Αριθμός του Φορτυνἐ

Άλυτο πρόβλημα στα μαθηματικά:

Υπάρχουν σύνθετοι αριθμοί του Φορτυνέ
(εικασία του Φορτυνέ).

Στη θεωρία αριθμών, ένας αριθμός του Φορτυνέ^[1], που οφείλει το όνομά του στον Ρέο Φορτυνέ^[1], είναι ο μικρότερος ακέραιος m > 1 τέτοιος ώστε, για δεδομένο θετικό ακέραιο n, p_n# + m να είναι πρώτος αριθμός, όπου ο πρώτος p_n# είναι το γινόμενο των πρώτων n πρώτων αριθμών.

Παραδείγματος χάριν, για να βρούμε τον έβδομο αριθμό Φορτυνέ, θα πρέπει πρώτα να υπολογίσουμε το γινόμενο των επτά πρώτων πρώτων αριθμών (2, 3, 5, 7, 11, 13 και 17), το οποίο είναι 510510. Προσθέτοντας το 2 σε αυτό δίνει έναν άλλο άρτιο αριθμό, ενώ προσθέτοντας το 3 θα έδινε ένα άλλο πολλαπλάσιο του 3. Ομοίως θα απέκλειε κανείς τους ακέραιους αριθμούς μέχρι το 18. Η πρόσθεση του 19, ωστόσο, δίνει 510529, ο οποίος είναι πρώτος^[2]. Επομένως, το 19 είναι ένας αριθμός Φορτυνέ. Ο αριθμός Φορτυνέ για p_n# είναι πάντα πάνω από το p_n και όλοι οι διαιρέτες του είναι μεγαλύτεροι από το p_n. Αυτό οφείλεται στο γεγονός ότι p_n#, και ως εκ τούτου p_n# + m, διαιρείται με τους πρώτους παράγοντες του m που δεν είναι μεγαλύτεροι από το p_n. Αν υπάρχει σύνθετος αριθμός Φορτυνέ, πρέπει να είναι μεγαλύτερος ή ίσος με p_n+1².

f_{n} = \min {m > 1 | \prod_{i = 1}^{n} p_{i} + m \in ℙ}

.

Οι αριθμοί Φορτυνέ για τους πρώτους πρωταρχικούς έχουν ως εξής:^[3]

3, 5, 7, 13, 23, 17, 19, 23, 37, 61, 67, 61, 71, 47, 107, 59, 61, 109, κτλ. Πρότυπο:OEIS.

Οι Αριθμοί Φορτυνέ ταξινομημένοι σε αριθμητική σειρά με αφαίρεση των αντιγράφων:

3, 5, 7, 13, 17, 19, 23, 37, 47, 59, 61, 67, 71, 79, 89, 101, 103, 107, 109, 127, 151, 157, 163, 167, 191, 197, 199, ... Πρότυπο:OEIS.

Ο Φορτυνέ υπέθεσε ότι κανένας αριθμός Φορτυνέ δεν είναι σύνθετος (η εικασία του Φορτυνέ)^[4]. Ένας πρώτος αριθμός Φορτυνέ είναι ένας αριθμός Φορτυνέ που είναι επίσης πρώτος αριθμός. Από το 2017, όλοι οι γνωστοί αριθμοί Φορτυνέ είναι πρώτοι, ελεγχόμενοι μέχρι n=3000.

Παράδειγμα

Υπολογισμός του 8. Αριθμός Φορτυνέ $f_{8}$ :^[5]
Το γινόμενο των πρώτων 8 πρώτων αριθμών είναι $P_{8} = 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7 \cdot 11 \cdot 13 \cdot 17 \cdot 19 = 9699690$ . Ο επόμενος πρώτος αριθμός μεγαλύτερος κατά τουλάχιστον 2 είναι $p = 9699713$ . Αυτός ο πρώτος αριθμός είναι $p - P_{8} = 9699713 - 9699690 = 23$ μεγαλύτερος από το γινόμενο των πρώτων αριθμών $P_{8}$ . Επομένως είναι $f_{8} = 23$ .

Μικρότεροι αριθμοί Φορτυνέ

Με τον ίδιο τρόπο, ο Πολ Κάρπεντερ ορίζει επίσης τους μικρότερους αριθμούς Φορτυνέ (ή τους λιγότερους μικρούς αριθμούς) ως εξής

l_{n} = \min {m > 1 | \prod_{i = 1}^{n} p_{i} - m \in ℙ}

.

Επομένως, ορίζονται ως η διαφορά μεταξύ του $P_{n}$ (= γινόμενο των πρώτων $n$ πρώτων αριθμών) και του μεγαλύτερου πρώτου αριθμού που είναι τουλάχιστον 2 μικρότερος από τον $P_{n}$ . Δεν είναι επίσης γνωστό για τους αριθμούς αυτούς αν είναι όλοι πρώτοι.

