Τύπος του Λάιμπνιτς για τις ορίζουσες

Στην άλγεβρα, ο τύπος Λάιμπνιτς^[1], που έλαβε το όνομά του προς τιμήν του Γκότφριντ Λάιμπνιτς, καθορίζει την ορίζουσα ενός τετραγωνικού πίνακα ως προς τις μεταθέσεις των στοιχείων του πίνακα^[2]. Αν ο $A$ είναι ένας $n \times n$ πίνακας, όπου $a_{i j}$ είναι η εγγραφή στην $i$ -th γραμμή και $j$ -th στήλη του $A$ , ο τύπος είναι ο εξής

\det (A) = \sum_{τ \in S_{n}} sgn (τ) \prod_{i = 1}^{n} a_{i τ (i)} = \sum_{σ \in S_{n}} sgn (σ) \prod_{i = 1}^{n} a_{σ (i) i}

όπου $sgn$ είναι η συνάρτηση προσήμου των μεταθέσεων στην ομάδα μεταθέσεων $S_{n}$ , η οποία επιστρέφει $+ 1$ και $- 1$ για ζυγές και περιττές μεταθέσεις, αντίστοιχα.

Ένας άλλος συνήθης συμβολισμός που χρησιμοποιείται για τον τύπο είναι σε όρους του συμβόλου Λεβί-Κιβίτα και κάνει χρήση του συμβολισμού του αθροίσματος του Αϊνστάιν, όπου γίνεται

\det (A) = ϵ_{i_{1} \dots i_{n}} a_{1 i_{1}} \dots a_{n i_{n}},

που μπορεί να είναι πιο οικεία στους φυσικούς.

Η άμεση αξιολόγηση του τύπου Λάιμπνιτς από τον ορισμό απαιτεί $Ω (n! \cdot n)$ πράξεις γενικά - δηλαδή έναν αριθμό πράξεων ασυμπτωτικά ανάλογο του $n$ παραγοντικό- επειδή $n!$ είναι ο αριθμός των μεταθέσεων τάξης- $n$ . Αυτό είναι πρακτικά δύσκολο ακόμη και για σχετικά μικρά $n$ . Αντ' αυτού, η ορίζουσα μπορεί να εκτιμηθεί σε $O (n^{3})$ πράξεις σχηματίζοντας την LU αποσύνθεση $A = L U$ (συνήθως μέσω απαλοιφής Γκάους ή παρόμοιων μεθόδων), οπότε $\det A = \det L \cdot \det U$ και οι ορίζουσες των τριγωνικών πινάκων $L$ και $U$ είναι απλά τα γινόμενα των διαγώνιων καταχωρήσεων τους. (Στις πρακτικές εφαρμογές της αριθμητικής γραμμικής άλγεβρας, ωστόσο, σπάνια απαιτείται ρητός υπολογισμός της ορίζουσας). Βλέπε, για παράδειγμα, Πρότυπο:Harvtxt. Η ορίζουσα μπορεί επίσης να εκτιμηθεί σε λιγότερες από $O (n^{3})$ πράξεις αναγάγοντας το πρόβλημα σε πολλαπλασιασμό πινάκων, αλλά οι περισσότεροι τέτοιοι αλγόριθμοι δεν είναι πρακτικοί.

Τυπική δήλωση και απόδειξη

Θεώρημα. Υπάρχει ακριβώς μία συνάρτηση $F : M_{n} (𝕂) \to 𝕂$ η οποία είναι εναλλασσόμενη πολυγραμμική ως προς τις στήλες και τέτοια ώστε ^[3]^[4] $F (I) = 1$ .

Απόδειξη.

Μοναδικότητα: Έστω $F$ μια τέτοια συνάρτηση, και έστω $A = (a_{i}^{j})_{i = 1, \dots, n}^{j = 1, \dots, n}$ ένας $n \times n$ πίνακας. Καλούμε $A^{j}$ την $j$ -th στήλη του $A$ , δηλαδή $A^{j} = (a_{i}^{j})_{i = 1, \dots, n}$ , έτσι ώστε $A = (A^{1}, \dots, A^{n}) .$

Επίσης, έστω $E^{k}$ το $k$ -th διάνυσμα στήλης του πίνακα ταυτότητας.

Τώρα γράφουμε κάθε ένα από τα $A^{j}$ ως προς το $E^{k}$ , δηλ.

A^{j} = \sum_{k = 1}^{n} a_{k}^{j} E^{k}

.

