Μερική παράγωγος

Γραφική παράσταση της εξίσωσης xx+xy+yy=z με y=1

Στα μαθηματικά, η μερική παράγωγος μιας συνάρτησης πολλών μεταβλητών είναι η παράγωγός της ως προς μία από αυτές τις μεταβλητές, με τις υπόλοιπες να παραμένουν σταθερές (σε αντίθεση με την ολική παράγωγο, στην οποία όλες οι μεταβλητές επιτρέπεται να μεταβάλλονται). Οι μερικές παράγωγοι χρησιμοποιούνται στο διανυσματικό λογισμό και στη διαφορική γεωμετρία.

Η μερική παράγωγος μιας συνάρτησης $f(x,y,\dots )$ ως προς τη μεταβλητή $x$ συμβολίζεται ποικιλοτρόπως με

Μπορεί να θεωρηθεί ως ο ρυθμός μεταβολής της συνάρτησης στην κατεύθυνση $x$.

Μερικές φορές, για Πρότυπο:Nowrap η μερική παράγωγος της $z$ ως προς την $x$ συμβολίζεται ως $\frac{\partial z}{\partial x}.$ Δεδομένου ότι μια μερική παράγωγος έχει γενικά τα ίδια ορίσματα με την αρχική συνάρτηση, η λειτουργική της εξάρτηση μερικές φορές υποδηλώνεται ρητά από τον συμβολισμό, όπως στο:

$f{\text{'}}_x(x,y,\dots ),\frac{\partial f}{\partial x}(x,y,\dots ).$

Το σύμβολο που χρησιμοποιείται για να δηλώσει τις μερικές παραγώγους είναι το ∂. Μια από τις πρώτες γνωστές χρήσεις αυτού του συμβόλου στα μαθηματικά είναι από τον Μαρκήσιο ντε Κοντορσέ από το 1770, ο οποίος το χρησιμοποίησε για τις μερικές διαφορές. Ο σύγχρονος συμβολισμός των μερικών παραγώγων δημιουργήθηκε από τον Αντριέν Μαρί Λεζάντρ (1786), αν και αργότερα τον εγκατέλειψε- ο Καρλ Γκούσταβ Τζέικομπ Τζακόμπι επανέφερε το σύμβολο το 1841.

Ορισμός

Όπως οι συνήθεις παράγωγοι, η μερική παράγωγος ορίζεται ως όριο. Έστω U ένα ανοικτό υποσύνολο του ${ℝ}^n$ και $f:U\to ℝ$ μια συνάρτηση. Η μερική παράγωγος της Πρότυπο:Mvar στο σημείο $𝐚=(a_1,\dots ,a_n)\in U$} ως προς την Πρότυπο:Mvar-th μεταβλητή Πρότυπο:Math ορίζεται ως εξής

$\begin{array}{cc}\frac{\partial }{\partial x_i}f(𝐚)& =\underset{h\to 0}{\lim }\frac{f(a_1,\dots ,a_{i-1},a_i+h,a_{i+1}\dots ,a_n)-f(a_1,\dots ,a_i,\dots ,a_n)}{h}\\ & =\underset{h\to 0}{\lim }\frac{f(𝐚+h{𝐞}_{𝐢})-f(𝐚)}{h}.\end{array}$

Όπου ${𝐞}_{𝐢}$ είναι το μοναδιαίο διάνυσμα της Πρότυπο:Mvar-th μεταβλητής Πρότυπο:Math. Ακόμη και αν όλες οι μερικές παράγωγοι $\partial f/\partial x_i(a)$ υπάρχουν σε ένα δεδομένο σημείο Πρότυπο:Mvar, η συνάρτηση δεν χρειάζεται να είναι συνεχής εκεί. Ωστόσο, αν όλες οι μερικές παράγωγοι υπάρχουν σε μια γειτονιά του Πρότυπο:Mvar και είναι συνεχείς εκεί, τότε η Πρότυπο:Mvar είναι ολικά διαφορίσιμη σε αυτή τη γειτονιά και η ολική παράγωγος είναι συνεχής. Στην περίπτωση αυτή, λέγεται ότι η Πρότυπο:Mvar είναι μια Πρότυπο:Math συνάρτηση. Αυτό μπορεί να χρησιμοποιηθεί για τη γενίκευση για συναρτήσεις με διανυσματική τιμή, Πρότυπο:Nowrap χρησιμοποιώντας προσεκτικά ένα επιχείρημα κατά συνιστώσες.

