Εξωτερική διχοτόμος τριγώνου

Η εξωτερική διχοτόμος $\mathrm{A}{\mathrm{\Delta }}^{\prime }$ της κορυφής $\mathrm{A}$.

Στην γεωμετρία, εξωτερική διχοτόμος γωνίας ενός τριγώνου λέγεται το τμήμα της διχοτόμου της εξωτερικής γωνίας τριγώνου που περιέχεται μεταξύ της κορυφής του τριγώνου και της απέναντι πλευράς.

Ένα τρίγωνο $\mathrm{A}\mathrm{B}\mathrm{\Gamma }$ έχει τρεις εξωτερικές διχοτόμους μία για κάθε κορυφή. Το διπλανό σχήμα δείχνει την εξωτερική διχοτόμο που αντιστοιχεί στην κορυφή $\mathrm{A}$. Οι εξωτερικές διχοτόμοι συνήθως συμβολίζονται με ${\delta }_{{\mathrm{A}}^{\prime }},{\delta }_{{\mathrm{B}}^{\prime }},{\delta }_{{\mathrm{\Gamma }}^{\prime }}$ ή ${{\delta }_{\alpha }}^{\prime },{{\delta }_{\beta }}^{\prime },{{\delta }_{\gamma }}^{\prime }$ αντίστοιχα. Η εξωτερική διχοτόμος ${\delta }_{{\mathrm{A}}^{\prime }}$ είναι κάθετη στην εσωτερική διχοτόμο ${\delta }_{\mathrm{A}}$.Πρότυπο:RpΠρότυπο:RpΠρότυπο:Rp

Οι φορείς των εσωτερικών και εξωτερικών διχοτόμων τέμνονται κάθετα.

Θεώρημα εξωτερικής διχοτόμου

Πρότυπο:Κύριο Το θεώρημα εξωτερικής διχοτόμου λέει ότι σε ένα τρίγωνο $\mathrm{A}\mathrm{B}\mathrm{\Gamma }$ η εξωτερική διχοτόμος $\mathrm{A}{\mathrm{\Delta }}^{\prime }$ ενός τριγώνου $\mathrm{A}\mathrm{B}\mathrm{\Gamma }$ με $\mathrm{A}\mathrm{B}<\mathrm{A}\mathrm{\Gamma }$ ικανοποιείΠρότυπο:R

$\frac{\mathrm{B}{\mathrm{\Delta }}^{\prime }}{\mathrm{\Gamma }{\mathrm{\Delta }}^{\prime }}=\frac{\mathrm{A}\mathrm{B}}{\mathrm{A}\mathrm{\Gamma }}.$

Παράκεντρα τριγώνου

Το παράκεντρο ${\mathrm{J}}_{\mathrm{\Gamma }}$ του τριγώνου $\mathrm{A}\mathrm{B}\mathrm{\Gamma }$.

Σε ένα τρίγωνο $\mathrm{A}\mathrm{B}\mathrm{\Gamma }$ οι εξωτερικές διχοτόμοι ${\delta }_{{\mathrm{A}}^{\prime }},{\delta }_{{\mathrm{B}}^{\prime }}$ και η εσωτερική διχοτόμος ${\delta }_{\mathrm{\Gamma }}$ διέρχονται από το ίδιο σημείο. Το σημείο αυτό είναι κέντρο κύκλου που εφάπτεται εξωτερικά στις τρεις πλευρές του τριγώνου.Πρότυπο:R Ονομάζεται το παράκεντρο ${\mathrm{J}}_{\mathrm{\Gamma }}$ του τριγώνου και ο κύκλος λέγεται παρεγγεγραμμένος. Αντίστοιχα, ορίζονται και τα παράκεντρα ${\mathrm{J}}_{\mathrm{B}}$ και ${\mathrm{J}}_{\mathrm{\Gamma }}$.

Μήκος διχοτόμου

Από το θεώρημα Στιούαρτ προκύπτει ότι τα μήκη των εξωτερικών διχοτόμων δίνονται από τις σχέσεις:Πρότυπο:RΠρότυπο:R

$({\delta }_{{\mathrm{A}}^{\prime }}{)}^2=\beta \gamma \cdot (\frac{{\alpha }^2}{(\beta -\gamma {)}^2}-1)$, $({\delta }_{{\mathrm{B}}^{\prime }}{)}^2=\gamma \alpha \cdot (\frac{{\beta }^2}{(\gamma -\alpha {)}^2}-1)$ και $({\delta }_{{\mathrm{\Gamma }}^{\prime }}{)}^2=\alpha \beta \cdot (\frac{{\gamma }^2}{(\alpha -\beta {)}^2}-1)$.

Άλλες τριγωνομετρικές μορφές για το μήκος των εξωτερικών διχοτόμων δίνονται από τις σχέσειςΠρότυπο:RΠρότυπο:R

${\delta }_{{\mathrm{A}}^{\prime }}=\frac{2\beta \gamma }{|\beta -\gamma |}\cdot \sin \frac{\hat{\mathrm{A}}}{2}$, ${\delta }_{{\mathrm{B}}^{\prime }}=\frac{2\gamma \alpha }{|\gamma -\alpha |}\cdot \sin \frac{\hat{\mathrm{B}}}{2}$ και ${\delta }_{{\mathrm{\Gamma }}^{\prime }}=\frac{2\alpha \beta }{|\alpha -\beta |}\cdot \sin \frac{\hat{\mathrm{\Gamma }}}{2}$.

και επίσης

${\delta }_{{\mathrm{A}}^{\prime }}=\frac{\alpha \cdot \sin \hat{\mathrm{B}}\cdot \sin \hat{\mathrm{\Gamma }}}{\sin \hat{\mathrm{A}}\cdot \sin \frac{\hat{\mathrm{B}}-\hat{\mathrm{\Gamma }}}{2}}$, ${\delta }_{{\mathrm{B}}^{\prime }}=\frac{\beta \cdot \sin \hat{\mathrm{\Gamma }}\cdot \sin \hat{\mathrm{A}}}{\sin \hat{\mathrm{B}}\cdot \sin \frac{\hat{\mathrm{\Gamma }}-\hat{\mathrm{A}}}{2}}$ και ${\delta }_{{\mathrm{\Gamma }}^{\prime }}=\frac{\gamma \cdot \sin \hat{\mathrm{A}}\cdot \sin \hat{\mathrm{B}}}{\sin \hat{\mathrm{\Gamma }}\cdot \sin \frac{\hat{\mathrm{A}}-\hat{\mathrm{B}}}{2}}$.

Δείτε επίσης

• Διχοτόμος γωνίας
• Εσωτερική διχοτόμος τριγώνου