Ακολουθία Όιλερ

Στα μαθηματικά, η ακολουθία Όιλερ είναι μια συγκεκριμένη ακριβής ακολουθία δεμτιών στον n-διάστατο προβολικό χώρο πάνω σε έναν δακτύλιο. Δείχνει ότι η δέσμη των σχετικών διαφορικών είναι σταθερά ισόμορφη με ένα $(n+1)$}-πολλαπλό άθροισμα του διπλού της δέσμης συστροφής Σερ.

Η ακολουθία Όιλερ γενικεύεται σε εκείνη μιας προβολικής δέσμης καθώς και μιας δέσμης Γκράσμαν (δείτε το τελευταίο άρθρο για αυτή τη γενίκευση).

Ιδιότητες

Έστω ${\mathbb{P}}_A^n$ είναι ο n-διάστατος προβολικός χώρος πάνω από έναν αντιμεταθετικό δακτύλιο A. Έστω ${\mathrm{\Omega }}^1={\mathrm{\Omega }}_{{\mathbb{P}}_A^n/A}^1$ είναι η δέσμη των 1-διαφορικών σε αυτόν τον χώρο, και ούτω καθεξής. Η ακολουθία του Όιλερ είναι η ακόλουθη ακριβής ακολουθία των δεσμών στον ${\mathbb{P}}_A^n$:

$0⟶{\mathrm{\Omega }}^1⟶𝒪(-1{)}^{\oplus (n+1)}⟶𝒪⟶0.$

Η ακολουθία μπορεί να κατασκευαστεί ορίζοντας έναν ομομορφισμό $S(-1{)}^{\oplus n+1}\to S,e_i\mapsto x_i$ με $S=A[x_0,\dots ,x_n]$ and $e_i=1$ και $e_i=1$ σε βαθμό 1, επιρριπτική σε βαθμούς $\ge 1$, και ελέγχοντας ότι τοπικά στα $n+1$ πρότυπα διαγράμματα, ο πυρήνας είναι ισομορφικός με σχετικό διαφορικό πρότυπο .

Γεωμετρική ερμηνεία

Υποθέτουμε ότι το A είναι ένα σώμα k.

Η παραπάνω ακριβής ακολουθία είναι διπλή της ακολουθίας

$0⟶𝒪⟶𝒪(1{)}^{\oplus (n+1)}⟶𝒯⟶0$,

όπου $𝒯$ είναι η εφαπτομένη του ${\mathbb{P}}^n$.

Ας αναλύσουμε την ελεύθερη από συντεταγμένες εκδοχή αυτής της ακολουθίας, στο$\mathbb{P}V$ για έναν $(n+1)$-διάστατο διανυσματικό χώρο V πάνω από k:

$0⟶{𝒪}_{\mathbb{P}V}⟶{𝒪}_{\mathbb{P}V}(1)\otimes V⟶{𝒯}_{\mathbb{P}V}⟶0.$

Αυτή η ακολουθία γίνεται πιο εύκολα κατανοητή ερμηνεύοντας τμήματα του κεντρικού όρου ως 1-ομογενή διανυσματικά πεδία στο V. Ένα τέτοιο τμήμα, το διανυσματικό πεδίο Όιλερ, συνδέει σε κάθε σημείο $v$ της ποικιλίας $V$εφαπτόμενου διανύσματος $v$. Αυτό το διανυσματικό σώμα είναι ακτινικό με την έννοια ότι εξαφανίζεται ομοιόμορφα σε 0-ομοιογενείς συναρτήσεις, δηλαδή στις συναρτήσεις που είναι αναλλοίωτες με ομοθετική αναδιαβάθμιση ή "ανεξάρτητες από την ακτινική συντεταγμένη".

Μια συνάρτηση (που ορίζεται σε κάποιο ανοικτό σύνολο) στο $\mathbb{P}V$ οδηγεί μέσω επαναφοράς σε μια 0-ομογενή συνάρτηση στο V (και πάλι μερικώς καθορισμένη). Λαμβάνουμε 1-ομογενή διανυσματικά πεδία πολλαπλασιάζοντας το διανυσματικό πεδίο Όιλερ με τέτοιες συναρτήσεις. Αυτός είναι ο ορισμός του πρώτου χάρτη, και η εγχυσιμότητά του είναι άμεση.

