Τριγωνομετρικό ολοκλήρωμα

Πρότυπο:Anchor Συνημιτονικό ολοκλήρωμα στο μιγαδικό επίπεδο. Ας σημειωθεί η αποκοπή του κλάδου κατά μήκος του αρνητικού πραγματικού άξονα.

Στα μαθηματικά, τα τριγωνομετρικά ολοκληρώματα^[1]^[2] είναι μια οικογένεια μη στοιχειωδών ολοκληρωμάτων που περιλαμβάνουν τριγωνομετρικές συναρτήσεις.

Hμιτονικό ολοκλήρωμα

Οι διαφορετικοί ορισμοί του ημιτονικού ολοκληρώματος είναι^[3]

Si (x) = \int_{0}^{x} \frac{\sin t}{t} d t

si (x) = - \int_{x}^{\infty} \frac{\sin t}{t} d t .

Ας σημειωθεί ότι το ολοκλήρωμα $\frac{\sin (t)}{t}$ είναι η συνάρτηση sinc, καθώς και η μηδενική σφαιρική συνάρτηση Μπέσελ. Δεδομένου ότι η Πρότυπο:Math είναι μια άρτια ολόκληρη συνάρτηση (ολομορφική σε ολόκληρο το μιγαδικό επίπεδο), η Πρότυπο:Math είναι ολόκληρη, περιττή και το ολοκλήρωμα στον ορισμό της μπορεί να ληφθεί κατά μήκος οποιασδήποτε διαδρομής που συνδέει τα ακραία σημεία.

Εξ ορισμού, Πρότυπο:Math είναι η αντιπαράγωγος της Πρότυπο:Math της οποίας η τιμή είναι μηδέν στο Πρότυπο:Math και Πρότυπο:Math είναι η αντιπαράγωγος της οποίας η τιμή είναι μηδέν στο Πρότυπο:Math. Η διαφορά τους δίνεται από το ολοκλήρωμα του Ντίριχλετ,

Si (x) - si (x) = \int_{0}^{\infty} \frac{\sin t}{t} d t = \frac{π}{2} or Si (x) = \frac{π}{2} + si (x) .

Στην επεξεργασία σήματος, οι ταλαντώσεις του ημιτονικού ολοκληρώματος προκαλούν υπερύψωση και τετελεσμένα δακτυλίωσης όταν χρησιμοποιείται το φίλτρο sinc και δακτυλίωση στο πεδίο της συχνότητας εάν χρησιμοποιείται ένα αποκομμένο φίλτρο sinc ως χαμηλοπερατό φίλτρο.

Σχετικό είναι το φαινόμενο Γκιμπς: Εάν το ημιτονοειδές ολοκλήρωμα θεωρηθεί ως συνέλιξη της συνάρτησης sinc με τη βηματική συνάρτηση Χέβισαϊντ (Heaviside), αυτό αντιστοιχεί στην αποκοπή της σειράς Φουριέ, η οποία είναι η αιτία του φαινομένου Γκιμπς.

Συνημιτονικό ολοκλήρωμα

Οι διαφορετικοί ορισμοί του συνημιτονικού ολοκληρώματος είναι οι εξής

Cin (x) \equiv \int_{0}^{x} \frac{1 - \cos t}{t} d t .

H Πρότυπο:Math είναι μια άρτια, ακέραιη συνάρτηση. Για το λόγο αυτό, ορισμένα κείμενα ορίζουν την Πρότυπο:Math ως την πρωταρχική συνάρτηση και εξάγουν την Πρότυπο:Math ως προς την Πρότυπο:Math.

Ci (x) \equiv - \int_{x}^{\infty} \frac{\cos t}{t} d t

= γ + \ln x - \int_{0}^{x} \frac{1 - \cos t}{t} d t

= γ + \ln x - Cin x

για $| Arg (x) | < π,$ όπου Πρότυπο:Math είναι η σταθερά Όιλερ-Μασκερόνι. Ορισμένα κείμενα χρησιμοποιούν το Πρότυπο:Math αντί του Πρότυπο:Math. Ο περιορισμός στην Πρότυπο:Math αποσκοπεί στην αποφυγή μιας ασυνέχειας (που φαίνεται ως η πορτοκαλί έναντι της μπλε περιοχής στο αριστερό μισό του παραπάνω διαγράμματος) που προκύπτει λόγω μιας αποκοπής κλάδου στην τυπική συνάρτηση λογαρίθμου (Πρότυπο:Math).

