Ελλειπτική συνάρτηση Βάιερστρας

"℘" ανακατευθύνεται εδώ- το σύμβολο μπορεί επίσης να χρησιμοποιηθεί για να δηλώσει ένα Δυναμοσύνολο.

Στα μαθηματικά, οι ελλειπτικές συναρτήσεις Βάιερστρας είναι ελλειπτικές συναρτήσεις που έχουν μια ιδιαίτερα απλή μορφή. Πήραν το όνομά τους από τον Καρλ Βάιερστρας. Αυτή η κατηγορία συναρτήσεων αναφέρεται επίσης ως ℘-συναρτήσεις και συνήθως συμβολίζονται με το σύμβολο ℘, μια μοναδική p-γραφή. Παίζουν σημαντικό ρόλο στη θεωρία των ελλειπτικών συναρτήσεων, δηλαδή των μερομορφικών συναρτήσεων που είναι διπλά περιοδικές. Μια ℘-συνάρτηση μαζί με την παράγωγό της μπορούν να χρησιμοποιηθούν για την παραμετροποίηση ελλειπτικών καμπυλών και δημιουργούν το πεδίο των ελλειπτικών συναρτήσεων ως προς ένα δεδομένο πλέγμα περιόδων.

Σύμβολο της συνάρτησης Βάιερστρας $\mathrm{\wp }$-function

πρότυπο της συνάρτησης Βάιερστρας$\mathrm{\wp }$

Κίνητρα

Ένα κυβικό σχήματος $C_{g_2,g_3}^{ℂ}=\{(x,y)\in {ℂ}^2:y^2=4x^3-g_{2}x-g_3\}$, όπου $g_2,g_3\in ℂ$ είναι μιγαδικοί αριθμοί με $g_2^3-27g_3^2\ne 0$, δεν μπορεί να παραμετρηθεί με ρητό τρόπο . Ωστόσο, επιθυμούμε να βρούμε έναν τρόπο διαμόρφωσης.

Για το τετράγωνο $K=\{(x,y)\in {ℝ}^2:x^2+y^2=1\}$;- ο μοναδιαίος κύκλος, υπάρχει μια (μη ρητή) παραμετροποίηση χρησιμοποιώντας τη συνάρτηση ημιτόνου και την παράγωγό της τη συνάρτηση συνημιτόνου:

$\psi :ℝ/2\pi \mathbb{Z}\to K,t\mapsto (\sin t,\cos t).$

Λόγω της περιοδικότητας του ημιτόνου και του συνημιτόνου επιλέγεται το $ℝ/2\pi \mathbb{Z}$ ως πεδίο ορισμού, οπότε η συνάρτηση είναι διμερής.

Με παρόμοιο τρόπο μπορεί κανείς να πάρει μια παραμετροποίηση της $C_{g_2,g_3}^{ℂ}$ μέσω της διπλά περιοδικής $\mathrm{\wp }$-συνάρτησης (βλέπε στην ενότητα "Σχέση με ελλειπτικές καμπύλες"). Αυτή η παραμετροποίηση διαθέτει το πεδίο $ℂ/\mathrm{\Lambda }$, το οποίο είναι τοπολογικά ισοδύναμο με έναν Τόρο.

Υπάρχει μια άλλη αναλογία με τις τριγωνομετρικές συναρτήσεις. Ας εξετάσουμε την ακεραία συνάρτηση

$a(x)=\underset{0}{\overset{x}{\int }}\frac{dy}{\sqrt{1-y^2}}.$

Μπορεί να απλουστευθεί αντικαθιστώντας $y=\sin t$ και $s=\arcsin x$:

$a(x)=\underset{0}{\overset{s}{\int }}dt=s=\arcsin x.$

Αυτό σημαίνει $a^{-1}(x)=\sin x$. Έτσι, η συνάρτηση του ημιτόνου είναι μια αντίστροφη συνάρτηση μιας ακεραίας συνάρτησης.