Παραδείγματα

Ο μικρότερος αριθμός Φορτυνέ $l_{1}$ δεν ορίζεται επειδή $P_{1} = 2$ και επομένως δεν υπάρχει πρώτος αριθμός που να είναι τουλάχιστον κατά 2 μικρότερος από τον $P_{1}$ .

Το γινόμενο των πρώτων 9 πρώτων αριθμών είναι

P_{9} = 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7 \cdot 11 \cdot 13 \cdot 17 \cdot 19 \cdot 23 = 223092870

. Ο επόμενος μικρότερος πρώτος αριθμός είναι ο

p = 223092827

. Το γινόμενο του πρώτου αριθμού είναι

P_{9} - p = 223092870 - 223092827 = 43

μεγαλύτερο από τον πρώτο αριθμό

p

. Επομένως,

l_{9} = 43

.

Οι πρώτοι 50 είναι μικρότεροι αριθμοί Φορτυνέ (όπου πρέπει να ξεκινήσετε με $l_{2} = 3, l_{3} = 7, \dots$ ):

3, 7, 11, 13, 17, 29, 23, 43, 41, 73, 59, 47, 89, 67, 73, 107, 89, 101, 127, 97, 83, 89, 97, 251, 131, 113, 151, 263, 251, 223, 179, 389, 281, 151, 197, 173, 239, 233, 191, 223, 223, 293, 593, 293, 457, 227, 311, 373, 257, ... (Πρότυπο:OEIS))

Η ακολουθία των μικρότερων αριθμών Φορτυνέ είναι ταξινομημένη και χωρίς επαναλήψεις:

3, 7, 11, 13, 17, 23, 29, 41, 43, 47, 59, 67, 73, 83, 89, 97, 101, 107, 113, 127, 131, 151, 173, 179, 191, 197, 223, 227, 233, 239, 251, 257, 263, 281, 293, 307, 311, 313, 317, 331, 347, 367, 373, 379, 389, 431, 433, 439, 443, 449, …

Ιδιότητα

Οι πρώτοι 1000 μικρότεροι αριθμοί Φορτυνέ είναι πρώτοι αριθμοί.^[6]

Εικασία

Θεωρείται ότι όλοι οι μικρότεροι αριθμοί Φορτυνέ είναι πρώτοι αριθμοί.^[6]

Εξωτερικοί σύνδεσμοι

Δείτε επίσης

Βιβλιογραφία

Παραπομπές

Πρότυπο:Reflist

Leonard Eugene Dickson: History of the Theory of Numbers. Vol. I: Divisibility and Primality. Chelsea Publishing Company, New York 1966 (MR0245499 – Reprint des Originals der Carnegie Institution of Washington, Washington, D.C., 1919).
Gábor Farkas, Zsófia Juhász: A generalization of Goldbach's conjecture. In: Annales Universitatis Scientiarum Budapestinensis de Rolando Eötvös Nominatae. Sectio Computatorica. Band 46, 2017, S. 39–53 (MR3722662).
Richard Kenneth Guy: Unsolved Problems in Number Theory (= Problem Books in Mathematics). 3. Auflage. Springer, New York 2004, ISBN 978-1-4419-1928-1, doi:10.1007/978-0-387-26677-0 (MR2076335).
Brian H. Mayoh: On the second Goldbach conjecture. In: Nordisk Tidskrift for Informationsbehandling. Band 6, 1966, S. 48–50 (MR0194405).
John O. Kiltinen, Peter B. Young: Goldbach, Lemoine, and a know/don’t know problem. In: Mathematics Magazine. Band 58, 1985, S. 195–203 (MR0801144).
Πρότυπο:Cite book

Πηγές

Πρότυπο:Portal bar Πρότυπο:Authority control

[:0-1] 1,0 ^1,1 Πρότυπο:Cite web

[2] Πρότυπο:Cite web

[3] Πρότυπο:Cite web

[4] Πρότυπο:Cite book

[5] Πρότυπο:Cite web

[OEIS-6] 6,0 ^6,1 Comments zu OEIS A055211

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

Αριθμός του Φορτυνἐ

Περιεχόμενα

Παράδειγμα

Μικρότεροι αριθμοί Φορτυνέ

Παραδείγματα

Ιδιότητα

Εικασία

Εξωτερικοί σύνδεσμοι

Δείτε επίσης

Βιβλιογραφία

Παραπομπές

Πηγές

Μενού πλοήγησης

Αριθμός του Φορτυνἐ

Παράδειγμα

Μικρότεροι αριθμοί Φορτυνέ

Παραδείγματα

Ιδιότητα

Εικασία

Εξωτερικοί σύνδεσμοι

Δείτε επίσης

Βιβλιογραφία

Παραπομπές

Πηγές

Μενού πλοήγησης

Αναζήτηση