H μερική παράγωγος $\frac{\partial f}{\partial x}$ μπορεί να θεωρηθεί ως μια άλλη συνάρτηση που ορίζεται στο Πρότυπο:Mvar και μπορεί και πάλι να διαφοροποιηθεί μερικώς. Εάν η κατεύθυνση της παραγώγου είναι Πρότυπο:Em επαναλαμβανόμενη, ονομάζεται μεικτή μερική παράγωγος. Αν όλες οι μικτές μερικές παράγωγοι δεύτερης τάξης είναι συνεχείς σε ένα σημείο (ή σε ένα σύνολο), η Πρότυπο:Mvar ονομάζεται συνάρτηση Πρότυπο:Math σε αυτό το σημείο (ή σε αυτό το σύνολο) - στην περίπτωση αυτή, οι μερικές παράγωγοι μπορούν να ανταλλαγούν με το θεώρημα του Κλαιρό::

$\frac{{\partial }^{2}f}{\partial x_i\partial x_j}=\frac{{\partial }^{2}f}{\partial x_j\partial x_i}.$

Σημείωση

Για τα ακόλουθα παραδείγματα, έστω Πρότυπο:Mvar μια συνάρτηση στα Πρότυπο:Mvar, Πρότυπο:Mvar και Πρότυπο:Mvar.

Μερικές παράγωγοι πρώτης τάξης:

$\frac{\partial f}{\partial x}=f{\text{'}}_x={\partial }_{x}f.$

Μερικές παράγωγοι δεύτερης τάξης:

$\frac{{\partial }^{2}f}{\partial x^2}=f^{\prime }{\text{'}}_{xx}={\partial }_{xx}f=\underset{x}{\overset{2}{\partial }}f.$

Μικτές παράγωγοι δευτέρας τάξη:

$\frac{{\partial }^{i+j+k}f}{\partial x^i\partial y^j\partial z^k}=f^{(i,j,k)}=\underset{x}{\overset{i}{\partial }}\underset{y}{\overset{j}{\partial }}\underset{z}{\overset{k}{\partial }}f.$

Μερικές και μικτές παράγωγοι ανώτερης τάξης:

$\frac{{\partial }^{i+j+k}f}{\partial x^i\partial y^j\partial z^k}=f^{(i,j,k)}=\underset{x}{\overset{i}{\partial }}\underset{y}{\overset{j}{\partial }}\underset{z}{\overset{k}{\partial }}f.$

Όταν πρόκειται για συναρτήσεις πολλαπλών μεταβλητών, ορισμένες από αυτές τις μεταβλητές μπορεί να σχετίζονται μεταξύ τους, επομένως μπορεί να είναι απαραίτητο να διευκρινιστεί ρητά ποιες μεταβλητές διατηρούνται σταθερές για να αποφευχθεί η ασάφεια. Σε τομείς όπως η στατιστική μηχανική, η μερική παράγωγος της f ως προς x, κρατώντας σταθερές τις y και z, εκφράζεται συχνά ως εξής

${\left(\frac{\partial f}{\partial x}\right)}_{y,z}.$

Συνήθως, για λόγους σαφήνειας και απλότητας της συμβολής, η συνάρτηση της μερικής παραγώγου και η τιμή της συνάρτησης σε ένα συγκεκριμένο σημείο συγχέονται με τη συμπερίληψη των ορίων της συνάρτησης όταν χρησιμοποιείται το σύμβολο της μερικής παραγώγου (συμβολισμός Λάιμπνιτς). Έτσι, μια έκφραση όπως

$\frac{\partial f(x,y,z)}{\partial x}$

χρησιμοποιείται για τη συνάρτηση, ενώ

$\frac{\partial f(u,v,w)}{\partial u}$

μπορεί να χρησιμοποιηθεί για την τιμή της συνάρτησης στο σημείο Πρότυπο:Nowrap Ωστόσο, αυτή η σύμβαση καταρρέει όταν θέλουμε να αξιολογήσουμε τη μερική παράγωγο σε ένα σημείο όπως Πρότυπο:Nowrap Σε μια τέτοια περίπτωση, η αξιολόγηση της συνάρτησης πρέπει να εκφραστεί με έναν δύσχρηστο τρόπο ως εξής

$\frac{\partial f(x,y,z)}{\partial x}(17,u+v,v^2)$

ή

${\frac{\partial f(x,y,z)}{\partial x}|}_{(x,y,z)=(17,u+v,v^2)}$

προκειμένου να χρησιμοποιηθεί ο συμβολισμός του Λάιμπνιτς. Έτσι, σε αυτές τις περιπτώσεις, μπορεί να είναι προτιμότερο να χρησιμοποιείται ο συμβολισμός του διαφορικού τελεστή Όιλερ με $D_i$ ως το σύμβολο της μερικής παραγώγου ως προς την Πρότυπο:Mvar-οστή μεταβλητή. Για παράδειγμα, θα γράφαμε $D_{1}f(17,u+v,v^2)$ για το παράδειγμα που περιγράφηκε παραπάνω, ενώ η έκφραση $D_{1}f$ αντιπροσωπεύει τη μερική παράγωγο συνάρτηση ως προς την πρώτη μεταβλητή.

