Πίνακας Κάρλεμαν

Στα μαθηματικά, ο πίνακας Κάρλεμαν είναι ένας πίνακας που χρησιμοποιείται για τη μετατροπή της σύνθεσης συναρτήσεων σε πολλαπλασιασμό πινάκων. Χρησιμοποιείται συχνά στην Επαναλαμβανόμενη συνάρτηση για την εύρεση της συνεχούς επαναλαμβανόμενης συνάρτησης η οποία δεν μπορεί να επαναληφθεί μόνο με αναγνώριση προτύπων. Άλλες χρήσεις των πινάκων Κάρλεμαν εμφανίζονται στη θεωρία των συναρτήσεων παραγωγής πιθανοτήτων και των αλυσίδων Μάρκοφ.

Ορισμός

Ο πίνακας Κάρλεμαν μιας απείρως διαφορίσιμης συνάρτησης $f(x)$ ορίζεται ως:

$M[f{]}_{jk}=\frac{1}{k!}{[\frac{d^k}{d{x}^k}(f(x){)}^j]}_{x=0},$

ώστε να ικανοποιείται η εξίσωση (σειρά Τέιλορ):

$(f(x){)}^j=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}M[f{]}_{jk}{x}^k.$

Παραδείγματος χάριν, ο υπολογισμός του $f(x)$ από το

$f(x)=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}M[f{]}_{1,k}{x}^k.$

ισοδυναμεί απλώς με το τετραγωνικό γινόμενο της γραμμής 1 του $M[f]$ με ένα διάνυσμα στήλης ${[1,x,x^2,x^3,...]}^{\tau }$.

Οι καταχωρήσεις του $M[f]$ στην επόμενη σειρά δίνουν τη 2η δύναμη του $f(x)$:

$f(x{)}^2=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}M[f{]}_{2,k}{x}^k,$

και επίσης, προκειμένου να έχουμε τη μηδενική δύναμη του $f(x)$ στο $M[f]$, υιοθετούμε τη σειρά 0 που περιέχει μηδενικά παντού εκτός από την πρώτη θέση, έτσι ώστε

$f(x{)}^0=1=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}M[f{]}_{0,k}{x}^k=1+\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}0\cdot x^k.$

Έτσι, το εσωτερικό γινόμενο του $M[f]$ με το διάνυσμα στήλης ${\left[\begin{array}{c}1,x,x^2,...\end{array}\right]}^T$ δίνει το διάνυσμα στήλης ${[1,f(x),f(x{)}^2,...]}^T$, δηλαδή,

$M[f]\left[\begin{array}{c}1\\ x\\ x^2\\ x^3\\ ⋮\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}1\\ f(x)\\ (f(x){)}^2\\ (f(x){)}^3\\ ⋮\end{array}\right].$

Γενίκευση

Μια γενίκευση του πίνακα Κάρλεμαν μιας συνάρτησης μπορεί να οριστεί γύρω από οποιοδήποτε σημείο, όπως:

$M[f{]}_{x_0}=M_x[x-x_0]M[f]M_x[x+x_0]$

ή $M[f{]}_{x_0}=M[g]$ όπου $g(x)=f(x+x_0)-x_0$. Αυτό επιτρέπει τη συσχέτιση της ισχύος του πίνακα ως εξής:

$(M[f{]}_{x_0}{)}^n=M_x[x-x_0]M[f{]}^n{M}_x[x+x_0]$

Γενική σειρά

Ένας άλλος τρόπος για να το γενικεύσουμε ακόμη περισσότερο είναι να σκεφτούμε μια γενική σειρά με τον ακόλουθο τρόπο:

Έστω $h(x)=\sum _n{c}_n(h)\cdot {\psi }_n(x)$ μια σειρά προσέγγισης της $h(x)$, όπου $\{{\psi }_n(x){\}}_n$ είναι μια βάση του χώρου που περιέχει την $h(x)$.