Πρότυπο:Math είναι η αντιπαράγωγος από Πρότυπο:Math (που εξαφανίζεται καθώς $x \to \infty$ ). Οι δύο ορισμοί συνδέονται με

Ci (x) = γ + \ln x - Cin (x) .

Υπερβολικό ημιτονικό ολοκλήρωμα

Το υπερβολικό ημιτονικό ολοκλήρωμα ορίζεται ως εξής

$Chi (x) = γ + \ln x + \int_{0}^{x} \frac{\cosh t - 1}{t} d t for | Arg (x) | < π,$

όπου $γ$ είναι η σταθερά Όιλερ-Μαστσερόνι. Έχει τη σειρά επέκτασης

Chi (x) = γ + \ln (x) + \frac{x^{2}}{4} + \frac{x^{4}}{96} + \frac{x^{6}}{4320} + \frac{x^{8}}{322560} + \frac{x^{10}}{36288000} + O (x^{12}) .

Βοηθητικές συναρτήσεις

Τα τριγωνομετρικά ολοκληρώματα μπορούν να κατανοηθούν με βάση τη λεγόμενη βοηθητική συνάρτηση

$\begin{matrix} f (x) & \equiv & \int_{0}^{\infty} \frac{\sin (t)}{t + x} d t & = & \int_{0}^{\infty} \frac{e^{- x t}}{t^{2} + 1} d t & = & Ci (x) \sin (x) + [\frac{π}{2} - Si (x)] \cos (x), \\ g (x) & \equiv & \int_{0}^{\infty} \frac{\cos (t)}{t + x} d t & = & \int_{0}^{\infty} \frac{t e^{- x t}}{t^{2} + 1} d t & = & - Ci (x) \cos (x) + [\frac{π}{2} - Si (x)] \sin (x) . \end{matrix}$

Χρησιμοποιώντας αυτές τις συναρτήσεις, τα τριγωνομετρικά ολοκληρώματα μπορούν να επανεκφραστούν ως εξής

(cf. Abramowitz & Stegun, p. 232) $\begin{matrix} \frac{π}{2} - Si (x) = - si (x) & = & f (x) \cos (x) + g (x) \sin (x), and \\ Ci (x) & = & f (x) \sin (x) - g (x) \cos (x) . \end{matrix}$

Σπείρα του Νίλσεν

Η σπείρα που σχηματίζεται από το παραμετρικό διάγραμμα των Πρότυπο:Math είναι γνωστή ως σπείρα του Νίλσεν.

x (t) = a \times ci (t)

y (t) = a \times si (t)

Η σπείρα συνδέεται στενά με τα ολοκληρώματα Φρέσνελ και τη σπείρα του Όιλερ. Η σπείρα του Νίλσεν έχει εφαρμογές στην επεξεργασία όρασης, στην κατασκευή δρόμων και τροχιών και σε άλλους τομείς.^[4]

Επέκταση

Διάφορα αναπτύγματα μπορούν να χρησιμοποιηθούν για την αξιολόγηση τριγωνομετρικών ολοκληρωμάτων, ανάλογα με το εύρος του επιχειρήματος.

Ασυμπτωτική σειρά (για μεγάλο επιχείρημα)

$Si (x) \sim \frac{π}{2} - \frac{\cos x}{x} (1 - \frac{2!}{x^{2}} + \frac{4!}{x^{4}} - \frac{6!}{x^{6}} \dots) - \frac{\sin x}{x} (\frac{1}{x} - \frac{3!}{x^{3}} + \frac{5!}{x^{5}} - \frac{7!}{x^{7}} \dots)$ $Ci (x) \sim \frac{\sin x}{x} (1 - \frac{2!}{x^{2}} + \frac{4!}{x^{4}} - \frac{6!}{x^{6}} \dots) - \frac{\cos x}{x} (\frac{1}{x} - \frac{3!}{x^{3}} + \frac{5!}{x^{5}} - \frac{7!}{x^{7}} \dots) .$

Οι σειρές αυτές είναι ασυμπτωτικές και αποκλίνουσες, αν και μπορούν να χρησιμοποιηθούν για εκτιμήσεις και ακόμη και για ακριβή αξιολόγηση στο Πρότυπο:Math.

