Αλγεβρικές ταυτότητες

Πρότυπο:Πηγές Στα μαθηματικά, η ταυτότητα είναι μία σχέση η οποία είναι ταυτολογικά αληθής. Αυτό σημαίνει ότι για οποιοδήποτε αριθμό ή τιμή θέσουμε στους όρους της ταυτότητας, η απάντηση θα είναι η ίδια δηλαδή τα δύο μέρη της ισότητας θα παραμένουν ίσα. Από τους ορισμούς των τριγωνομετρικών αριθμών μια τυχαίας γωνίας θ προκύπτουν βασικές τριγωνομετρικές ταυτότητες που είναι χρήσιμες στο λογισμό με παραστάσεις που περιέχουν τριγωνομετρικούς αριθμούς.

Πυθαγόρεια Ταυτότητα

Είναι η πλέον βασική τριγωνομετρική ταυτότητα :

${\sin }^2\theta +{\cos }^2\theta \equiv 1$

η οποία αληθεύει για κάθε τιμή της γωνίας $\theta$. Η ταυτότητα αυτή είναι μία εκδοχή του Πυθαγορείου θεωρήματος, όταν η γωνία $\theta$ ανήκει στο πρώτο τεταρτημόριο του μοναδιαίου κύκλου και επαληθεύει την εξίσωση : $x^2+y^2=1$. Αυτή η ταυτότητα επιλύεται αντίστοιχα ως προς ημίτονο ή συνημίτονο :

$\sin \theta =\pm \sqrt{1-{\cos }^2\theta }$ και $\cos \theta =\pm \sqrt{1-{\sin }^2\theta }.$

Τριγωνομετρικοί αριθμοί

Με χρήση των τριγωνομετρικών αριθμών του ημιτόνου (sine) και του συνημίτονου (cosine) ορίζουμε την εφαπτομένη (tangent) (tan) σε συνάρτηση του ημιτόνου και του συνημίτονου:

$\tan \theta =\frac{\sin \theta }{\cos \theta },\cot \theta =\frac{1}{\tan \theta }=\frac{\cos \theta }{\sin \theta }.$

Εύκολα αποδεικνύεται η τριγωνομετρική ταυτότητα:

$\tan \theta \cdot \cot \theta =1$.