Υποθέτοντας ότι η $\{{\psi }_n(x){\}}_n$ είναι επίσης μια βάση για την $f(x)$, μπορούμε να ορίσουμε $G[f{]}_{mn}=c_n({\psi }_m\circ f)$, επομένως έχουμε ${\psi }_m\circ f=\sum _n{c}_n({\psi }_m\circ f)\cdot {\psi }_n=\sum _{n}G[f{]}_{mn}\cdot {\psi }_n$, τώρα μπορούμε να αποδείξουμε ότι $G[g\circ f]=G[g]\cdot G[f]$, αν υποθέσουμε ότι $\{{\psi }_n(x){\}}_n$ είναι επίσης βάση για $g(x)$ και $g(f(x))$.

Έστω $g(x)$ τέτοια ώστε ${\psi }_l\circ g=\sum _{m}G[g{]}_{lm}\cdot {\psi }_m$ όπου $G[g{]}_{lm}=c_m({\psi }_l\circ g)$.

τώρα

$\begin{array}{cc}\sum _{n}G[g\circ f{]}_{ln}{\psi }_n={\psi }_l\circ (g\circ f)& =({\psi }_l\circ g)\circ f\\ & =\sum _{m}G[g{]}_{lm}({\psi }_m\circ f)\\ & =\sum _{m}G[g{]}_{lm}\sum _{n}G[f{]}_{mn}{\psi }_n\\ & =\sum _{n,m}G[g{]}_{lm}G[f{]}_{mn}{\psi }_n\\ & =\sum _n(\sum _{m}G[g{]}_{lm}G[f{]}_{mn}){\psi }_n\end{array}$

Συγκρίνοντας τον πρώτο και τον τελευταίο όρο, και από το ότι $\{{\psi }_n(x){\}}_n$ είναι μια βάση για $f(x)$, $g(x)$ και $g(f(x))$ προκύπτει ότι $G[g\circ f]=\sum _{m}G[g{]}_{lm}G[f{]}_{mn}=G[g]\cdot G[f]$

Παραδείγματα

Παραγωγή («Τέιλορ») πίνακας Κάρλεμαν

Αν θέσουμε ${\psi }_n(x)=x^n$ έχουμε τον πίνακα Κάρλεμαν'. διότι
$h(x)=\sum _n{c}_n(h)\cdot {\psi }_n(x)=\sum _n{c}_n(h)\cdot x^n$

τότε γνωρίζουμε ότι ο n-th συντελεστής $c_n(h)$ πρέπει να είναι ο n-th συντελεστής της σειρά Τέιλορ του $h$.

Επομένως $c_n(h)=\frac{1}{n!}{h}^{(n)}(0)$
άρα $G[f{]}_{mn}=c_n({\psi }_m\circ f)=c_n(f(x{)}^m)=\frac{1}{n!}{[\frac{d^n}{d{x}^n}(f(x){)}^m]}_{x=0}$

Ο οποίος είναι ο πίνακας Κάρλεμαν που δόθηκε παραπάνω. (Είναι σημαντικό να σημειωθεί ότι αυτή δεν είναι μια ορθοκανονική βάση)

Πίνακας Κάρλεμαν για ορθοκανονική βάση

Αν $\{e_n(x){\}}_n$ είναι μια ορθοκανονική βάση για ένα χώρο Χίλμπερτ με καθορισμένο εσωτερικό γινόμενο $⟨f,g⟩$, μπορούμε να ορίσουμε ${\psi }_n=e_n$ και $c_n(h)$ θα είναι $⟨h,e_n⟩$. Τότε

$G[f{]}_{mn}=c_n(e_m\circ f)=⟨e_m\circ f,e_n⟩$.

Πίνακας Κάρλεμαν για σειρές Φουριέ

Αν $e_n(x)=e^{inx}$ έχουμε το ανάλογο για τις Σειρές Φουριέ.

Έστω ${\hat{c}}_n$ και $\hat{G}$ αντιπροσωπεύουν τον συντελεστή Κάρλεμαν και τον πίνακα στη βάση Φουριέ. Επειδή η βάση είναι ορθογώνια, έχουμε.