Ιδιομορφίες

Συγκλίνουσες σειρές

Si (x) = \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{(- 1)^{n} x^{2 n + 1}}{(2 n + 1) (2 n + 1)!} = x - \frac{x^{3}}{3! \cdot 3} + \frac{x^{5}}{5! \cdot 5} - \frac{x^{7}}{7! \cdot 7} \pm \dots

Ci (x) = γ + \ln x + \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{(- 1)^{n} x^{2 n}}{2 n (2 n)!} = γ + \ln x - \frac{x^{2}}{2! \cdot 2} + \frac{x^{4}}{4! \cdot 4} \mp \dots

Αυτές οι σειρές συγκλίνουν σε οποιοδήποτε μιγαδικό Πρότυπο:Mvar, αν και για Πρότυπο:Math, οι σειρές συγκλίνουν αργά αρχικά, απαιτώντας πολλούς όρους για υψηλή ακρίβεια.

Παραγωγή της επέκτασης σειράς

Από το ανάπτυγμα σειράς Μακλάουριν του ημιτόνικού:

\sin x = x - \frac{x^{3}}{3!} + \frac{x^{5}}{5!} - \frac{x^{7}}{7!} + \frac{x^{9}}{9!} - \frac{x^{11}}{11!} + \dots

\frac{\sin x}{x} = 1 - \frac{x^{2}}{3!} + \frac{x^{4}}{5!} - \frac{x^{6}}{7!} + \frac{x^{8}}{9!} - \frac{x^{10}}{11!} + \dots

∴ \int \frac{\sin x}{x} d x = x - \frac{x^{3}}{3! \cdot 3} + \frac{x^{5}}{5! \cdot 5} - \frac{x^{7}}{7! \cdot 7} + \frac{x^{9}}{9! \cdot 9} - \frac{x^{11}}{11! \cdot 11} + \dots

Σχέση με το εκθετικό ολοκλήρωμα του φανταστικού επιχειρήματος

Η συνάρτηση

E_{1} (z) = \int_{1}^{\infty} \frac{\exp (- z t)}{t} d t for ℜ (z) \geq 0

ονομάζεται εκθετικό ολοκλήρωμα. Είναι στενά συνδεδεμένο με το Πρότυπο:Math και το Πρότυπο:Math,

E_{1} (i x) = i (- \frac{π}{2} + Si (x)) - Ci (x) = i si (x) - ci (x) for x > 0 .

Καθώς κάθε αντίστοιχη συνάρτηση είναι αναλυτική εκτός από την αποκοπή σε αρνητικές τιμές του όρου, η περιοχή ισχύος της σχέσης θα πρέπει να επεκταθεί σε (Εκτός αυτής της περιοχής, στην έκφραση εμφανίζονται πρόσθετοι όροι που είναι ακέραιοι παράγοντες του Πρότυπο:Math).

Οι περιπτώσεις φανταστικού ορίσματος της γενικευμένης ολοκληρο-εκθετικής συνάρτησης είναι

\int_{1}^{\infty} \cos (a x) \frac{\ln x}{x} d x = - \frac{π^{2}}{24} + γ (\frac{γ}{2} + \ln a) + \frac{\ln^{2} a}{2} + \sum_{n \geq 1} \frac{(- a^{2})^{n}}{(2 n)! (2 n)^{2}},

το οποίο είναι το πραγματικό μέρος της

\int_{1}^{\infty} e^{i a x} \frac{\ln x}{x} d x = - \frac{π^{2}}{24} + γ (\frac{γ}{2} + \ln a) + \frac{\ln^{2} a}{2} - \frac{π}{2} i (γ + \ln a) + \sum_{n \geq 1} \frac{(i a)^{n}}{n! n^{2}} .