Για μερικές παραγώγους ανώτερης τάξης, η μερική παράγωγος (συνάρτηση) της $D_{i}f$ ως προς την Πρότυπο:Mvar-οστή μεταβλητή συμβολίζεται Πρότυπο:Nowrap Δηλαδή, Πρότυπο:Nowrap έτσι ώστε οι μεταβλητές να αναγράφονται με τη σειρά με την οποία λαμβάνονται οι παράγωγοι, και επομένως, με αντίστροφη σειρά από τον τρόπο με τον οποίο συνήθως συμβολίζεται η σύνθεση των τελεστών. Φυσικά, το θεώρημα του Κλαιρό συνεπάγεται ότι $D_{i,j}=D_{j,i}$ εφόσον ικανοποιούνται συγκριτικά ήπιες συνθήκες κανονικότητας για την Πρότυπο:Mvar.

Κλίση

Ένα σημαντικό παράδειγμα συνάρτησης πολλών μεταβλητών είναι η περίπτωση μιας συνάρτησης βαθμωτής τιμής $f(x_1,\dots ,x_n)$ σε ένα πεδίο στον ευκλείδειο χώρο ${ℝ}^n$ (π.χ. στον ${ℝ}^2$ ή στον Πρότυπο:Nowrap Στην περίπτωση αυτή η f έχει μια μερική παράγωγο $\partial f/\partial x_j$ ως προς κάθε μεταβλητή Πρότυπο:Math. Στο σημείο Πρότυπο:Mvar, αυτές οι μερικές παράγωγοι ορίζουν το διάνυσμα

$\mathrm{\nabla }f(a)=(\frac{\partial f}{\partial x_1}(a),\dots ,\frac{\partial f}{\partial x_n}(a)).$

Αυτό το διάνυσμα ονομάζεται κλίση του Πρότυπο:Mvar στο Πρότυπο:Mvar. Αν το Πρότυπο:Mvar είναι διαφορίσιμο σε κάθε σημείο σε κάποιο πεδίο, τότε η κλίση είναι μια διανυσματική συνάρτηση Πρότυπο:Math που μεταφέρει το σημείο Πρότυπο:Mvar στο διάνυσμα Πρότυπο:Math. Συνεπώς, η κλίση παράγει ένα διανυσματικό πεδίο.

Μια συνήθης κατάχρηση του συμβολισμού είναι ο ορισμός του τελεστή del (Πρότυπο:Math) ως εξής στον τρισδιάστατο ευκλείδειο χώρο

${ℝ}^3$ με μοναδιαία διανύσματα Πρότυπο:Nowrap

$\mathrm{\nabla }=\left[\frac{\partial }{\partial x}\right]\widehat{𝐢}+\left[\frac{\partial }{\partial y}\right]\widehat{𝐣}+\left[\frac{\partial }{\partial z}\right]\widehat{𝐤}$

Ή, γενικότερα, για τον ευκλείδειο χώρο ${ℝ}^n$ με συντεταγμένες $x_1,\dots ,x_n$ και μοναδιαία διανύσματα Πρότυπο:Nowrap

$\mathrm{\nabla }=\sum _{j=1}^n\left[\frac{\partial }{\partial x_j}\right]{\widehat{𝐞}}_j=\left[\frac{\partial }{\partial x_1}\right]{\widehat{𝐞}}_1+\left[\frac{\partial }{\partial x_2}\right]{\widehat{𝐞}}_2+\dots +\left[\frac{\partial }{\partial x_n}\right]{\widehat{𝐞}}_n$

Κατευθυντική παράγωγος

Διάγραμμα περιγράμματος του $f(x,y)=x^2+y^2$, όπου φαίνεται το διάνυσμα της κλίσης με μαύρο χρώμα και το μοναδιαίο διάνυσμα $𝐮$ κλιμακωμένο με την παράγωγο κατεύθυνσης προς την κατεύθυνση του $𝐮$ με πορτοκαλί χρώμα. Το διάνυσμα της κλίσης είναι μεγαλύτερο επειδή η κλίση δείχνει προς την κατεύθυνση του μεγαλύτερου ρυθμού αύξησης μιας συνάρτησης.

