Θεώρημα Routh

Στην γεωμετρία, το θεώρημα Routh είναι ένας τύπος για το εμβαδόν του τριγώνου που σχηματίζουν τα σημεία τομής τριών σεβιανών σε ένα τρίγωνο.^[1]

Πιο συγκεκριμένα, σε ένα τρίγωνο $A B Γ$ όπου $A A^{'}, B B^{'}, Γ Γ^{'}$ είναι σεβιανές του, και $Δ, E, Z$ τα σημεία τομής τους, ισχύει ότι

E_{Δ E Z} = \frac{(x y z - 1)^{2}}{(x y + y + 1) (y z + z + 1) (z x + x + 1)} \cdot E_{A B Γ}

,

όπου $\frac{Γ A^{'}}{B A^{'}} = x$ , $\frac{A B^{'}}{Γ B^{'}} = y$ , and $\frac{B Γ^{'}}{A Γ^{'}} = z$ .

Το θεώρημα παίρνει το όνομά του από τον Edward Routh που το ανέφερε στο βιβλίο του.^[2]

Ειδικές περιπτώσεις

(Θεώρημα Τσέβα) Οι τρεις σεβιανές διέρχονται από το ίδιο σημείο ανν $E_{Δ E Z} = 0$ ανν $x y z = 1$ . Η τελευταία συνθήκη είναι ισοδύναμη με

\frac{Γ A^{'}}{B A^{'}} \cdot \frac{A B^{'}}{Γ B^{'}} \cdot \frac{B Γ^{'}}{A Γ^{'}} = 1

,

που είναι η σχέση στο θεώρημα Τσέβα.

(Τρίγωνο Φάινμαν) Σε κάθε τρίγωνο $A B Γ$ όταν $x = y = z = 1 / 2$ , το εμβαδόν του εσωτερικού τριγώνου είναι το $1 / 7$ του αρχικού.^[3]^[4]