Πίνακας Χούρβιτς

Στα μαθηματικά, ένας πίνακας Χούρβιτς^[1], ή πίνακας Ρουθ-Χούρβιτς, στη μηχανική πίνακας σταθερότητας, είναι ένας δομημένος πραγματικός τετραγωνικός πίνακας που κατασκευάζεται με τους συντελεστές ενός πραγματικού πολυωνύμου.

Πίνακας Χούρβιτς και το κριτήριο ευστάθειας Χούρβιτς

Δηλαδή, δεδομένου ενός πραγματικού πολυωνύμου

p (z) = a_{0} z^{n} + a_{1} z^{n - 1} + \dots + a_{n - 1} z + a_{n}

ο $n \times n$ τετραγωνικός πίνακας

H = (\begin{matrix} a_{1} & a_{3} & a_{5} & \dots & \dots & \dots & 0 & 0 & 0 \\ a_{0} & a_{2} & a_{4} & ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ 0 & a_{1} & a_{3} & ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ ⋮ & a_{0} & a_{2} & ⋱ & 0 & ⋮ & ⋮ \\ ⋮ & 0 & a_{1} & ⋱ & a_{n} & ⋮ & ⋮ \\ ⋮ & ⋮ & a_{0} & ⋱ & a_{n - 1} & 0 & ⋮ \\ ⋮ & ⋮ & 0 & a_{n - 2} & a_{n} & ⋮ \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & a_{n - 3} & a_{n - 1} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \dots & \dots & \dots & a_{n - 4} & a_{n - 2} & a_{n} \end{matrix}) .

ονομάζεται πίνακας Χούρβιτς που αντιστοιχεί στο πολυώνυμο $p$ . Το 1895 ο Άντολφ Χούρβιτς^[2] διαπίστωσε ότι ένα πραγματικό πολυώνυμο με $a_{0} > 0$ είναι ευσταθές (δηλαδή όλες οι ρίζες του έχουν αυστηρά αρνητικό πραγματικό μέρος) αν και μόνο αν όλα τα κύρια ελάσσονα του πίνακα $H (p)$ είναι θετικά:

\begin{matrix} Δ_{1} (p) & = | \begin{matrix} a_{1} \end{matrix} | & = a_{1} > 0 \\ Δ_{2} (p) & = | \begin{matrix} a_{1} & a_{3} \\ a_{0} & a_{2} \end{matrix} | & = a_{2} a_{1} - a_{0} a_{3} > 0 \\ Δ_{3} (p) & = | \begin{matrix} a_{1} & a_{3} & a_{5} \\ a_{0} & a_{2} & a_{4} \\ 0 & a_{1} & a_{3} \end{matrix} | & = a_{3} Δ_{2} - a_{1} (a_{1} a_{4} - a_{0} a_{5}) > 0 \end{matrix}

και ούτω καθεξής. Οι ελάσσονες $Δ_{k} (p)$ ονομάζονται ορίζουσες Χούρβιτς^[3]. Αντίστοιχα, αν $a_{0} < 0$ τότε το πολυώνυμο είναι ευσταθές αν και μόνο αν οι κύριοι ελάσσονες έχουν εναλλασσόμενα πρόσημα ξεκινώντας με αρνητικό.

Σταθεροί πίνακες Χούρβιτς

Στη μηχανική και τη θεωρία ευστάθειας, ένας τετραγωνικός πίνακας $A$ ονομάζεται πίνακας Χούρβιτς αν κάθε ιδιοτιμή του $A$ έχει αυστηρά αρνητικό πραγματικό μέρος, δηλαδή,

Re [λ_{i}] < 0

για κάθε ιδιοτιμή $λ_{i}$ . Ο $A$ ονομάζεται επίσης σταθερός πίνακας^[4], διότι τότε η διαφορική εξίσωση

\dot{x} = A x

είναι ασυμπτωτικά σταθερό, δηλαδή $x (t) \to 0$ καθώς $t \to \infty .$

Αν $G (s)$ είναι μια συνάρτηση μεταφοράς (με τιμές πίνακα), τότε η $G$ ονομάζεται Χούρβιτς αν οι πόλοι όλων των στοιχείων της $G$ έχουν αρνητικό πραγματικό μέρος. Ας σημειωθεί ότι δεν είναι απαραίτητο ο $G (s),$ για ένα συγκεκριμένο όρισμα $s,$ να είναι πίνακας Χούρβιτς - δεν χρειάζεται καν να είναι τετραγωνικός. Η σύνδεση είναι ότι αν ο $A$ είναι ένας πίνακας Χούρβιτς , τότε το δυναμικό σύστημα

\dot{x} (t) = A x (t) + B u (t)

y (t) = C x (t) + D u (t)

διαθέτει συνάρτηση μεταφοράς Χούρβιτς.

Κάθε υπερβολικό σταθερό σημείο (ή σημείο ισορροπίας) ενός συνεχούς δυναμικού συστήματος είναι τοπικά ασυμπτωτικά ευσταθές^[5] αν και μόνο αν η Ιακωβιανή του δυναμικού συστήματος είναι ευσταθής κατά Χούρβιτς στο σταθερό σημείο.

Ο πίνακας ευστάθειας Χούρβιτς είναι ένα κρίσιμο μέρος της θεωρίας ελέγχου. Ένα σύστημα είναι ευσταθές αν ο πίνακας ελέγχου του είναι πίνακας Χούρβιτς. Οι αρνητικές πραγματικές συνιστώσες των ιδιοτιμών του πίνακα αντιπροσωπεύουν την αρνητική ανατροφοδότηση. Αντίστοιχα, ένα σύστημα είναι εγγενώς ασταθές εάν οποιαδήποτε από τις ιδιοτιμές έχει θετικές πραγματικές συνιστώσες, που αντιπροσωπεύουν θετική ανατροφοδότηση.

Δείτε επίσης

Field Arithmetic
Πραγματικό προβολικό επίπεδο
Εσωτερικό γινόμενο
Αντιερμιτιανός πίνακας
Πίνακας (μαθηματικά)
Τριγωνικός πίνακας
Ελάσσων (γραμμική άλγεβρα)
Προβολή (γραμμική άλγεβρα)
Ωγκυστέν-Λουί Κωσύ
Δυναμικό σύστημα
Διωνυμικός συντελεστής
High performance algorithms for reduction to condensed (Hessenberg, tridiagonal, bidiagonal) form
Algorithm overview

Εξωτερικοί σύνδεσμοι

Δημοσιεύσεις

Παραπομπές

Πρότυπο:Authority control Πρότυπο:Portal bar

[1] Πρότυπο:Cite web

[2] Πρότυπο:Cite web

[3] Πρότυπο:Cite journal

[4] Πρότυπο:Cite web

[5] Πρότυπο:Cite book

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

Πίνακας Χούρβιτς

Περιεχόμενα