Η κατευθυντική παράγωγος μιας κλιμακωτής συνάρτησης

$f(𝐱)=f(x_1,x_2,\dots ,x_n)$

κατά μήκος ενός διανύσματος

$𝐯=(v_1,\dots ,v_n)$

είναι η συνάρτηση ${\mathrm{\nabla }}_{𝐯}f$ που ορίζεται από το όριο

${\mathrm{\nabla }}_{𝐯}f(𝐱)=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{f(𝐱+h𝐯)-f(𝐱)}{h}.$

Ο ορισμός αυτός ισχύει σε ένα ευρύ φάσμα περιπτώσεων, για παράδειγμα όταν η νόρμα ενός διανύσματος (και συνεπώς ενός μοναδιαίου διανύσματος) είναι απροσδιόριστη.

Παράδειγμα

Ας υποθέσουμε ότι Πρότυπο:Mvar είναι συνάρτηση περισσότερων από μία μεταβλητών. Παραδείγματος χάριν,

$z=f(x,y)=x^2+xy+y^2.$

Η γραφική παράσταση αυτής της συνάρτησης ορίζει μια επιφάνεια στον ευκλείδειο χώρο. Σε κάθε σημείο αυτής της επιφάνειας, υπάρχει άπειρος αριθμός εφαπτόμενων ευθειών. Η μερική διαφοροποίηση είναι η πράξη της επιλογής μιας από αυτές τις ευθείες και η εύρεση της κλίσης της. Συνήθως, οι ευθείες που παρουσιάζουν το μεγαλύτερο ενδιαφέρον είναι αυτές που είναι παράλληλες στο επίπεδο Πρότυπο:Mvar και αυτές που είναι παράλληλες στο επίπεδο Πρότυπο:Mvar (οι οποίες προκύπτουν αν κρατήσουμε σταθερό το Πρότυπο:Mvar ή το Πρότυπο:Mvar αντίστοιχα).

Για να βρούμε την κλίση της ευθείας που εφάπτεται στη συνάρτηση στο Πρότυπο:Math και είναι παράλληλη στο επίπεδο Πρότυπο:Mvar, θεωρούμε το Πρότυπο:Mvar ως σταθερά. Η γραφική παράσταση και το επίπεδο αυτό φαίνονται στα δεξιά. Παρακάτω, βλέπουμε πώς φαίνεται η συνάρτηση στο επίπεδο Πρότυπο:Math. Βρίσκοντας την παράγωγο της εξίσωσης υποθέτοντας ότι η Πρότυπο:Mvar είναι σταθερά, βρίσκουμε ότι η κλίση της Πρότυπο:Mvar στο σημείο Πρότυπο:Math είναι:

$\frac{\partial z}{\partial x}=2x+y.$

Έτσι στο Πρότυπο:Math, με αντικατάσταση, η κλίση είναι Πρότυπο:Math. Επομένως,

$\frac{\partial z}{\partial x}=3$

στο σημείο Πρότυπο:Math. Δηλαδή, η μερική παράγωγος της Πρότυπο:Mvar ως προς Πρότυπο:Mvar στο σημείο Πρότυπο:Math είναι Πρότυπο:Math, όπως φαίνεται στο γράφημα.

Η συνάρτηση Πρότυπο:Mvar μπορεί να επανερμηνευτεί ως μια οικογένεια συναρτήσεων μιας μεταβλητής που αναπροσαρμόζεται από τις άλλες μεταβλητές:

$f(x,y)=f_y(x)=x^2+xy+y^2.$

Με άλλα λόγια, κάθε τιμή της Πρότυπο:Mvar ορίζει μια συνάρτηση, που συμβολίζεται με Πρότυπο:Math, η οποία είναι συνάρτηση μιας μεταβλητής Πρότυπο:Mvar. That is,

$f_y(x)=x^2+xy+y^2.$

Στην παρούσα ενότητα ο συμβολισμός με δείκτη Πρότυπο:Math δηλώνει μια συνάρτηση που εξαρτάται από μια σταθερή τιμή του Πρότυπο:Mvar και όχι μια μερική παράγωγο.

Μόλις επιλεγεί μια τιμή του Πρότυπο:Mvar, π.χ. Πρότυπο:Mvar, τότε η Πρότυπο:Math καθορίζει μια συνάρτηση Πρότυπο:Math η οποία παρακολουθεί μια καμπύλη Πρότυπο:Math στο επίπεδο Πρότυπο:Mvar:

$f_a(x)=x^2+ax+a^2.$

Σε αυτή την έκφραση, Πρότυπο:Mvar είναι μια Πρότυπο:Em, όχι μια Πρότυπο:Em, οπότε Πρότυπο:Math είναι μια συνάρτηση μόνο μιας πραγματικής μεταβλητής, που είναι η Πρότυπο:Mvar. Συνεπώς, ισχύει ο ορισμός της παραγώγου για συνάρτηση μιας μεταβλητής:

${f_a}^{\prime }(x)=2x+a.$

Η παραπάνω διαδικασία μπορεί να εκτελεστεί για οποιαδήποτε επιλογή του Πρότυπο:Mvar. Η συναρμολόγηση των παραγώγων σε μια συνάρτηση δίνει μια συνάρτηση που περιγράφει τη μεταβολή της Πρότυπο:Mvar στην κατεύθυνση Πρότυπο:Mvar:

$\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)=2x+y.$

Πρόκειται για τη μερική παράγωγο της Πρότυπο:Mvar ως προς Πρότυπο:Mvar. Εδώ το «Πρότυπο:Mvar» είναι ένα στρογγυλεμένο «d» που ονομάζεται «σύμβολο μερικής παραγώγου»- για να διακρίνεται από το γράμμα «d», το «Πρότυπο:Mvar» μερικές φορές προφέρεται «partial».

Μερικές παράγωγοι ανώτερης τάξης

Οι μερικές παράγωγοι δεύτερης και ανώτερης τάξης ορίζονται κατ' αναλογία με τις παραγώγους ανώτερης τάξης των μονοσήμαντων συναρτήσεων. Για τη συνάρτηση $f(x,y,...)$ η «δική της» δεύτερη μερική παράγωγος ως προς Πρότυπο:Mvar είναι απλώς η μερική παράγωγος της μερικής παραγώγου (και οι δύο ως προς Πρότυπο:Mvar):Πρότυπο:Rp

$\frac{{\partial }^{2}f}{\partial x^2}\equiv \partial \frac{\partial f/\partial x}{\partial x}\equiv \frac{\partial f_x}{\partial x}\equiv f_{xx}.$

Η διασταυρούμενη μερική παράγωγος ως προς Πρότυπο:Mvar και Πρότυπο:Mvar προκύπτει από τη λήψη της μερικής παραγώγου του Πρότυπο:Mvar ως προς Πρότυπο:Mvar και, στη συνέχεια, από τη λήψη της μερικής παραγώγου του αποτελέσματος ως προς Πρότυπο:Mvar, ώστε να προκύψει

$\frac{{\partial }^{2}f}{\partial y\partial x}\equiv \partial \frac{\partial f/\partial x}{\partial y}\equiv \frac{\partial f_x}{\partial y}\equiv f_{xy}.$

Το θεώρημα του Σβαρτς δηλώνει ότι αν οι δεύτερες παράγωγοι είναι συνεχείς, η έκφραση για τη διασταυρούμενη μερική παράγωγο δεν επηρεάζεται από το ποια μεταβλητή λαμβάνεται πρώτη ως προς τη μερική παράγωγο και ποια ως προς τη δεύτερη. Δηλαδή: Η παράλληλη παράγωγος που προκύπτει από τη δεύτερη παράγωγο είναι η ακόλουθη,

$\frac{{\partial }^{2}f}{\partial x\partial y}=\frac{{\partial }^{2}f}{\partial y\partial x}$

ή ισοδύναμα $f_{yx}=f_{xy}.$

Οι ίδιες και οι διασταυρούμενες μερικές παράγωγοι εμφανίζονται στον πίνακα Εσιάν, ο οποίος χρησιμοποιείται στις συνθήκες δεύτερης τάξης σε προβλήματα βελτιστοποίησης. Οι ανώτερης τάξης μερικές παράγωγοι μπορούν να ληφθούν με διαδοχική διαφοροποίηση

Ανάλογο αντιπαράγωγο

Υπάρχει μια έννοια για τις μερικές παραγώγους που είναι ανάλογη με τις αντιπαραγωγές για τις κανονικές παραγώγους. Δεδομένης μιας μερικής παραγώγου, επιτρέπει τη μερική ανάκτηση της αρχικής συνάρτησης.

Ας θεωρήσουμε το παράδειγμα της

$\frac{\partial z}{\partial x}=2x+y.$

Το λεγόμενο μερικό ολοκλήρωμα μπορεί να ληφθεί σε σχέση με Πρότυπο:Mvar (θεωρώντας το Πρότυπο:Mvar ως σταθερό, κατά τρόπο παρόμοιο με τη μερική διαφοροποίηση):

$z=\int \frac{\partial z}{\partial x}dx=x^2+xy+g(y).$

Εδώ, η σταθερά ολοκλήρωσης δεν είναι πλέον μια σταθερά, αλλά μια συνάρτηση όλων των μεταβλητών της αρχικής συνάρτησης εκτός από Πρότυπο:Mvar. Ο λόγος γι' αυτό είναι ότι όλες οι άλλες μεταβλητές αντιμετωπίζονται ως σταθερές κατά τη λήψη της μερικής παραγώγου, οπότε οποιαδήποτε συνάρτηση που δεν περιλαμβάνει την Πρότυπο:Mvar θα εξαφανιστεί κατά τη λήψη της μερικής παραγώγου, και πρέπει να το λάβουμε υπόψη αυτό όταν παίρνουμε την αντιπαράγωγο. Ο πιο γενικός τρόπος για να το αναπαραστήσουμε αυτό είναι να έχουμε τη σταθερά να αντιπροσωπεύει μια άγνωστη συνάρτηση όλων των άλλων μεταβλητών.