Παρομοίως

$\int_{1}^{\infty} e^{i a x} \frac{\ln x}{x^{2}} d x = 1 + i a [- \frac{π^{2}}{24} + γ (\frac{γ}{2} + \ln a - 1) + \frac{\ln^{2} a}{2} - \ln a + 1] + \frac{π a}{2} (γ + \ln a - 1) + \sum_{n \geq 1} \frac{(i a)^{n + 1}}{(n + 1)! n^{2}} .$

Αποτελεσματική αξιολόγηση

Οι προσεγγίσεις Padé των συγκλίνουσων σειρών Τέιλορ παρέχουν έναν αποτελεσματικό τρόπο για την αξιολόγηση των συναρτήσεων για μικρά ορίσματα. Οι ακόλουθοι τύποι, που δίνονται από τους Ρόου κ.ά. (2015),^[5] είναι ακριβέστερες από Πρότυπο:Math για Πρότυπο:Math,

$\begin{matrix} Si (x) & \approx & x \cdot (\frac{\begin{matrix} 1 - 4.54393409816329991 \cdot 1 0^{- 2} \cdot x^{2} + 1.15457225751016682 \cdot 1 0^{- 3} \cdot x^{4} - 1.41018536821330254 \cdot 1 0^{- 5} \cdot x^{6} \\ + 9.43280809438713025 \cdot 1 0^{- 8} \cdot x^{8} - 3.53201978997168357 \cdot 1 0^{- 10} \cdot x^{10} + 7.08240282274875911 \cdot 1 0^{- 13} \cdot x^{12} \\ - 6.05338212010422477 \cdot 1 0^{- 16} \cdot x^{14} \end{matrix}}{\begin{matrix} 1 + 1.01162145739225565 \cdot 1 0^{- 2} \cdot x^{2} + 4.99175116169755106 \cdot 1 0^{- 5} \cdot x^{4} + 1.55654986308745614 \cdot 1 0^{- 7} \cdot x^{6} \\ + 3.28067571055789734 \cdot 1 0^{- 10} \cdot x^{8} + 4.5049097575386581 \cdot 1 0^{- 13} \cdot x^{10} + 3.21107051193712168 \cdot 1 0^{- 16} \cdot x^{12} \end{matrix}}) \\ Ci (x) & \approx & γ + \ln (x) + \\ x^{2} \cdot (\frac{\begin{matrix} - 0.25 + 7.51851524438898291 \cdot 1 0^{- 3} \cdot x^{2} - 1.27528342240267686 \cdot 1 0^{- 4} \cdot x^{4} + 1.05297363846239184 \cdot 1 0^{- 6} \cdot x^{6} \\ - 4.68889508144848019 \cdot 1 0^{- 9} \cdot x^{8} + 1.06480802891189243 \cdot 1 0^{- 11} \cdot x^{10} - 9.93728488857585407 \cdot 1 0^{- 15} \cdot x^{12} \end{matrix}}{\begin{matrix} 1 + 1.1592605689110735 \cdot 1 0^{- 2} \cdot x^{2} + 6.72126800814254432 \cdot 1 0^{- 5} \cdot x^{4} + 2.55533277086129636 \cdot 1 0^{- 7} \cdot x^{6} \\ + 6.97071295760958946 \cdot 1 0^{- 10} \cdot x^{8} + 1.38536352772778619 \cdot 1 0^{- 12} \cdot x^{10} + 1.89106054713059759 \cdot 1 0^{- 15} \cdot x^{12} \\ + 1.39759616731376855 \cdot 1 0^{- 18} \cdot x^{14} \end{matrix}}) \end{matrix}$

Τα ολοκληρώματα μπορούν να εκτιμηθούν έμμεσα μέσω των βοηθητικών συναρτήσεων $f (x)$ και $g (x)$ , οι οποίες ορίζονται ως εξής

$Si (x) = \frac{π}{2} - f (x) \cos (x) - g (x) \sin (x)$		$Ci (x) = f (x) \sin (x) - g (x) \cos (x)$
or equivalently
$f (x) \equiv [\frac{π}{2} - Si (x)] \cos (x) + Ci (x) \sin (x)$		$g (x) \equiv [\frac{π}{2} - Si (x)] \sin (x) - Ci (x) \cos (x)$