Ο δεύτερος χάρτης σχετίζεται με την έννοια της παραγώγισης, ισοδύναμη με εκείνη του διανυσματικού πεδίου. Υπενθυμίζουμε ότι ένα διανυσματικό πεδίο σε ένα ανοικτό σύνολο U του προβολικού χώρου $\mathbb{P}V$ μπορεί να οριστεί ως παραγώγιση των συναρτήσεων που ορίζονται σε αυτό το ανοικτό σύνολο. Ανασυρόμενο στο V, αυτό είναι ισοδύναμο με μια παραγώγιση στην προεικόνιση του U που διατηρεί τις 0-ομογενείς συναρτήσεις. Κάθε διανυσματικό πεδίο στο $\mathbb{P}V$ μπορεί έτσι να προκύψει, και το ελάττωμα της injectivity αυτής της απεικόνισης αποτελείται ακριβώς από τα ακτινικά διανυσματικά πεδία.

Επομένως, ο πυρήνας του δεύτερου μορφισμού ισούται με την εικόνα του πρώτου.

Η κανονική δέσμη γραμμών των προβολικών χώρων

Παίρνοντας την υψηλότερη εξωτερική δύναμη, βλέπουμε ότι η κανονική δέσμη ενός προβολικού χώρου δίνεται από τη σχέση ${\omega }_{{\mathbb{P}}_A^n/A}={𝒪}_{{\mathbb{P}}_A^n}(-(n+1)).$

Ειδικότερα, οι προβολικοί χώροι είναι ποικιλίες Fano, επειδή η κανονική δέσμη είναι αντι-δειγματική και αυτή η δέσμη γραμμών δεν έχει μη μηδενικά παγκόσμια τμήματα, οπότε το γεωμετρικό γένος είναι 0. Αυτό μπορεί να διαπιστωθεί εξετάζοντας την ακολουθία Όιλερ και βάζοντάς την στον τύπο του προσδιοριστή

$\det (ℰ)=\det ({ℰ}^{\prime })\otimes \det ({ℰ}^{″})$

για κάθε σύντομη ακριβή ακολουθία της μορφής $0\to {ℰ}^{\prime }\to ℰ\to {ℰ}^{″}\to 0$.

Κλάσεις Τσερν

Η ακολουθία Όιλερ μπορεί να χρησιμοποιηθεί για τον υπολογισμό των κλάσεων Τσερν του προβολικού χώρου. Υπενθυμίζεται ότι δεδομένης μιας σύντομης ακριβούς ακολουθίας συνεκτικών δεσμών,

$0\to {ℰ}^{\prime }\to ℰ\to {ℰ}^{″}\to 0,$

μπορούμε να υπολογίσουμε την συνολική τάξη Τσερν του $ℰ$ με τον τύπο $c(ℰ)=c({ℰ}^{\prime })\cdot c({ℰ}^{″})$. Παραδείγματος χάριν, στο ${\mathbb{P}}^2$ βρίσκουμε $\begin{array}{cc}c({\mathrm{\Omega }}_{{\mathbb{P}}^2}^1)& =\frac{c(𝒪(-1{)}^{\oplus (2+1)})}{c(𝒪)}\\ & =(1-[H]{)}^3\\ & =1-3[H]+3[H{]}^2-[H{]}^3\\ & =1-3[H]+3[H{]}^2,\end{array}$

όπου $[H]$ αντιπροσωπεύει την κλάση υπερεπιπέδου στον δακτύλιο Tσόου $A^{\bullet }({\mathbb{P}}^2)$.

Χρησιμοποιώντας την ακριβή ακολουθία

$0\to {\mathrm{\Omega }}^2\to 𝒪(-2{)}^{\oplus 3}\to {\mathrm{\Omega }}^1\to 0,$

και πάλι μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε τον τύπο της συνολικής κλάσης Τσερν για να βρούμε

$\begin{array}{cc}c({\mathrm{\Omega }}^2)& =\frac{c(𝒪(-2{)}^{\oplus 3})}{c({\mathrm{\Omega }}^1)}\\ & =\frac{(1-2[H]{)}^3}{1-3[H]+3[H{]}^2}.\end{array}$

Δεδομένου ότι πρέπει να αντιστρέψουμε το πολυώνυμο στον παρονομαστή, αυτό είναι ισοδύναμο με την εύρεση μιας δυναμοσειράς $a([H])=a_0+a_1[H]+a_2[H{]}^2+a_3[H{]}^3+\cdots$ such that $a([H])c({\mathrm{\Omega }}^1)=1$.

Δημοσιεύσεις

• Euler Sequence and Koszul complex of a module
• Euler sequences in joint angles & Gimbal lock
• On the Euler sequence spaces which include the spaces ℓp and ℓ∞ I
• Euler sequences, Quats, and DCMs #19600
• Πρότυπο:Citation

Δείτε επίσης

• Commutative algebra

Εξωτερικοί σύνδεσμοι

• English - Greek Dictionary of Pure and Applied Mathematics Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
• Euler sequence for complete smooth k*-surfaces
• Euler Sequence and Koszul complex of a module