλασικών ομάδων και παρατήρησε ότι είναι ακέραιος σε όλες τις εξεταζόμενες περιπτώσεις και ότι ήταν ίσος με 1 στις περιπτώσεις που η ομάδα είναι απλά συνδεδεμένη. Ο Όνο (Πρότυπο:Harvtxt) βρήκε παραδείγματα όπου οι αριθμοί Ταμαγκάουα δεν είναι ακέραιοι, αλλά η εικασία για τον αριθμό Ταμαγκάουα των απλά συνδεδεμένων ομάδων αποδείχθηκε γενικά από διάφορες εργασίες με αποκορύφωμα την εργασία του Κότβιτς (Πρότυπο:Harvs) και για το ανάλογο πάνω από συναρτησιακά σώματα πάνω από πεπερασμένα σώματα από τους Γκάιτσγκορι & Λούρι (Πρότυπο:Harvtxt).

Δείτε επίσης

• Field Arithmetic
• Θεώρημα δείκτη Ατίγια-Σίνγκερ
• Τοπολογία
• Αντρέ Βέιλ
• Ελλειπτική συνάρτηση Βάιερστρας
• Τοπολογία Ζαρίσκι

Εξωτερικοί σύνδεσμοι

• English - Greek Dictionary of Pure and Applied Mathematics Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
• Αγγλοελληνικό Λεξικό Μαθηματικής Ορολογίας - Πανεπιστήμιο Κύπρου
• Andreas Gathmann - Algebraic Geometry (SS 2014)
• Galois Groups and Fundamental Groups
• Noether-Lefschetz Theory and the Picard Group of Projective Surfaces
• Algebraic Groups and Number Theory
• Algebraic Groups and Their Birational Invariants
• Arithmetic Geometry, Number Theory, and Computation
• Abelian Varieties and Number Theory
• p-Adic Automorphic Forms on Shimura Varieties

Δημοσιεύσεις

• Grothendieck, Alexandre; Dieudonné, Jean (1964). "Éléments de géométrie algébrique: IV. Étude locale des schémas et des morphismes de schémas, Première partie". Publications Mathématiques de l'IHÉS. 20. doi:10.1007/bf02684747. MR 0173675.
• Grothendieck, Alexandre; Dieudonné, Jean (1967). "Éléments de géométrie algébrique: IV. Étude locale des schémas et des morphismes de schémas, Quatrième partie". Publications Mathématiques de l'IHÉS. 32. doi:10.1007/bf02732123. MR 0238860.
• Πρότυπο:Cite book
• Πρότυπο:Cite book
• Πρότυπο:Springer
• Πρότυπο:Citation.
• Πρότυπο:Citation
• Πρότυπο:Citation
• Πρότυπο:Citation
• Πρότυπο:Citation
• Πρότυπο:Citation
• Πρότυπο:Citation
• Πρότυπο:Citation
• Aravind Asok, Brent Doran and Frances Kirwan, "Yang-Mills theory and Tamagawa Numbers: the fascination of unexpected links in mathematics", February 22, 2013
• J. Lurie, The Siegel Mass Formula, Tamagawa Numbers, and Nonabelian Poincaré Duality posted June 8, 2012.