Προσθετική συνάρτηση

Στη θεωρία των αριθμών, μια προσθετική συνάρτηση είναι μια αριθμητική συνάρτηση f(n) της θετικής ακέραιης μεταβλητής n, τέτοια ώστε κάθε φορά που τα a και b είναι πρώτοι προς αλλήλους, η συνάρτηση που εφαρμόζεται στο γινόμενο ab είναι το άθροισμα των τιμών της συνάρτησης που εφαρμόζεται στα a και b: $f(ab)=f(a)+f(b).$

Πλήρως προσθετική

Μια προσθετική συνάρτηση f(n) λέγεται πλήρως προσθετική αν $f(ab)=f(a)+f(b)$ ισχύει για όλους τους θετικούς ακέραιους a και b, ακόμα και όταν δεν είναι σχετικά πρώτοι. Η ολικά προσθετική χρησιμοποιείται επίσης με αυτή την έννοια κατ' αναλογία με τις ολικά πολλαπλασιαστικές συναρτήσεις. Αν η f είναι μια πλήρως προσθετική συνάρτηση τότε f(1) = 0.

Κάθε πλήρως προσθετική συνάρτηση είναι προσθετική, αλλά όχι το αντίστροφο.

Παραδείγματα

Παραδείγματα αριθμητικών συναρτήσεων που είναι πλήρως προσθετικές είναι:

• Ο περιορισμός της λογαριθμικής συνάρτησης στο $\mathbb{N}.$
• Η πολλαπλότητα ενός πρώτου παράγοντα p στο n, δηλαδή ο μεγαλύτερος εκθέτης m για τον οποίο p^m διαιρεί το n.
• a₀(n) - το άθροισμα των πρώτων αριθμών που διαιρούν το n μετρώντας την πολλαπλότητα, μερικές φορές ονομάζεται sopfr(n), η ισχύς του n ή ο ακέραιος λογάριθμος του n Πρότυπο:OEIS. Παραδείγματος χάριν:

a₀(4) = 2 + 2 = 4

a₀(20) = a₀(2² · 5) = 2 + 2 + 5 = 9

a₀(27) = 3 + 3 + 3 = 9

a₀(144) = a₀(2⁴ · 3²) = a₀(2⁴) + a₀(3²) = 8 + 6 = 14

a₀(2000) = a₀(2⁴ · 5³) = a₀(2⁴) + a₀(5³) = 8 + 15 = 23

a₀(2003) = 2003

a₀(54,032,858,972,279) = 1240658

a₀(54,032,858,972,302) = 1780417

a₀(20,802,650,704,327,415) = 1240681

• Η συνάρτηση Ω(n'), που ορίζεται ως ο συνολικός αριθμός των πρώτων παραγόντων του n, μετρώντας πολλαπλούς παράγοντες πολλές φορές, μερικές φορές ονομάζεται «συνάρτηση του Μεγάλου Ωμέγα» Πρότυπο:OEIS. Παραδείγματος χάριν,

Ω(1) = 0, δεδομένου ότι το 1 δεν έχει πρώτους παράγοντες

Ω(4) = 2

Ω(16) = Ω(2·2·2·2) = 4

Ω(20) = Ω(2·2·5) = 3

Ω(27) = Ω(3·3·3) = 3

Ω(144) = Ω(2⁴ · 3²) = Ω(2⁴) + Ω(3²) = 4 + 2 = 6

Ω(2000) = Ω(2⁴ · 5³) = Ω(2⁴) + Ω(5³) = 4 + 3 = 7

Ω(2001) = 3

Ω(2002) = 4

Ω(2003) = 1

Ω(54,032,858,972,279) = Ω(11 ⋅ 1993² ⋅ 1236661) = 4  ;

Ω(54,032,858,972,302) = Ω(2 ⋅ 7² ⋅ 149 ⋅ 2081 ⋅ 1778171) = 6

Ω(20,802,650,704,327,415) = Ω(5 ⋅ 7 ⋅ 11² ⋅ 1993² ⋅ 1236661) = 7.

Παραδείγματα αριθμητικών συναρτήσεων που είναι προσθετικές αλλά όχι πλήρως προσθετικές είναι:

• ω(n'), που ορίζεται ως ο συνολικός αριθμός των διακριτών πρώτων παραγόντων του n Πρότυπο:OEIS. Παραδείγματος χάριν:

ω(4) = 1

ω(16) = ω(2⁴) = 1

ω(20) = ω(2² · 5) = 2

ω(27) = ω(3³) = 1

ω(144) = ω(2⁴ · 3²) = ω(2⁴) + ω(3²) = 1 + 1 = 2

ω(2000) = ω(2⁴ · 5³) = ω(2⁴) + ω(5³) = 1 + 1 = 2

ω(2001) = 3

ω(2002) = 4

ω(2003) = 1

ω(54,032,858,972,279) = 3

ω(54,032,858,972,302) = 5

ω(20,802,650,704,327,415) = 5

• a₁(n) - το άθροισμα των διακριτών πρώτων αριθμών που διαιρούν το n, μερικές φορές ονομάζεται sopf(n') Πρότυπο:OEIS. Παραδείγματος χάριν:

a₁(1) = 0

a₁(4) = 2

a₁(20) = 2 + 5 = 7

a₁(27) = 3

a₁(144) = a₁(2⁴ · 3²) = a₁(2⁴) + a₁(3²) = 2 + 3 = 5

a₁(2000) = a₁(2⁴ · 5³) = a₁(2⁴) + a₁(5³) = 2 + 5 = 7

a₁(2001) = 55

a₁(2002) = 33

a₁(2003) = 2003

a₁(54,032,858,972,279) = 1238665

a₁(54,032,858,972,302) = 1780410

a₁(20,802,650,704,327,415) = 1238677

Πολλαπλασιαστικές συναρτήσεις

Από οποιαδήποτε προσθετική συνάρτηση $f(n)$ είναι δυνατόν να δημιουργηθεί μια σχετική πολλαπλασιαστική συνάρτηση $g(n),$ η οποία είναι μια συνάρτηση με την ιδιότητα ότι όποτε $a$ και $b$ είναι συνομήλικοι τότε:

$g(ab)=g(a)\times g(b).$

Ένα τέτοιο παράδειγμα είναι $g(n)=2^{f(n)}.$

Αθροιστικές συναρτήσεις

Δοθείσας μιας προσθετικής συνάρτησης $f$, έστω ότι η αθροιστική της συνάρτηση ορίζεται από τη σχέση ${ℳ}_f(x):=\sum _{n\le x}f(n)$. Ο μέσος όρος της $f$ δίνεται ακριβώς ως εξής

${ℳ}_f(x)=\sum _{p^{\alpha }\le x}f(p^{\alpha })(\lfloor \frac{x}{p^{\alpha }}\rfloor -\lfloor \frac{x}{p^{\alpha +1}}\rfloor ).$

Οι αθροιστικές συναρτήσεις επί του $f$ μπορούν να αναπτυχθούν ως ${ℳ}_f(x)=xE(x)+O(\sqrt{x}\cdot D(x))$ όπου

$\begin{array}{cc}E(x)& =\sum _{p^{\alpha }\le x}f(p^{\alpha })p^{-\alpha }(1-p^{-1})\\ D^2(x)& =\sum _{p^{\alpha }\le x}|f(p^{\alpha }){|}^2{p}^{-\alpha }.\end{array}$

Ο μέσος όρος της συνάρτησης $f^2$ εκφράζεται επίσης από αυτές τις συναρτήσεις ως εξής

${ℳ}_{f^2}(x)=x{E}^2(x)+O(x{D}^2(x)).$

Υπάρχει πάντα μια απόλυτη σταθερά $C_f>0$ τέτοια ώστε για όλους τους φυσικούς αριθμούς $x\ge 1$,

$\sum _{n\le x}|f(n)-E(x){|}^2\le C_f\cdot x{D}^2(x).$

Έστω

$\nu (x;z):=\frac{1}{x}\mathrm{\#}\{n\le x:\frac{f(n)-A(x)}{B(x)}\le z\}.$

Ας υποθέσουμε ότι $f$ είναι μια προσθετική συνάρτηση με $-1\le f(p^{\alpha })=f(p)\le 1$ έτσι ώστε ως $x\to \mathrm{\infty }$,

$B(x)=\sum _{p\le x}{f}^2(p)/p\to \mathrm{\infty }.$

Τότε $\nu (x;z)\sim G(z)$ όπου $G(z)$ είναι η γκαουσιανή συνάρτηση κατανομής

$G(z)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{z}{\int }}{e}^{-t^2/2}dt.$

Παραδείγματα αυτού του αποτελέσματος που σχετίζονται με τη συνάρτηση πρώτων ωμέγα και τους αριθμούς των πρώτων διαιρετών των μετατοπισμένων πρώτων αριθμών περιλαμβάνουν τα ακόλουθα για σταθερό $z\in ℝ$ όπου οι σχέσεις ισχύουν για $x\gg 1$:

$\mathrm{\#}\{n\le x:\omega (n)-\log \log x\le z(\log \log x{)}^{1/2}\}\sim xG(z),$

$\mathrm{\#}\{p\le x:\omega (p+1)-\log \log x\le z(\log \log x{)}^{1/2}\}\sim \pi (x)G(z).$

Δείτε επίσης

• Field Arithmetic
• Πραγματικό προβολικό επίπεδο
• Εσωτερικό γινόμενο
• Φυσικός αριθμός
• Πίνακας (μαθηματικά)
• Τετραγωνικός πίνακας
• Ορίζουσα
• Αντιστρέψιμος πίνακας
• Σχετικά πρώτοι

Εξωτερικοί σύνδεσμοι

• English - Greek Dictionary of Pure and Applied Mathematics Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
• Αγγλοελληνικό Λεξικό Μαθηματικής Ορολογίας - Πανεπιστήμιο Κύπρου
• Matrix Analysis
• Functional Equations on Groups
• Number Theory Arising From Finite Fields: Analytic And Probabilistic Theory
• Additive Number Theory The Classical Bases
• Arithmetic Functions and Integer Products
• Stability of Functional Equations in Several Variables

Δημοσιεύσεις

• Πρότυπο:Cite journal
• Πρότυπο:Cite book
• Πρότυπο:Citation
• Πρότυπο:Cite book
• Πρότυπο:Citation
• Πρότυπο:Citation
• Πρότυπο:Citation
• Πρότυπο:Citation

Παραπομπές

• Janko Bračič, Kolobar aritmetičnih funkcij (Ring of arithmetical functions), (Obzornik mat, fiz. 49 (2002) 4, pp. 97–108) (MSC (2000) 11A25)
• Iwaniec and Kowalski, Analytic number theory, AMS (2004).