Οι ελλειπτικές συναρτήσεις είναι οι αντίστροφες συναρτήσεις των ελλειπτικών ολοκληρωμάτων. Πιο συγκεκριμένα:

$u(z)=-\underset{z}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{ds}{\sqrt{4s^3-g_{2}s-g_3}}.$

Τότε η επέκταση του $u^{-1}$ στο μιγαδικό επίπεδο ισούται με τη συνάρτηση $\mathrm{\wp }$. Αυτή η αντιστρεψιμότητα χρησιμοποιείται στην μιγαδική ανάλυση για να δώσει λύση σε ορισμένες μη γραμμικές διαφορικές εξισώσεις που ικανοποιούν την ιδιότητα Painlevé, δηλαδή σε εκείνες τις εξισώσεις που δέχονται πόλους ως τις μόνες κινητές ιδιομορφίες τους.

Ορισμός

Απεικόνιση της συνάρτησης $\mathrm{\wp }$ με αναλλοίωτες $g_2=1+i$ και $g_3=2-3i$, όπου το λευκό χρώμα αντιστοιχεί σε πόλο, το μαύρο σε μηδέν.

Έστω ${\omega }_1,{\omega }_2\in ℂ$ δύο μιγαδικοί αριθμοίοι οποίοι είναι γραμμικά ανεξάρτητοι πάνω στο $ℝ$ και έστω $\mathrm{\Lambda }:=\mathbb{Z}{\omega }_1+\mathbb{Z}{\omega }_2:=\{m{\omega }_1+n{\omega }_2:m,n\in \mathbb{Z}\}$ είναι το περιοδικό πλέγμα που δημιουργείται από αυτούς τους αριθμούς. Τότε η συνάρτηση $\mathrm{\wp }$ ορίζεται ως εξής:

$\mathrm{\wp }(z,{\omega }_1,{\omega }_2):=\mathrm{\wp }(z)=\frac{1}{z^2}+\sum _{\lambda \in \mathrm{\Lambda }\setminus \{0\}}(\frac{1}{(z-\lambda {)}^2}-\frac{1}{{\lambda }^2}).$

Αυτή η σειρά συγκλίνει τοπικά ομοιόμορφα απόλυτα στον μιγαδικό τόρο $ℂ\setminus \mathrm{\Lambda }$.

Είναι συνηθισμένο να χρησιμοποιείται το $1$ και $\tau$ στο άνω ημιεπίπεδο $ℍ:=\{z\in ℂ:\mathrm{Im}(z)>0\}$ ως γεννήτορες του πλέγματος. Η διαίρεση με ${\omega }_1$ απεικονίζει το πλέγμα $\mathbb{Z}{\omega }_1+\mathbb{Z}{\omega }_2$ ισομορφικά στο πλέγμα $\mathbb{Z}+\mathbb{Z}\tau$ με $\tau =\frac{{\omega }_2}{{\omega }_1}$. Επειδή το $-\tau$ μπορεί να αντικαταστήσει το $\tau$, χωρίς απώλεια της γενικότητας μπορούμε να υποθέσουμε $\tau \in ℍ$, και στη συνέχεια να ορίσουμε $\mathrm{\wp }(z,\tau ):=\mathrm{\wp }(z,1,\tau )$.

Ιδιότητες

• Η $\mathrm{\wp }$ είναι μια μερομορφική συνάρτηση με πόλο τάξης 2 σε κάθε περίοδο $\lambda$ στην $\mathrm{\Lambda }$.
• Η $\mathrm{\wp }$ είναι άρτια συνάρτηση. Αυτό σημαίνει $\mathrm{\wp }(z)=\mathrm{\wp }(-z)$ for all $z\in ℂ\setminus \mathrm{\Lambda }$, το οποίο μπορεί να θεωρηθεί με τον ακόλουθο τρόπο:

$\begin{array}{cc}\mathrm{\wp }(-z)& =\frac{1}{(-z{)}^2}+\sum _{\lambda \in \mathrm{\Lambda }\setminus \{0\}}(\frac{1}{(-z-\lambda {)}^2}-\frac{1}{{\lambda }^2})\\ & =\frac{1}{z^2}+\sum _{\lambda \in \mathrm{\Lambda }\setminus \{0\}}(\frac{1}{(z+\lambda {)}^2}-\frac{1}{{\lambda }^2})\\ & =\frac{1}{z^2}+\sum _{\lambda \in \mathrm{\Lambda }\setminus \{0\}}(\frac{1}{(z-\lambda {)}^2}-\frac{1}{{\lambda }^2})=\mathrm{\wp }(z).\end{array}$

Η προτελευταία ισότητα ισχύει επειδή $\{-\lambda :\lambda \in \mathrm{\Lambda }\}=\mathrm{\Lambda }$. Δεδομένου ότι το άθροισμα συγκλίνει απόλυτα, αυτή η αναδιάταξη δεν αλλάζει το όριο.

