Μοναδιαία βηματική συνάρτηση

Αρχείο:Unit step function h.svg

Γραφική παράσταση της μοναδιαίας βηματικής συνάρτησης.

Γραφική παράσταση της μοναδιαίας βηματικής συνάρτησης με τον συμμετρικό ορισμό στο σημείο μηδέν.

Στα μαθηματικά, η μοναδιαία βηματική συνάρτηση (ή συνάρτηση μοναδιαίου βήματος ή συνάρτηση Χέβισαϊντ) είναι η πραγματική συνάρτηση $H$ που ορίζεται ως εξής

$H(x)=\{\begin{array}{cc}0& \text{αν }x<0\\ 1& \text{αν }x\ge 0.\end{array}$

Με άλλα λόγια η συνάρτηση επιστρέφει την τιμή $0$ για αρνητικούς αριθμούς και $1$ για θετικούς ή το μηδέν.

Η συνάρτηση παίρνει το όνομά της από τον Όλιβερ Χέβισαϊντ και βρίσκει εφαρμογές σε πολλούς τομείς των μαθηματικών όπως οι διαφορικές εξισώσεις, η επεξεργασία σήματος και η θεωρία πιθανοτήτων.

Ορισμοί

Πιο γενικά, ορίζεται για κάθε $c\in ℝ$,

$H_c(x)=\{\begin{array}{cc}0& \text{αν }x<c,\\ 1& \text{αν }x\ge c.\end{array}$

Καμιά φορά, για λόγους συμμετρίας η συνάρτηση ορίζεται ως

$H(x)=\{\begin{array}{cc}0& \text{αν }x<0,\\ \frac{1}{2}& \text{αν }x=0,\\ 1& \text{αν }x>0.\end{array}$

Με αυτόν τον ορισμό, η $H$ ικανοποιεί $H(x)=\frac{1}{2}\cdot (\mathrm{s}\mathrm{g}\mathrm{n}(x)+1)$, όπου $\mathrm{s}\mathrm{g}\mathrm{n}(x)$ είναι η συνάρτηση προσήμου.