${\hat{c}}_n(h)=⟨h,e_n⟩=\frac{1}{2\pi }\underset{-\pi }{\overset{\pi }{\int }}h(x)\cdot e^{-inx}dx$.

Τότε, λοιπόν, $\hat{G}[f{]}_{mn}=\widehat{c_n}(e_m\circ f)=⟨e_m\circ f,e_n⟩$ που είναι

$\hat{G}[f{]}_{mn}=\frac{1}{2\pi }\underset{-\pi }{\overset{\pi }{\int }}{e}^{imf(x)}\cdot e^{-inx}dx$

Ιδιότητες

Οι πίνακες Κάρλεμαν ικανοποιούν τη θεμελιώδη σχέση

• $M[f\circ g]=M[f]M[g],$

γεγονός που καθιστά τον πίνακα Κάρλεμαν Μ μια (άμεση) αναπαράσταση του $f(x)$. Εδώ ο όρος $f\circ g$ δηλώνει τη σύνθεση των συναρτήσεων $f(g(x))$.

Άλλες ιδιότητες περιλαμβάνουν:

• $M[f^n]=M[f{]}^n$, όπου $f^n$ είναι μια επαναλαμβανόμενη συνάρτηση και

• $M[f^{-1}]=M[f{]}^{-1}$, όπου $f^{-1}$ είναι η αντίστροφη συνάρτηση (εάν ο πίνακας Κάρλεμαν είναι αντιστρέψιμος).

Παραδείγματα

Ο πίνακας Κάρλεμαν μιας σταθεράς είναι:

$M[a]=\left(\begin{array}{cccc}1& 0& 0& \cdots \\ a& 0& 0& \cdots \\ a^2& 0& 0& \cdots \\ ⋮& ⋮& ⋮& \ddots \end{array}\right)$

Ο πίνακας Κάρλεμαν της συνάρτησης ταυτότητας είναι:

$M_x[x]=\left(\begin{array}{cccc}1& 0& 0& \cdots \\ 0& 1& 0& \cdots \\ 0& 0& 1& \cdots \\ ⋮& ⋮& ⋮& \ddots \end{array}\right)$

Ο πίνακας Κάρλεμαν μιας σταθερής πρόσθεσης είναι:

$M_x[a+x]=\left(\begin{array}{cccc}1& 0& 0& \cdots \\ a& 1& 0& \cdots \\ a^2& 2a& 1& \cdots \\ ⋮& ⋮& ⋮& \ddots \end{array}\right)$

Ο πίνακας Κάρλεμαν της συνάρτησης διαδόχου είναι ισοδύναμος με τον διωνυμικό συντελεστή:

$M_x[1+x]=\left(\begin{array}{ccccc}1& 0& 0& 0& \cdots \\ 1& 1& 0& 0& \cdots \\ 1& 2& 1& 0& \cdots \\ 1& 3& 3& 1& \cdots \\ ⋮& ⋮& ⋮& ⋮& \ddots \end{array}\right)$

$M_x[1+x{]}_{jk}=(\genfrac{}{}{0ex}{}{j}{k})$

Ο πίνακας Κάρλεμαν του λογαρίθμου σχετίζεται με τους (προσημασμένους) αριθμούς Στίρλινγκ του πρώτου είδους που κλιμακώνονται με παραγοντικά:

$M_x[\log (1+x)]=\left(\begin{array}{cccccc}1& 0& 0& 0& 0& \cdots \\ 0& 1& -\frac{1}{2}& \frac{1}{3}& -\frac{1}{4}& \cdots \\ 0& 0& 1& -1& \frac{11}{12}& \cdots \\ 0& 0& 0& 1& -\frac{3}{2}& \cdots \\ 0& 0& 0& 0& 1& \cdots \\ ⋮& ⋮& ⋮& ⋮& ⋮& \ddots \end{array}\right)$

$M_x[\log (1+x){]}_{jk}=s(k,j)\frac{j!}{k!}$

Ο πίνακας Κάρλεμαν του λογαρίθμου σχετίζεται με τους (μη προσημασμένους) αριθμούς Στίρλινγκ του πρώτου είδους που κλιμακώνονται με παραγοντικά:

$M_x[-\log (1-x)]=\left(\begin{array}{cccccc}1& 0& 0& 0& 0& \cdots \\ 0& 1& \frac{1}{2}& \frac{1}{3}& \frac{1}{4}& \cdots \\ 0& 0& 1& 1& \frac{11}{12}& \cdots \\ 0& 0& 0& 1& \frac{3}{2}& \cdots \\ 0& 0& 0& 0& 1& \cdots \\ ⋮& ⋮& ⋮& ⋮& ⋮& \ddots \end{array}\right)$

$M_x[-\log (1-x){]}_{jk}=|s(k,j)|\frac{j!}{k!}$

Ο πίνακας Κάρλμαν της εκθετικής συνάρτησης σχετίζεται με τους αριθμούς Στίρλινγκ του δεύτερου είδους που κλιμακώνονται με παραγοντικά:

$M_x[\exp (x)-1]=\left(\begin{array}{cccccc}1& 0& 0& 0& 0& \cdots \\ 0& 1& \frac{1}{2}& \frac{1}{6}& \frac{1}{24}& \cdots \\ 0& 0& 1& 1& \frac{7}{12}& \cdots \\ 0& 0& 0& 1& \frac{3}{2}& \cdots \\ 0& 0& 0& 0& 1& \cdots \\ ⋮& ⋮& ⋮& ⋮& ⋮& \ddots \end{array}\right)$

$M_x[\exp (x)-1{]}_{jk}=S(k,j)\frac{j!}{k!}$

Ο πίνακας Κάρλεμαν των εκθετικών συναρτήσεων είναι:

$M_x[\exp (ax)]=\left(\begin{array}{ccccc}1& 0& 0& 0& \cdots \\ 1& a& \frac{a^2}{2}& \frac{a^3}{6}& \cdots \\ 1& 2a& 2a^2& \frac{4a^3}{3}& \cdots \\ 1& 3a& \frac{9a^2}{2}& \frac{9a^3}{2}& \cdots \\ ⋮& ⋮& ⋮& ⋮& \ddots \end{array}\right)$

$M_x[\exp (ax){]}_{jk}=\frac{(ja{)}^k}{k!}$

Ο πίνακας Κάρλεμαν ενός σταθερού πολλαπλάσιου είναι:

$M_x[cx]=\left(\begin{array}{cccc}1& 0& 0& \cdots \\ 0& c& 0& \cdots \\ 0& 0& c^2& \cdots \\ ⋮& ⋮& ⋮& \ddots \end{array}\right)$

Ο πίνακας Κάρλεμαν μιας γραμμικής συνάρτησης είναι:

$M_x[a+cx]=\left(\begin{array}{cccc}1& 0& 0& \cdots \\ a& c& 0& \cdots \\ a^2& 2ac& c^2& \cdots \\ ⋮& ⋮& ⋮& \ddots \end{array}\right)$

Ο πίνακας Κάρλμαν μιας συνάρτησης $f(x)=\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}{f}_k{x}^k$ είναι:

$M[f]=\left(\begin{array}{cccc}1& 0& 0& \cdots \\ 0& f_1& f_2& \cdots \\ 0& 0& f_1^2& \cdots \\ ⋮& ⋮& ⋮& \ddots \end{array}\right)$

Ο πίνακας Κάρλεμαν μιας συνάρτησης $f(x)=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}{f}_k{x}^k$ είναι:

$M[f]=\left(\begin{array}{cccc}1& 0& 0& \cdots \\ f_0& f_1& f_2& \cdots \\ f_0^2& 2f_0{f}_1& f_1^2+2f_0{f}_2& \cdots \\ ⋮& ⋮& ⋮& \ddots \end{array}\right)$