• Η παράγωγος του $\mathrm{\wp }$ δίνεται από: ${\mathrm{\wp }}^{\prime }(z)=-2\sum _{\lambda \in \mathrm{\Lambda }}\frac{1}{(z-\lambda {)}^3}.$
• $\mathrm{\wp }$ και ${\mathrm{\wp }}^{\prime }$ είναι διπλά περιοδικές με περιόδους ${\omega }_1$ και ${\omega }_2$. Αυτό σημαίνει:

$\begin{array}{cc}\mathrm{\wp }(z+{\omega }_1)& =\mathrm{\wp }(z)=\mathrm{\wp }(z+{\omega }_2),\text{and}\\ {\mathrm{\wp }}^{\prime }(z+{\omega }_1)& ={\mathrm{\wp }}^{\prime }(z)={\mathrm{\wp }}^{\prime }(z+{\omega }_2).\end{array}$

Προκύπτει ότι $\mathrm{\wp }(z+\lambda )=\mathrm{\wp }(z)$ and ${\mathrm{\wp }}^{\prime }(z+\lambda )={\mathrm{\wp }}^{\prime }(z)$ για κάθε $\lambda \in \mathrm{\Lambda }$.

Διαφορική εξίσωση

Έστω $g_2=60G_4$ and $g_3=140G_6$. Τότε η συνάρτηση $\mathrm{\wp }$ ικανοποιεί τη διαφορική εξίσωση.

$\mathrm{\wp }{\text{'}}^2(z)=4{\mathrm{\wp }}^3(z)-g_2\mathrm{\wp }(z)-g_3.$

Η σχέση αυτή μπορεί να επαληθευτεί με το σχηματισμό ενός γραμμικού συνδυασμού δυνάμεων των $\mathrm{\wp }$ και ${\mathrm{\wp }}^{\prime }$ για την εξάλειψη του πόλου στο $z=0$. Αυτό δίνει μια ολόκληρη ελλειπτική συνάρτηση που πρέπει να είναι σταθερή σύμφωνα με το θεώρημα του Λιούβιλ.

Aμετάβλητο

Το πραγματικό μέρος του αναλλοίωτου g3 ως συνάρτηση του τετραγώνου του νομέα q στον μοναδιαίο δίσκο.

Το φανταστικό μέρος του αμετάβλητου g₃ ως συνάρτηση του τετραγώνου του νομέα q στον μοναδιαίο δίσκο.

Οι συντελεστές της παραπάνω διαφορικής εξίσωσης g₂ και g₃ είναι γνωστοί ως αμετάβλητοι. Επειδή εξαρτώνται από το πλέγμα $\mathrm{\Lambda }$ μπορούν να θεωρηθούν ως συναρτήσεις στο ${\omega }_1$ και ${\omega }_2$.

Το ανάπτυγμα της σειράς δείχνει ότι οι g₂ και g₃ είναι ομογενείς συναρτήσεις βαθμού -4 και -6. Δηλαδή

$g_2(\lambda {\omega }_1,\lambda {\omega }_2)={\lambda }^{-4}{g}_2({\omega }_1,{\omega }_2)$

$g_3(\lambda {\omega }_1,\lambda {\omega }_2)={\lambda }^{-6}{g}_3({\omega }_1,{\omega }_2)$

για $\lambda \ne 0$.

Εάν ω${\omega }_1$ και ω ${\omega }_2$ επιλέγονται με τέτοιο τρόπο ώστε $\mathrm{Im}\left(\frac{{\omega }_2}{{\omega }_1}\right)>0$, g₂, τα g₂ και g₃ μπορούν να ερμηνευθούν ως συναρτήσεις στο άνω ημιεπίπεδο $ℍ:=\{z\in ℂ:\mathrm{Im}(z)>0\}$.

Έστω $\tau =\frac{{\omega }_2}{{\omega }_1}$. Έχουμε:

$g_2(1,\tau )={\omega }_1^4{g}_2({\omega }_1,{\omega }_2),$

$g_3(1,\tau )={\omega }_1^6{g}_3({\omega }_1,{\omega }_2).$

Αυτό σημαίνει ότι τα g₂ και g₃ κλιμακώνονται μόνο με αυτό τον τρόπο. Ορισμός

$g_2(\tau ):=g_2(1,\tau )$

και

$g_3(\tau ):=g_3(1,\tau ).$

Ως συναρτήσεις των $\tau \in ℍ$ $g_2,g_3$ είναι οι λεγόμενες δομοστοιχειωτές μορφές.