Καθώς η $F$ είναι πολυγραμμική, έχουμε

\begin{matrix} F (A) & = F (\sum_{k_{1} = 1}^{n} a_{k_{1}}^{1} E^{k_{1}}, \dots, \sum_{k_{n} = 1}^{n} a_{k_{n}}^{n} E^{k_{n}}) = \sum_{k_{1}, \dots, k_{n} = 1}^{n} (\prod_{i = 1}^{n} a_{k_{i}}^{i}) F (E^{k_{1}}, \dots, E^{k_{n}}) . \end{matrix}

Από την εναλλαγή προκύπτει ότι κάθε όρος με επαναλαμβανόμενους δείκτες είναι μηδενικός. Το άθροισμα μπορεί επομένως να περιοριστεί σε πλειάδες με μη επαναλαμβανόμενους δείκτες, δηλαδή μεταθέσεις:

F (A) = \sum_{σ \in S_{n}} (\prod_{i = 1}^{n} a_{σ (i)}^{i}) F (E^{σ (1)}, \dots, E^{σ (n)}) .

Επειδή το F είναι εναλλασσόμενο, οι στήλες $E$ μπορούν να αντικατασταθούν μέχρι να γίνει η ταυτότητα. Η συνάρτηση προσήμου $sgn (σ)$ ορίζεται για να μετρά τον αριθμό των απαραίτητων ανταλλαγών και να λαμβάνει υπόψη την αλλαγή προσήμου που προκύπτει. Τελικά παίρνουμε:

\begin{matrix} F (A) & = \sum_{σ \in S_{n}} sgn (σ) (\prod_{i = 1}^{n} a_{σ (i)}^{i}) F (I) \\ = \sum_{σ \in S_{n}} sgn (σ) \prod_{i = 1}^{n} a_{σ (i)}^{i} \end{matrix}

καθώς το $F (I)$ απαιτείται να είναι ίσο με $1$ .

Επομένως, καμία συνάρτηση εκτός από τη συνάρτηση που ορίζεται από τον τύπο Λάιμπνιτς δεν μπορεί να είναι μια πολυγραμμική εναλλασσόμενη συνάρτηση με $F (I) = 1$ .

Ύπαρξη: Μπορούμε τώρα να δείξουμε ότι η F, όπου F είναι η συνάρτηση που ορίζεται από τον τύπο του Λάιμπνιτς, έχει αυτές τις τρεις ιδιότητες.

Πολυγραμμικό

\begin{matrix} F (A^{1}, \dots, c A^{j}, \dots) & = \sum_{σ \in S_{n}} sgn (σ) c a_{σ (j)}^{j} \prod_{i = 1, i \neq j}^{n} a_{σ (i)}^{i} \\ = c \sum_{σ \in S_{n}} sgn (σ) a_{σ (j)}^{j} \prod_{i = 1, i \neq j}^{n} a_{σ (i)}^{i} \\ = c F (A^{1}, \dots, A^{j}, \dots) \\ F (A^{1}, \dots, b + A^{j}, \dots) & = \sum_{σ \in S_{n}} sgn (σ) (b_{σ (j)} + a_{σ (j)}^{j}) \prod_{i = 1, i \neq j}^{n} a_{σ (i)}^{i} \\ = \sum_{σ \in S_{n}} sgn (σ) ((b_{σ (j)} \prod_{i = 1, i \neq j}^{n} a_{σ (i)}^{i}) + (a_{σ (j)}^{j} \prod_{i = 1, i \neq j}^{n} a_{σ (i)}^{i})) \\ = (\sum_{σ \in S_{n}} sgn (σ) b_{σ (j)} \prod_{i = 1, i \neq j}^{n} a_{σ (i)}^{i}) + (\sum_{σ \in S_{n}} sgn (σ) \prod_{i = 1}^{n} a_{σ (i)}^{i}) \\ = F (A^{1}, \dots, b, \dots) + F (A^{1}, \dots, A^{j}, \dots) \end{matrix}

Εναλλασσόμενο

\begin{matrix} F (\dots, A^{j_{1}}, \dots, A^{j_{2}}, \dots) & = \sum_{σ \in S_{n}} sgn (σ) (\prod_{i = 1, i \neq j_{1}, i \neq j_{2}}^{n} a_{σ (i)}^{i}) a_{σ (j_{1})}^{j_{1}} a_{σ (j_{2})}^{j_{2}} \end{matrix}

Για κάθε $σ \in S_{n}$ έστω $σ^{'}$ η πλειάδα που ισούται με $σ$ με τους δείκτες $j_{1}$ και $j_{2}$ αλλαγμένους.

