Αλγεβρικός ακέραιος

Πρότυπο:Πηγές Ένας μιγαδικός αριθμός θ καλείται αλγεβρικός ακέραιος αν υπάρχει κανονικό πολυώνυμο $p(t)$ με ακεραίους συντελεστές έτσι ώστε $p(\theta )=0$ δηλαδή ${\theta }^n+a_{n-1}{\theta }^{n-1}+..+a_0=0$ όπου $a_i\in \mathbb{Z}$. Το σύνολο των αλγεβρικών ακεραίων συμβολίζεται με $𝔹$ και αποτελεί υποδακτύλιο του σώματος των αλγεβρικών αριθμών. Ισχύει δε, ότι η τομή των αλγεβρικών ακεραίων με τον δακτύλιο των ρητών είναι ακριβώς ο δακτύλιος των ακεραίων. Οι αλγεβρικοί ακέραιοι διαδραματίζουν ουσιαστικό ρόλο στην απόδειξη του Θεωρήματος του Burnside, που αναφέρει ότι κάθε πεπερασμένη ομάδα που έχει τάξη γινόμενο δυνάμεων πρώτων είναι επιλύσιμη.

Παραδείγματα

• Ο $\sqrt{3}$ είναι αλγεβρικός ακέραιος καθώς είναι ρίζα του πολυωνύμου $p(t)=t^2-3\in \mathbb{Z}[t]$

• Ο χρυσός αριθμός $\varphi =\frac{1+\sqrt{5}}{2}$ είναι αλγεβρικός ακέραιος καθώς είναι ρίζα του πολυωνύμου $p(t)=t^2-t-1\in \mathbb{Z}[t]$