Έτσι, το σύνολο των συναρτήσεων Πρότυπο:Nowrap όπου Πρότυπο:Mvar είναι οποιαδήποτε συνάρτηση με ένα όργανο, αντιπροσωπεύει ολόκληρο το σύνολο των συναρτήσεων στις μεταβλητές Πρότυπο:Math που θα μπορούσαν να παράγουν την Πρότυπο:Mvar-μερική παράγωγο Πρότυπο:Nowrap

Εάν όλες οι μερικές παράγωγοι μιας συνάρτησης είναι γνωστές (για παράδειγμα, με την κλίση), τότε οι αντιπαράγωγοι μπορούν να αντιστοιχηθούν μέσω της παραπάνω διαδικασίας για την ανακατασκευή της αρχικής συνάρτησης μέχρι μια σταθερά. Ωστόσο, σε αντίθεση με την περίπτωση μίας μεταβλητής, δεν μπορεί κάθε σύνολο συναρτήσεων να είναι το σύνολο όλων των (πρώτων) μερικών παραγώγων μίας μόνο συνάρτησης. Με άλλα λόγια, δεν είναι κάθε διανυσματικό πεδίο συντηρητικό.

Εφαρμογές

Ο όγκος ενός κώνου εξαρτάται από το ύψος και την ακτίνα

Γεωμετρία

Ο όγκος Πρότυπο:Mvar ενός κώνου εξαρτάται από το ύψος Πρότυπο:Mvar και την ακτίνα Πρότυπο:Mvar του κώνου σύμφωνα με τον τύπο

$V(r,h)=\frac{\pi r^{2}h}{3}.$

Η μερική παράγωγος της Πρότυπο:Mvar ως προς Πρότυπο:Mvar είναι

$\frac{\partial V}{\partial r}=\frac{2\pi rh}{3},$

η οποία αντιπροσωπεύει τον ρυθμό με τον οποίο μεταβάλλεται ο όγκος ενός κώνου αν μεταβάλλεται η ακτίνα του και διατηρείται σταθερό το ύψος του. Η μερική παράγωγος ως προς Πρότυπο:Mvar ισούται με Πρότυπο:Nowrap η οποία αντιπροσωπεύει τον ρυθμό με τον οποίο μεταβάλλεται ο όγκος αν μεταβάλλεται το ύψος του και η ακτίνα του διατηρείται σταθερή.

Αντίθετα, η συνολική παράγωγος της Πρότυπο:Mvar ως προς Πρότυπο:Mvar και Πρότυπο:Mvar είναι αντίστοιχα

$\begin{array}{cc}\frac{dV}{dr}& =\stackrel{\frac{\partial V}{\partial r}}{\overbrace{\frac{2\pi rh}{3}}}+\stackrel{\frac{\partial V}{\partial h}}{\overbrace{\frac{\pi r^2}{3}}}\frac{dh}{dr},\\ \frac{dV}{dh}& =\stackrel{\frac{\partial V}{\partial h}}{\overbrace{\frac{\pi r^2}{3}}}+\stackrel{\frac{\partial V}{\partial r}}{\overbrace{\frac{2\pi rh}{3}}}\frac{dr}{dh}.\end{array}$

Η διαφορά μεταξύ της ολικής και της μερικής παραγώγου είναι η εξάλειψη των έμμεσων εξαρτήσεων μεταξύ των μεταβλητών στις μερικές παραγώγους.

