Κάθετες ευθείες

Δύο κάθετες ευθείες $x{x}^{\prime }$ και $y{y}^{\prime }$.

Στην γεωμετρία, δύο ευθείες που τέμνονται λέγονται κάθετες αν στο σημείο τομής σχηματίζουν τέσσερις ορθές γωνίες.

Πιο συγκεκριμένα, οι ευθείες $x{x}^{\prime }$ και $y{y}^{\prime }$ με σημείο τομής $\mathrm{O}$ είναι κάθετες αν $\widehat{x\mathrm{O}y}=90^{\circ }$. Η $x{x}^{\prime }$ λέγεται κάθετος της $y{y}^{\prime }$ στο $\mathrm{O}$ και συμβολίζεται ως $x{x}^{\prime }\perp y{y}^{\prime }$. Πρότυπο:Clear

Ιδιότητες

• Από ένα σημείο $\mathrm{P}$ υπάρχει μοναδική κάθετος σε μία ευθεία $\mathrm{\epsilon }$.
• Αν ${\epsilon }_1\perp {\epsilon }_2$, τότε ${\epsilon }_2\perp {\epsilon }_1$ (συμμετρική ιδιότητα).
• Αν ${\epsilon }_1\perp {\epsilon }_2$ και ${\epsilon }_2\parallel {\epsilon }_3$, τότε ${\epsilon }_1\perp {\epsilon }_3$.
• Αν ${\epsilon }_1\perp {\epsilon }_2$ και ${\epsilon }_2\perp {\epsilon }_3$, τότε ${\epsilon }_1\parallel {\epsilon }_3$.
• Δύο γωνίες που έχουν τις πλευρές κάθετες είναι είτε ίσες είτε παραπληρωματικές.

Κάθετος από σημείο προς ευθεία

Έστω μία ευθεία $\epsilon$ και ένα σημείο $\mathrm{A}$ εξωτερικό αυτής. Το σημείο τομής της καθέτου από το $\mathrm{A}$ στο $\epsilon$ λέγεται ίχνος της καθέτου ή ορθή προβολή (ή απλώς προβολή) του $\mathrm{A}$ στην $\epsilon$.

Κατασκευή

Κατασκευή καθέτου από το σημείο $\mathrm{A}$ στην ευθεία $\epsilon$.

1. Θεωρούμε έναν κύκλο με κέντρο το $\mathrm{A}$ και αρκετά μεγάλη ακτίνα ώστε να τέμνει την ευθεία $\epsilon$ σε δύο σημεία, έστω $\mathrm{B},\mathrm{\Gamma }$.
2. Με την ίδια ακτίνα σχεδιάζουμε δύο κύκλους με κέντρα τα $\mathrm{B}$ και $\mathrm{\Gamma }$.
3. Αυτοί τέμνονται στο $\mathrm{A}$ και σε ένα άλλο σημείο $\mathrm{\Delta }$.
4. Η ευθεία που διέρχεται από το $\mathrm{A}$ και το $\mathrm{\Delta }$ είναι η (μοναδική) κάθετος από το $\mathrm{A}$ στο $\epsilon$. Το σημείο τομής της ${\mathrm{A}}^{\prime }$ με την $\epsilon$ είναι η προβολή του $\mathrm{A}$ στην $\epsilon$.

Αναλυτική γεωμετρία

Κλίσεις κάθετων ευθειών

Δύο ευθείες με εξισώσεις

$y={\lambda }_{1}x+{\beta }_1({\epsilon }_1)$,

και

$y={\lambda }_{2}x+{\beta }_2({\epsilon }_2)$,

είναι κάθετες ανν ${\lambda }_1\cdot {\lambda }_2=-1$.

Εξίσωση κάθετης διερχόμενης από σημείο

Έστω ένα σημείο $\mathrm{P}=(x_0,y_0)$ και μία ευθεία

$y=\lambda x+\beta (\epsilon )$.

Η κάθετη από το $\mathrm{P}$ στην $\epsilon$ είναι

$y=-\frac{1}{\lambda }\cdot (x-x_0)+y_0$.

Ειδικές περιπτώσεις

Προβολή σημείου

Προβολή του σημείου $\mathrm{P}$ στην ευθεία $\epsilon$.

Η προβολή ενός σημείου $\mathrm{P}$ σε μία ευθεία $\epsilon$ είναι το σημείο τομής της κάθετης από το $\mathrm{P}$ στην $\epsilon$ και της $\epsilon$. Πρότυπο:Clear

Μεσοκάθετος

Η μεσοκάθετος $\epsilon$ του ευθυγράμμου τμήματος $\mathrm{A}\mathrm{B}$.

Η μεοσκάθετος ενός ευθυγράμμου τμήματος $\mathrm{A}\mathrm{B}$ είναι η κάθετη ευθεία που διέρχεται από το μέσο του $\mathrm{A}\mathrm{B}$. Έχει την ιδιότητα ότι όλα τα σημεία της ισαπέχουν από τα $\mathrm{A}$ και $\mathrm{B}$. Πρότυπο:Clear

Σε ένα τρίγωνο

Το ύψος ${\upsilon }_{\mathrm{A}}$ του τριγώνου $\mathrm{A}\mathrm{B}\mathrm{\Gamma }$ που αντιστοιχεί στην κορυφή $\mathrm{A}$.

• Σε ένα τρίγωνο, το τμήμα της κάθετης από μία κορυφή του τριγώνου προς την απέναντι πλευρά, ονομάζεται ύψος του τριγώνου.

Οι ευθείες συντρεχουν ανν το εμβαδόν των πράσινων τετραγώνων ισούται με το εμβαδόν των μπλε.

• Το θεώρημα Καρνό δίνει μία αναγκαία και ικανή συνθήκη για να συντρέχουν τρεις ευθείες κάθετες στις πλευρές ενός τριγώνου.

Γενικεύσεις

Το εσωτερικό γινόμενο γενικεύει την έννοια της καθετότητας. Για τον Ευκλείδειο χώρο, ισχύει ότι για $\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}\in {ℝ}^3$,

$\overrightarrow{u}\cdot \overrightarrow{v}=|\overrightarrow{u}|\cdot |\overrightarrow{v}|\cdot \cos \vartheta$,

όπου $\vartheta$ η γωνία μεταξύ των $\overrightarrow{u}$ και $\overrightarrow{v}$. Επομένως, δύο διανύσματα είναι κάθετα ανν $\overrightarrow{u}\cdot \overrightarrow{v}=0$ (καθώς $\cos 90^{\circ }=0$).

Πιο γενικά, σε έναν διανυσματικό χώρο $V$ με εσωτερικό γινόμενο $⟨\cdot ,\cdot ⟩$, δύο διανύσματα $\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}$ είναι κάθετα αν $⟨\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}⟩$.

Δείτε επίσης

• Ευθεία
• Παράλληλες ευθείες
• Ύψος τριγώνου