Ορθομοναδιαίος πίνακας

Για πίνακες με ορθογωνιότητα στο πεδίο των πραγματικών αριθμών, δείτε ορθογώνιος πίνακας. Για τον περιορισμό στην επιτρεπόμενη εξέλιξη των κβαντικών συστημάτων που εξασφαλίζει ότι το άθροισμα των πιθανοτήτων όλων των πιθανών αποτελεσμάτων κάθε γεγονότος είναι πάντα ίσο με 1, βλέπε Ορθομοναδιαίος.

Στη γραμμική άλγεβρα, ένας αντιστρέψιμος μιγαδικός τετραγωνικός πίνακας Πρότυπο:Mvar είναι Ορθομοναδιαίος αν ο αντίστροφος πίνακας Πρότυπο:Math ισούται με τη συζυγή αντιστροφή του Πρότυπο:Math, δηλαδή αν

$U^{*}U=U{U}^{*}=I,$

όπου I είναι ο ταυτοτικός πίνακας.

Στη φυσική, ιδίως στην κβαντομηχανική, η συζυγής μεταφορά αναφέρεται ως Ερμιτιανή συγγενής ενός πίνακα και συμβολίζεται με σταυρο (†), οπότε η παραπάνω εξίσωση γράφεται

$U^{†}U=U{U}^{†}=I.$

Ένας μιγαδικός πίνακας Πρότυπο:Mvar είναι ειδικός μοναδιαίος αν είναι ορθομοναδιαίος και η ορίζουσα του πίνακα ισούται με Πρότυπο:Math.

Για τους πραγματικούς αριθμούς, το ανάλογο ενός ορθομοναδιαίου πίνακα είναι ένας ορθογώνιος πίνακας. Οι ορθομοναδιαίοι πίνακες έχουν σημαντική σημασία στην κβαντομηχανική επειδή διατηρούν τις νόρμες και, συνεπώς, τα πλάτη πιθανοτήτων.

Ιδιότητες

Για κάθε μοναδιαίο πίνακα Πρότυπο:Mvar πεπερασμένου μεγέθους, ισχύουν τα ακόλουθα:

• Δεδομένων δύο μιγαδικών διανυσμάτων Πρότυπο:Math και Πρότυπο:Math, ο πολλαπλασιασμός με Πρότυπο:Mvar διατηρεί το εσωτερικό γινόμενο τους, δηλαδή, Πρότυπο:Math.
• Πρότυπο:Mvar είναι κανονικός ($U^{*}U=U{U}^{*}$).
• Πρότυπο:Mvar είναι διαγωνοποιήσιμος- δηλαδή, Πρότυπο:Mvar είναι μοναδιαία παρόμοιος με έναν διαγώνιο πίνακα, ως συνέπεια του φασματικού θεωρήματος. Έτσι, ο Πρότυπο:Mvar έχει μια αποσύνθεση της μορφής $U=VD{V}^{*},$ όπου Πρότυπο:Mvar είναι ορθομοναδιαίος, και Πρότυπο:Mvar είναι διαγώνιος και ορθομοναδιαίος.
• $|\det (U)|=1$. Δηλαδή, το $\det (U)$ θα βρίσκεται στον μοναδιαίο κύκλο του μιγαδικού επιπέδου.
• Οι ιδιοχώροι του είναι ορθογώνιοι.
• Πρότυπο:Mvar μπορεί να γραφεί ως Πρότυπο:Math}, όπου Πρότυπο:Mvar υποδηλώνει τον εκθετικό πίνακα, Πρότυπο:Mvar είναι η φανταστική μονάδα και Πρότυπο:Mvar είναι ένας Ερμιτιανός πίνακας.

Για κάθε μη αρνητικό ακέραιος αριθμός Πρότυπο:Math, το σύνολο όλων των Πρότυπο:Math μοναδιαίων πινάκων με πολλαπλασιασμό πινάκων σχηματίζει μια ομάδα, που ονομάζεται ορθομοναδιαία ομάδα Πρότυπο:Math.

Κάθε τετραγωνικός πίνακας με μοναδιαία ευκλείδεια νόρμα είναι ο μέσος όρος δύο ορθομοναδιαίων πινάκων.

Ισοδύναμες συνθήκες

Αν U είναι ένας τετραγωνικός, μιγαδικός πίνακας, τότε οι ακόλουθες συνθήκες είναι ισοδύναμες:

1. $U$ είναι ορθομοναδιαίο.
2. $U^{*}$ είναι ορθομοναδιαίο
3. $U$ είναι αντιστρέψιμος με $U^{-1}=U^{*}$.
4. Οι στήλες του $U$ σχηματίζουν μια ορθοκανονική βάση του ${ℂ}^n$ σε σχέση με το συνηθισμένο εσωτερικό γινόμενο. Με άλλα λόγια, $U^{*}U=I$.
5. Οι γραμμές του $U$ σχηματίζουν μια ορθοκανονική βάση του ${ℂ}^n$ ως προς το συνηθισμένο εσωτερικό γινόμενο. Με άλλα λόγια, $U{U}^{*}=I$.
6. $U$ είναι μια ισομετρία ως προς τη συνήθη νόρμα. Δηλαδή, $\Vert Ux{\Vert }_2=\Vert x{\Vert }_2$ για όλα τα $x\in {ℂ}^n$, όπου $\Vert x{\Vert }_2=\sqrt{\sum _{i=1}^n|x_i{|}^2}$.
7. Ο $U$ είναι ένας κανονικός πίνακας (ισοδύναμα, υπάρχει μια ορθοκανονική βάση που σχηματίζεται από τα ιδιοδιανύσματα του $U$) με ιδιοτιμές που βρίσκονται στον μοναδιαίο κύκλο.