\begin{matrix} F (A) & = \sum_{σ \in S_{n}, σ (j_{1}) < σ (j_{2})} [sgn (σ) (\prod_{i = 1, i \neq j_{1}, i \neq j_{2}}^{n} a_{σ (i)}^{i}) a_{σ (j_{1})}^{j_{1}} a_{σ (j_{2})}^{j_{2}} + sgn (σ^{'}) (\prod_{i = 1, i \neq j_{1}, i \neq j_{2}}^{n} a_{σ^{'} (i)}^{i}) a_{σ^{'} (j_{1})}^{j_{1}} a_{σ^{'} (j_{2})}^{j_{2}}] \\ = \sum_{σ \in S_{n}, σ (j_{1}) < σ (j_{2})} [sgn (σ) (\prod_{i = 1, i \neq j_{1}, i \neq j_{2}}^{n} a_{σ (i)}^{i}) a_{σ (j_{1})}^{j_{1}} a_{σ (j_{2})}^{j_{2}} - sgn (σ) (\prod_{i = 1, i \neq j_{1}, i \neq j_{2}}^{n} a_{σ (i)}^{i}) a_{σ (j_{2})}^{j_{1}} a_{σ (j_{1})}^{j_{2}}] \\ = \sum_{σ \in S_{n}, σ (j_{1}) < σ (j_{2})} sgn (σ) (\prod_{i = 1, i \neq j_{1}, i \neq j_{2}}^{n} a_{σ (i)}^{i}) \underset{= 0, if A^{j_{1}} = A^{j_{2}}}{\underset{⏟}{(a_{σ (j_{1})}^{j_{1}} a_{σ (j_{2})}^{j_{2}} - a_{σ (j_{1})}^{j_{2}} a_{σ (j_{2})}^{j_{_{1}}})}} \end{matrix}

Έτσι, αν $A^{j_{1}} = A^{j_{2}}$ τότε $F (\dots, A^{j_{1}}, \dots, A^{j_{2}}, \dots) = 0$ .

Τέλος, $F (I) = 1$ :

\begin{matrix} F (I) & = \sum_{σ \in S_{n}} sgn (σ) \prod_{i = 1}^{n} I_{σ (i)}^{i} = \sum_{σ \in S_{n}} sgn (σ) \prod_{i = 1}^{n} δ_{i, σ (i)} \\ = \sum_{σ \in S_{n}} sgn (σ) δ_{σ, {id}_{{1 \dots n}}} = sgn ({id}_{{1 \dots n}}) = 1 \end{matrix}

Έτσι, οι μόνες εναλλασσόμενες πολυγραμμικές συναρτήσεις με $F (I) = 1$ περιορίζονται στη συνάρτηση που ορίζεται από τον τύπο του Λάιμπνιτς, και στην πραγματικότητα διαθέτει επίσης αυτές τις τρεις ιδιότητες. Επομένως, η ορίζουσα μπορεί να οριστεί ως η μόνη συνάρτηση $\det : M_{n} (𝕂) \to 𝕂$ με αυτές τις τρεις ιδιότητες.

Δείτε επίσης

Εξωτερικοί σύνδεσμοι

English - Greek Dictionary of Pure and Applied Mathematics Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
Αγγλοελληνικό Λεξικό Μαθηματικής Ορολογίας - Πανεπιστήμιο Κύπρου
Matrix Analysis
The Concise Oxford Dictionary of Mathematics
Numerical Methods I - Basis and Fundamentals
A Modern Introduction to Linear Algebra
Quantum Mechanics for Scientists and Engineers

Δημοσιεύσεις

Παραπομπές

Πρότυπο:Authority control Πρότυπο:Portal bar

[1] Πρότυπο:Cite web

[2] Πρότυπο:Cite web

[3] Πρότυπο:Cite web

[4] Πρότυπο:Cite book

[1]

[2]

[3]

[4]

Τύπος του Λάιμπνιτς για τις ορίζουσες

Περιεχόμενα

Τυπική δήλωση και απόδειξη

Δείτε επίσης

Εξωτερικοί σύνδεσμοι

Δημοσιεύσεις

Παραπομπές

Μενού πλοήγησης

Τύπος του Λάιμπνιτς για τις ορίζουσες

Τυπική δήλωση και απόδειξη

Δείτε επίσης

Εξωτερικοί σύνδεσμοι

Δημοσιεύσεις

Παραπομπές

Μενού πλοήγησης

Αναζήτηση