Οι σειρές Φουριέ για $g_2$ και $g_3$ δίνονται ως εξής:

$g_2(\tau )=\frac{4}{3}{\pi }^4[1+240\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}{\sigma }_3(k)q^{2k}]$

$g_3(\tau )=\frac{8}{27}{\pi }^6[1-504\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}{\sigma }_5(k)q^{2k}]$

όταν

${\sigma }_a(k):=\sum _{d\mid k}{d}^{\alpha }$

είναι η συνάρτηση του διαιρέτη και $q=e^{\pi i\tau }$ είναι το nome.

Διακρίνουσα συνάρτηση

το πραγματικό μέρος της διακρίνουσας ως συνάρτηση του τετραγώνου του νομέα q στον μοναδιαίο δίσκο.

Η διακρίνουσα συνάρτηση Δ ορίζεται ως η διακρίνουσα του πολυωνύμου στη δεξιά πλευρά της παραπάνω διαφορικής εξίσωσης:

$\mathrm{\Delta }=g_2^3-27g_3^2.$

Η διακρίνουσα είναι μια δομοστοιχειωτή μορφή βάρους 12. Δηλαδή, υπό τη δράση της modular ομάδας, μετασχηματίζεται σε

$\mathrm{\Delta }\left(\frac{a\tau +b}{c\tau +d}\right)={(c\tau +d)}^{12}\mathrm{\Delta }(\tau )$

όταν $a,b,d,c\in \mathbb{Z}$ με ad − bc = 1.

Ας σημειωθεί ότι $\mathrm{\Delta }=(2\pi {)}^{12}{\eta }^{24}$ όπου $\eta$ είναι η συνάρτηση ήτα του Ντεντέκιντ.

Για τους συντελεστές Φουριέ του $\mathrm{\Delta }$, δείτε συνάρτηση ράμανουτζαν ταυ.

Οι σταθερές e1, e2 και e3

Οι σταθερές $e_1$, $e_2$ και $e_3$ χρησιμοποιούνται συνήθως για να δηλώσουν τις τιμές της συνάρτησης $\mathrm{\wp }$ στις ημιπεριόδους.

$e_1\equiv \mathrm{\wp }\left(\frac{{\omega }_1}{2}\right)$

$e_2\equiv \mathrm{\wp }\left(\frac{{\omega }_2}{2}\right)$

$e_3\equiv \mathrm{\wp }\left(\frac{{\omega }_1+{\omega }_2}{2}\right)$

Είναι κατά ζεύγη διακριτά και εξαρτώνται μόνο από το πλέγμα $\mathrm{\Lambda }$ και όχι από τις γεννήτριές του.

$e_1$, $e_2$ και $e_3$ είναι οι ρίζες του κυβικού πολυωνύμου $4\mathrm{\wp }(z{)}^3-g_2\mathrm{\wp }(z)-g_3$ και συνδέονται με την εξίσωση:

$e_1+e_2+e_3=0.$

Επειδή αυτές οι ρίζες είναι διαφορετικές, η διακρίνουσα $\mathrm{\Delta }$ δεν εξαφανίζεται στο άνω ημιεπίπεδο. Τώρα μπορούμε να ξαναγράψουμε τη διαφορική εξίσωση:

$\mathrm{\wp }{\text{'}}^2(z)=4(\mathrm{\wp }(z)-e_1)(\mathrm{\wp }(z)-e_2)(\mathrm{\wp }(z)-e_3).$

Αυτό σημαίνει ότι οι μισές περίοδοι είναι μηδενικές του ${\mathrm{\wp }}^{\prime }$.