Στοιχειώδεις κατασκευές

Ορθομοναδιαίος πίνακας 2 × 2

Μια γενική έκφραση ενός Πρότυπο:Nobr ορθομοναδιαίου πίνακα είναι

$U=\left[\begin{array}{cc}a& b\\ -e^{i\phi }{b}^{*}& e^{i\phi }{a}^{*}\end{array}\right],{\left|a\right|}^2+{\left|b\right|}^2=1,$

ο οποίος εξαρτάται από 4 πραγματικές παραμέτρους (τη φάση του Πρότυπο:Mvar, τη φάση του Πρότυπο:Mvar, το σχετικό μέγεθος μεταξύ Πρότυπο:Mvar και Πρότυπο:Mvar, και τη γωνία Πρότυπο:Mvar). Η μορφή διαμορφώνεται έτσι ώστε η ορίζουσα ενός τέτοιου πίνακα να είναι

$\det (U)=e^{i\phi }.$

Η υποομάδα αυτών των στοιχείων $U$ with $\det (U)=1$ ονομάζεται ειδική μοναδιαία ομάδα SU(2).

Μεταξύ πολλών εναλλακτικών μορφών, ο πίνακας Πρότυπο:Mvar μπορεί να γραφτεί με αυτή τη μορφή:

$U=e^{i\phi /2}\left[\begin{array}{cc}{e}^{i\alpha }\cos \theta & e^{i\beta }\sin \theta \\ -e^{-i\beta }\sin \theta & e^{-i\alpha }\cos \theta \end{array}\right],$

όπου $e^{i\alpha }\cos \theta =a$ και $e^{i\beta }\sin \theta =b,$ παραπάνω, και οι γωνίες $\phi ,\alpha ,\beta ,\theta$ μπορούν να πάρουν οποιεσδήποτε τιμές.

Εισάγοντας $\alpha =\psi +\delta$ και $\beta =\psi -\delta ,$ έχει την ακόλουθη παραγοντοποίηση:

$U=e^{i\phi /2}\left[\begin{array}{cc}{e}^{i\psi }& 0\\ 0& e^{-i\psi }\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}\cos \theta & \sin \theta \\ -\sin \theta & \cos \theta \end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}{e}^{i\delta }& 0\\ 0& e^{-i\delta }\end{array}\right].$

Η έκφραση αυτή αναδεικνύει τη σχέση μεταξύ των ορθομοναδιαίων πινάκων Πρότυπο:Nobr και των ορθογώνιων πινάκων Πρότυπο:Nobr γωνίας Πρότυπο:Mvar.

Μια άλλη παραγοντοποίηση είναι

$U=\left[\begin{array}{cc}\cos \rho & -\sin \rho \\ \sin \rho & \cos \rho \end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}{e}^{i\xi }& 0\\ 0& e^{i\zeta }\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}\cos \sigma & \sin \sigma \\ -\sin \sigma & \cos \sigma \end{array}\right].$

Πολλές άλλες παραγοντοποιήσεις ενός ορθομοναδιαίου πίνακα σε βασικούς πίνακες είναι δυνατές.

Δείτε επίσης

• Field Arithmetic
• Πραγματικό προβολικό επίπεδο
• Εσωτερικό γινόμενο
• Αντιερμιτιανός πίνακας
• Πίνακας (μαθηματικά)
• Τριγωνικός πίνακας
• Ερμιτιανός πίνακας
• Προβολή (γραμμική άλγεβρα)
• Συζυγής ανάστροφος πίνακας
• Hessenberg matrix at MathWorld.
• High performance algorithms for reduction to condensed (Hessenberg, tridiagonal, bidiagonal) form
• Algorithm overview

Εξωτερικοί σύνδεσμοι

• English - Greek Dictionary of Pure and Applied Mathematics Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
• Αγγλοελληνικό Λεξικό Μαθηματικής Ορολογίας - Πανεπιστήμιο Κύπρου
• Matrix Analysis
• Complex-Valued Matrix Derivatives: With Applications in Signal Processing ...
• Symmetries, Lie Algebras and Representations: A Graduate Course for Physicists
• An Introduction to Computational Physics
• Applications of Unitary Symmetry and Combinatorics
• Unitary Representations and Harmonic Analysis: An Introduction
• Random Matrices

Δημοσιεύσεις

• Πρότυπο:Cite journal
• Πρότυπο:Cite book
• Πρότυπο:Citation
• Πρότυπο:Cite journal
• Πρότυπο:Cite journal
• Πρότυπο:Cite journal
• Πρότυπο:MathWorld
• Πρότυπο:SpringerEOM
• Πρότυπο:Cite web

Παραπομπές

• Janko Bračič, Kolobar aritmetičnih funkcij (Ring of arithmetical functions), (Obzornik mat, fiz. 49 (2002) 4, pp. 97–108) (MSC (2000) 11A25)
• Iwaniec and Kowalski, Analytic number theory, AMS (2004).