Αν (για κάποιο αυθαίρετο λόγο) οι αναλογίες του κώνου πρέπει να παραμείνουν ίδιες και το ύψος και η ακτίνα βρίσκονται σε σταθερή αναλογία Πρότυπο:Mvar,

$k=\frac{h}{r}=\frac{dh}{dr}.$

Αυτό δίνει τη συνολική παράγωγο ως προς Πρότυπο:Mvar,

$\frac{dV}{dr}=\frac{2\pi rh}{3}+\frac{\pi r^2}{3}k,$

το οποίο απλοποιείται σε

$\frac{dV}{dr}=k\pi r^2,$

Ομοίως, η συνολική παράγωγος ως προς Πρότυπο:Mvar είναι

$\frac{dV}{dh}=\pi r^2.$

Η συνολική παράγωγος ως προς Πρότυπο:Em Πρότυπο:Mvar και Πρότυπο:Mvar του όγκου που προορίζεται ως κλιμακωτή συνάρτηση αυτών των δύο μεταβλητών δίνεται από το διάνυσμα κλίσης

$\mathrm{\nabla }V=(\frac{\partial V}{\partial r},\frac{\partial V}{\partial h})=(\frac{2}{3}\pi rh,\frac{1}{3}\pi r^2).$

Βελτιστοποίηση

Οι μερικές παράγωγοι εμφανίζονται σε κάθε πρόβλημα βελτιστοποίησης με βάση τον λογισμό με περισσότερες από μία μεταβλητές επιλογής. Επί παραδείγματι, στα οικονομικά μια επιχείρηση μπορεί να επιθυμεί να μεγιστοποιήσει το κέρδος Πρότυπο:Math σε σχέση με την επιλογή των ποσοτήτων Πρότυπο:Mvar και Πρότυπο:Mvar δύο διαφορετικών τύπων παραγωγής. Οι συνθήκες πρώτης τάξης για αυτή τη βελτιστοποίηση είναι Πρότυπο:Math. Δεδομένου ότι και οι δύο μερικές παράγωγοι Πρότυπο:Math και Πρότυπο:Math θα είναι γενικά οι ίδιες συναρτήσεις και των δύο ορίωνΠρότυπο:Mvar και Πρότυπο:Mvar, αυτές οι δύο συνθήκες πρώτης τάξης σχηματίζουν ένα σύστημα δύο εξισώσεων σε δύο αγνώστους.

Θερμοδυναμική, κβαντομηχανική και μαθηματική φυσική

Οι μερικές παράγωγοι εμφανίζονται σε θερμοδυναμικές εξισώσεις όπως η εξίσωση Γκιμπς-Ντουέμ, στην κβαντομηχανική όπως η κυματική εξίσωση Σρέντινγκερ, καθώς και σε άλλες εξισώσεις της μαθηματικής φυσικής. Οι μεταβλητές που διατηρούνται σταθερές στις μερικές παραγώγους εδώ μπορεί να είναι λόγοι απλών μεταβλητών όπως τα μοριακά κλάσματα Πρότυπο:Math στο ακόλουθο παράδειγμα που αφορά τις ενέργειες Γκιμπς σε ένα τριμερές σύστημα μίγματος:

$\overline{G_2}=G+(1-x_2){\left(\frac{\partial G}{\partial x_2}\right)}_{\frac{x_1}{x_3}}$

Η έκφραση των μοριακών κλασμάτων ενός συστατικού ως συναρτήσεις των μοριακών κλασμάτων άλλων συστατικών και των δυαδικών μοριακών αναλογιών:

$\begin{array}{cc}{x}_1& =\frac{1-x_2}{1+\frac{x_3}{x_1}}\\ x_3& =\frac{1-x_2}{1+\frac{x_1}{x_3}}\end{array}$

Τα διαφορικά πηλίκα μπορούν να σχηματιστούν σε σταθερές αναλογίες όπως αυτές που προαναφέρθηκαν:

$\begin{array}{cc}{\left(\frac{\partial x_1}{\partial x_2}\right)}_{\frac{x_1}{x_3}}& =-\frac{x_1}{1-x_2}\\ {\left(\frac{\partial x_3}{\partial x_2}\right)}_{\frac{x_1}{x_3}}& =-\frac{x_3}{1-x_2}\end{array}$

Οι λόγοι X, Y, Z των μοριακών κλασμάτων μπορούν να γραφούν για τριμερή και πολυμερή συστήματα:

$\begin{array}{cc}X& =\frac{x_3}{x_1+x_3}\\ Y& =\frac{x_3}{x_2+x_3}\\ Z& =\frac{x_2}{x_1+x_2}\end{array}$

η οποία μπορεί να χρησιμοποιηθεί για την επίλυση μερικών διαφορικών εξισώσεων όπως:

${\left(\frac{\partial {\mu }_2}{\partial n_1}\right)}_{n_2,n_3}={\left(\frac{\partial {\mu }_1}{\partial n_2}\right)}_{n_1,n_3}$

Αυτή η ισότητα μπορεί να αναδιαταχθεί ώστε να έχει διαφορικό πηλίκο των μοριακών κλασμάτων στη μία πλευρά.