Για $x \geq 4$ οι ρητές συναρτήσεις Padé που δίνονται παρακάτω προσεγγίζουν τις $f (x)$ και $g (x)$ με σφάλμα μικρότερο από 10^-16:^[5]

$\begin{matrix} f (x) & \approx & \frac{1}{x} \cdot (\frac{\begin{matrix} 1 + 7.44437068161936700618 \cdot 1 0^{2} \cdot x^{- 2} + 1.96396372895146869801 \cdot 1 0^{5} \cdot x^{- 4} + 2.37750310125431834034 \cdot 1 0^{7} \cdot x^{- 6} \\ + 1.43073403821274636888 \cdot 1 0^{9} \cdot x^{- 8} + 4.33736238870432522765 \cdot 1 0^{10} \cdot x^{- 10} + 6.40533830574022022911 \cdot 1 0^{11} \cdot x^{- 12} \\ + 4.20968180571076940208 \cdot 1 0^{12} \cdot x^{- 14} + 1.00795182980368574617 \cdot 1 0^{13} \cdot x^{- 16} + 4.94816688199951963482 \cdot 1 0^{12} \cdot x^{- 18} \\ - 4.94701168645415959931 \cdot 1 0^{11} \cdot x^{- 20} \end{matrix}}{\begin{matrix} 1 + 7.46437068161927678031 \cdot 1 0^{2} \cdot x^{- 2} + 1.97865247031583951450 \cdot 1 0^{5} \cdot x^{- 4} + 2.41535670165126845144 \cdot 1 0^{7} \cdot x^{- 6} \\ + 1.47478952192985464958 \cdot 1 0^{9} \cdot x^{- 8} + 4.58595115847765779830 \cdot 1 0^{10} \cdot x^{- 10} + 7.08501308149515401563 \cdot 1 0^{11} \cdot x^{- 12} \\ + 5.06084464593475076774 \cdot 1 0^{12} \cdot x^{- 14} + 1.43468549171581016479 \cdot 1 0^{13} \cdot x^{- 16} + 1.11535493509914254097 \cdot 1 0^{13} \cdot x^{- 18} \end{matrix}}) \\ g (x) & \approx & \frac{1}{x^{2}} \cdot (\frac{\begin{matrix} 1 + 8.1359520115168615 \cdot 1 0^{2} \cdot x^{- 2} + 2.35239181626478200 \cdot 1 0^{5} \cdot x^{- 4} + 3.12557570795778731 \cdot 1 0^{7} \cdot x^{- 6} \\ + 2.06297595146763354 \cdot 1 0^{9} \cdot x^{- 8} + 6.83052205423625007 \cdot 1 0^{10} \cdot x^{- 10} + 1.09049528450362786 \cdot 1 0^{12} \cdot x^{- 12} \\ + 7.57664583257834349 \cdot 1 0^{12} \cdot x^{- 14} + 1.81004487464664575 \cdot 1 0^{13} \cdot x^{- 16} + 6.43291613143049485 \cdot 1 0^{12} \cdot x^{- 18} \\ - 1.36517137670871689 \cdot 1 0^{12} \cdot x^{- 20} \end{matrix}}{\begin{matrix} 1 + 8.19595201151451564 \cdot 1 0^{2} \cdot x^{- 2} + 2.40036752835578777 \cdot 1 0^{5} \cdot x^{- 4} + 3.26026661647090822 \cdot 1 0^{7} \cdot x^{- 6} \\ + 2.23355543278099360 \cdot 1 0^{9} \cdot x^{- 8} + 7.87465017341829930 \cdot 1 0^{10} \cdot x^{- 10} + 1.39866710696414565 \cdot 1 0^{12} \cdot x^{- 12} \\ + 1.17164723371736605 \cdot 1 0^{13} \cdot x^{- 14} + 4.01839087307656620 \cdot 1 0^{13} \cdot x^{- 16} + 3.99653257887490811 \cdot 1 0^{13} \cdot x^{- 18} \end{matrix}}) \end{matrix}$