Οι αναλλοίωτες $g_2$ και $g_3$ μπορούν να εκφραστούν ως προς αυτές τις σταθερές με τον ακόλουθο τρόπο:

$g_2=-4(e_1{e}_2+e_1{e}_3+e_2{e}_3)$

$g_3=4e_1{e}_2{e}_3$

$e_1$, $e_2$ και $e_3$ σχετίζονται με τη διακρίνουσα συνάρτηση λάμδα:

$\lambda (\tau )=\frac{e_3-e_2}{e_1-e_2},\tau =\frac{{\omega }_2}{{\omega }_1}.$

Σχέση με τις συναρτήσεις θήτα του Ιακόμπι

Η συνάρτηση $\mathrm{\wp }(z,\tau )=\mathrm{\wp }(z,1,{\omega }_2/{\omega }_1)$ μπορεί να παρασταθεί με τις συναρτήσεις θήτα του Ιακόμπι:

$\mathrm{\wp }(z,\tau )={(\pi {\theta }_2(0,q){\theta }_3(0,q)\frac{{\theta }_4(\pi z,q)}{{\theta }_1(\pi z,q)})}^2-\frac{{\pi }^2}{3}({\theta }_2^4(0,q)+{\theta }_3^4(0,q))$

όπου $q=e^{\pi i\tau }$ είναι ο νομός και $\tau$ είναι αναλογία περιόδων $(\tau \in ℍ)$. Αυτό παρέχει επίσης έναν πολύ γρήγορο αλγόριθμο για τον υπολογισμό του $\mathrm{\wp }(z,\tau )$.

Σχέση με ελλειπτικές καμπύλες

Ας εξετάσουμε την ενσωμάτωση της κυβικής καμπύλης στο μιγαδικό προβολικό επίπεδο

${\overline{C}}_{g_2,g_3}^{ℂ}=\{(x,y)\in {ℂ}^2:y^2=4x^3-g_{2}x-g_3\}\cup \{\mathrm{\infty }\}\subset {ℂ}^2\cup \{\mathrm{\infty }\}={\mathbb{P}}_2(ℂ).$

Για αυτό το κυβικό δεν υπάρχει ρητή παραμετροποίηση, αν $\mathrm{\Delta }\ne 0$.. Στην περίπτωση αυτή ονομάζεται επίσης ελλειπτική καμπύλη. Παρ' όλα αυτά υπάρχει μια παραμετροποίηση σε ομογενείς συντεταγμένες που χρησιμοποιεί τη συνάρτηση $\mathrm{\wp }$ και την παράγωγο της ${\mathrm{\wp }}^{\prime }$:

$\phi (\mathrm{\wp },{\mathrm{\wp }}^{\prime }):ℂ/\mathrm{\Lambda }\to {\overline{C}}_{g_2,g_3}^{ℂ},z\mapsto \{\begin{array}{cc}[\mathrm{\wp }(z):{\mathrm{\wp }}^{\prime }(z):1]& z\notin \mathrm{\Lambda }\\ [0:1:0]& z\in \mathrm{\Lambda }\end{array}$

Τώρα ο χάρτης $\phi$ είναι διμερής και παραμετροποιεί την ελλειπτική καμπύλη ${\overline{C}}_{g_2,g_3}^{ℂ}$.

$ℂ/\mathrm{\Lambda }$ είναι μια αβελιανή ομάδα και ένας τοπολογικός χώρος, εφοδιασμένος με την τοπολογία του πηλίκου.

Μπορεί να αποδειχθεί ότι κάθε κυβικό Βάιερστρας δίνεται με αυτόν τον τρόπο. Αυτό σημαίνει ότι για κάθε ζεύγος $g_2,g_3\in ℂ$ με $\mathrm{\Delta }=g_2^3-27g_3^2\ne 0$ υπάρχει ένα πλέγμα $\mathbb{Z}{\omega }_1+\mathbb{Z}{\omega }_2$, έτσι ώστε

$g_2=g_2({\omega }_1,{\omega }_2)$ and $g_3=g_3({\omega }_1,{\omega }_2)$.

Ο ισχυρισμός ότι οι ελλειπτικές καμπύλες πάνω από το $\mathbb{Q}$ μπορεί να παραμετροποιηθούν πάνω στο $\mathbb{Q}$, ονομάζεται θεωρία των δομοστοιχειωτών. Πρόκειται για ένα σημαντικό θεώρημα στη θεωρία αριθμών. Αποτελούσε μέρος της απόδειξης (1995) του Άντριου Γουάιλς για το τελευταίο θεώρημα του Φερμά.