Σχετικοί πίνακες

Ο πίνακας Μπελ ή ο πίνακας Ζαμποτίνσκι μιας συνάρτησης $f(x)$ ορίζεται ως εξής

$B[f{]}_{jk}=\frac{1}{j!}{[\frac{d^j}{d{x}^j}(f(x){)}^k]}_{x=0},$

ώστε να ικανοποιείται η εξίσωση

$(f(x){)}^k=\sum _{j=0}^{\mathrm{\infty }}B[f{]}_{jk}{x}^j,$

Αυτοί οι πίνακες αναπτύχθηκαν το 1947 από τον Έρι Ζαμποτίνσκι για να αναπαραστήσουν τις στροφές πολυωνύμων. Είναι ο ανάστροφος του πίνακα Κάρλεμαν και ικανοποιεί

$B[f\circ g]=B[g]B[f],$ γεγονός που καθιστά τον πίνακα Μπελ Β μια αντι-αντιπροσώπευση του $f(x)$.

Δημοσιεύσεις

• Πρότυπο:Cite journal
• Πρότυπο:Cite book
• Πρότυπο:Cite journal
• Πρότυπο:Citation
• Πρότυπο:Citation
• Diodorus Siculus, Bibliotheca Historica. Vol. 1–2. Immanel Bekker. Ludwig Dindorf. Friedrich Vogel. in aedibus B. G. Teubneri. Leipzig. 1888–1890. Greek text available at the Perseus Digital Library.
• Gaius Julius Hyginus, Fabulae from The Myths of Hyginus translated and edited by Mary Grant. University of Kansas Publications in Humanistic Studies. Online version at the Topos Text Project.
• Olav Kallenberg; Probabilistic Symmetries and Invariance Principles. Springer -Verlag, New York (2005). 510 pp. ISBN 0-387-25115-4
• Πρότυπο:Cite book

Δείτε επίσης

• Field Arithmetic
• Πραγματικό προβολικό επίπεδο
• Πραγματικός αριθμός
• Αντιερμιτιανός πίνακας
• Μέγιστος κοινός διαιρέτης
• Υπολογιστική βιολογία
• Ελάσσων (γραμμική άλγεβρα)
• Προβολή (γραμμική άλγεβρα)
• Διανυσματικός χώρος
• Παραμετρικές εξισώσεις
• Πολλαπλασιασμός πινάκων
• Επαναλαμβανόμενη συνάρτηση
• Ανάλυση πίνακα σε ιδιάζουσες τιμές
• Αντιστρέψιμος πίνακας
• High performance algorithms for reduction to condensed (Hessenberg, tridiagonal, bidiagonal) form

Εξωτερικοί σύνδεσμοι

• English - Greek Dictionary of Pure and Applied Mathematics Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
• Αγγλοελληνικό Λεξικό Μαθηματικής Ορολογίας - Πανεπιστήμιο Κύπρου
• Matrix calculator
• Matrix Analysis
• Complex-Valued Matrix Derivatives: With Applications in Signal Processing ...
• Exercises of Matrices and Linear Algebra
• Fourier Transforms: Approach to Scientific Principles
• Euclidean Distance Matrices and Their Applications in Rigidity Theory.
• Physics and Combinatorics 2000: Proceedings of the Nagoya 2000 International ...
• Nonnegative Matrices in the Mathematical Sciences.
• More Progresses in Analysis: Proceedings of the 5th International ISAAC ...
• Algebra, Complex Analysis, and Pluripotential Theory: 2 USUZCAMP, Urgench ...
• Lectures on the Combinatorics of Free Probability, Τόμος 13

Παραπομπές

• Πρότυπο:Cite book Online
• R Aldrovandi, Special Matrices of Mathematical Physics: Stochastic, Circulant and Bell Matrices, World Scientific, 2001. (preview)
• R. Aldrovandi, L. P. Freitas, Continuous Iteration of Dynamical Maps, online preprint, 1997.
• P. Gralewicz, K. Kowalski, Continuous time evolution from iterated maps and Carleman linearization, online preprint, 2000.
• K Kowalski and W-H Steeb, Nonlinear Dynamical Systems and Carleman Linearization, World Scientific, 1991. (preview)