Αλλαγή μεγέθους εικόνας

Οι μερικές παράγωγοι είναι το κλειδί για τους αλγορίθμους αλλαγής μεγέθους εικόνας με επίγνωση του στόχου. Οι αλγόριθμοι αυτοί, ευρύτερα γνωστοί ως σμίλευση ραφών, απαιτούν την ανάθεση σε κάθε εικονοστοιχείο μιας εικόνας μιας αριθμητικής «ενέργειας» που περιγράφει τη διαφορετικότητά τους σε σχέση με ορθογώνια γειτονικά εικονοστοιχεία. Στη συνέχεια, ο αλγόριθμος αφαιρεί προοδευτικά τις γραμμές ή τις στήλες με τη χαμηλότερη ενέργεια. Ο τύπος που καθορίζεται για τον προσδιορισμό της ενέργειας ενός εικονοστοιχείου (μέγεθος της κλίσης σε ένα εικονοστοιχείο) εξαρτάται σε μεγάλο βαθμό από τις δομές των μερικών παραγώγων.

Οικονομικά

Οι μερικές παραγώγους παίζουν σημαντικό ρόλο στα οικονομικά, όπου οι περισσότερες συναρτήσεις που περιγράφουν την οικονομική συμπεριφορά θεωρούν ότι η συμπεριφορά εξαρτάται από περισσότερες από μία μεταβλητές. Παραδείγματος χάριν, μια κοινωνική συνάρτηση κατανάλωσης μπορεί να περιγράφει το ποσό που δαπανάται για καταναλωτικά αγαθά ως εξαρτώμενο τόσο από το εισόδημα όσο και από τον πλούτο- η οριακή ροπή προς κατανάλωση είναι τότε η μερική παράγωγος της συνάρτησης κατανάλωσης ως προς το εισόδημα.

Εξωτερικοί σύνδεσμοι

• English - Greek Dictionary of Pure and Applied Mathematics Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
• Αγγλοελληνικό Λεξικό Μαθηματικής Ορολογίας - Πανεπιστήμιο Κύπρου
• Ευκλείδεια Γεωμετρία - Πανελλήνιο Σχολικό Δίκτυο
• Θεωρία ομάδων και Λι αλγεβρών -Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
• Θεωρία Αριθμών και Εφαρμογές
• Υπολογιστική Θεωρία Αριθμών
• Καμπυλότητες και γεωμετρία του Riemann σε διαφορίσιμες πολλαπλότητες Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
• Μέθοδοι μηχανικής μάθησης βασισμένες σε έλεγχο μονοτροπικότητας Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
• Παράμετροι και Στατιστικά. Διωνυμική και Κανονική Κατανομή

Δείτε επίσης

• Απαγορευτική αρχή του Πάουλι
• Κατανομή t-Student
• Κανονική κατανομή
• Αλγεβρική θεωρία αριθμών
• Διαφορική γεωμετρία
• Άρθουρ Στάνλεϋ Έντινγκτον
• Θεωρία αναπαραστάσεων
• Σουμπραμανιάν Τσαντρασεκάρ
• Ευκλείδειος χώρος
• Ένα προς ένα
• Σουμπραμανιάν Τσαντρασεκάρ
• Εφαρμοσμένα μαθηματικά
• Προβολικός χώρος
• Διακριτός μετασχηματισμός Φουριέ
• Θεμελιώδες θεώρημα αριθμητικής
• Αλγεβρική γεωμετρία
• Μιγαδικός αριθμός
• Άρθουρ Στάνλεϋ Έντινγκτον
• Τυπική απόκλιση

Βιβλιογραφία

• Πρότυπο:Cite book
• Πρότυπο:Cite book
• Πρότυπο:Cite book
• Πρότυπο:Cite book
• Πρότυπο:Cite book
• Πρότυπο:Cite book
• Πρότυπο:Cite book
• Πρότυπο:Cite book
• Πρότυπο:Cite book
• Πρότυπο:Cite book
• Πρότυπο:Cite book
• Πρότυπο:Cite book

Παραπομπές

• Πρότυπο:Cite book
• Πρότυπο:Cite book
• Πρότυπο:Cite book
• Πρότυπο:Cite book
• Πρότυπο:Cite book
• Πρότυπο:Cite book
• Πρότυπο:Cite book
• Πρότυπο:Cite journal [1] (15 pages)
• Πρότυπο:Cite journal
• Πρότυπο:Cite book
• Πρότυπο:Cite journal
• Πρότυπο:Cite journal
• Πρότυπο:Cite book Ch. 1–6 of 2013 edition

Πηγές

• Πρότυπο:Citation
• Πρότυπο:Citation
• Πρότυπο:Citation
• Πρότυπο:Cite book
• Πρότυπο:Cite book
• Πρότυπο:Citation
• Πρότυπο:Citation

Πρότυπο:Portal bar Πρότυπο:Authority control ]