Θεωρήματα πρόσθεσης

Έστω $z,w\in ℂ$, έτσι ώστε $z,w,z+w,z-w\notin \mathrm{\Lambda }$. Τότε έχουμε:

$\mathrm{\wp }(z+w)=\frac{1}{4}{\left[\frac{{\mathrm{\wp }}^{\prime }(z)-{\mathrm{\wp }}^{\prime }(w)}{\mathrm{\wp }(z)-\mathrm{\wp }(w)}\right]}^2-\mathrm{\wp }(z)-\mathrm{\wp }(w).$

Καθώς και η φόρμουλα διπλασιασμού:

$\mathrm{\wp }(2z)=\frac{1}{4}{\left[\frac{{\mathrm{\wp }}^{″}(z)}{{\mathrm{\wp }}^{\prime }(z)}\right]}^2-2\mathrm{\wp }(z).$

Αυτοί οι τύποι έχουν επίσης μια γεωμετρική ερμηνεία, αν εξετάσουμε την ελλειπτική καμπύλη ${\overline{C}}_{g_2,g_3}^{ℂ}$μαζί με την αντιστοίχηση $\phi :ℂ/\mathrm{\Lambda }\to {\overline{C}}_{g_2,g_3}^{ℂ}$ όπως στην προηγούμενη ενότητα.

Η δομή της ομάδας$(ℂ/\mathrm{\Lambda },+)$ μεταφράζεται σε καμπύλη ${\overline{C}}_{g_2,g_3}^{ℂ}$ και δύναται να ερμηνευθεί γεωμετρικά :

Το άθροισμα τριών κατά ζεύγη διαφορετικών σημείων $a,b,c\in {\overline{C}}_{g_2,g_3}^{ℂ}$ είναι μηδέν αν και μόνο αν βρίσκονται στην ίδια ευθεία στο ${\mathbb{P}}_{ℂ}^2$.

Αυτό είναι ισοδύναμο με:

$\det \left(\begin{array}{ccc}1& \mathrm{\wp }(u+v)& -{\mathrm{\wp }}^{\prime }(u+v)\\ 1& \mathrm{\wp }(v)& {\mathrm{\wp }}^{\prime }(v)\\ 1& \mathrm{\wp }(u)& {\mathrm{\wp }}^{\prime }(u)\end{array}\right)=0,$ όταν $\mathrm{\wp }(u)=a$,

$\mathrm{\wp }(v)=b$ και $u,v\notin \mathrm{\Lambda }$.

Τυπογραφία

Η ελλειπτική συνάρτηση του Βάιερστρας γράφεται συνήθως με ένα μάλλον ιδιαίτερο, πεζό γράμμα ℘, το οποίο ήταν ο ίδιος ο Βάιερστρας που το εισήγαγε στις διαλέξεις του 1862-1863.

Στην πληροφορική, το γράμμα ℘ είναι διαθέσιμο ως \wp στο TeX. Στο Unicode το σημείο κωδικοποίησης είναι U+2118 ℘ SCRIPT CAPITAL P (℘, ℘), με το ορθότερο επίθετο "ελλειπτική συνάρτηση Βάιερστρας". Στην HTML, μπορεί να διαχωριστεί ως ℘.

Βιβλιογραφία

• N. I. Akhiezer, Elements of the Theory of Elliptic Functions, (1970) Moscow, translated into English as AMS Translations of Mathematical Monographs Volume 79 (1990) AMS, Rhode Island ISBN 0-8218-4532-2
• Tom M. Apostol, Modular Functions and Dirichlet Series in Number Theory, Second Edition (1990), Springer, New York ISBN 0-387-97127-0 (See chapter 1.)
• K. Chandrasekharan, Elliptic functions (1980), Springer-Verlag ISBN 0-387-15295-4
• Konrad Knopp, Funktionentheorie II (1947), Dover Publications; Republished in English translation as Theory of Functions (1996), Dover Publications ISBN 0-486-69219-1
• Serge Lang, Elliptic Functions (1973), Addison-Wesley, ISBN 0-201-04162-6
• E. T. Whittaker and G. N. Watson, A Course of Modern Analysis, Cambridge University Press, 1952, chapters 20 and 21

Εξωτερικοί σύνδεσμοι

• Πρότυπο:Springer
• Weierstrass's elliptic functions on Mathworld.
• Chapter 23, Weierstrass Elliptic and Modular Functions in DLMF (Digital Library of Mathematical Functions) by W. P. Reinhardt and P. L. Walker.
• Weierstrass P function and its derivative implemented in C by David Dumas