Αμοιβάδα (μαθηματικά)

Η αμοιβάδα της $P(z,w)=w-2z-1.$

Η αμοιβάδα της $P(z,w)=3z^2+5zw+w^3+1.$ Σημειώστε το "κενό" στη μέση της αμοιβάδας.

Η αμοιβάδα της $P(z,w)=1+z+z^2+z^3+z^2{w}^3+10zw+12z^{2}w+10z^2{w}^2.$

Η αμοιβάδα της $P(z,w)=50z^3+83z^{2}w+24z{w}^2+w^3+392z^2+414zw+50w^2-28z+59w-100.$

Σημεία στην αμοιβάδα της $P(x,y,z)=x+y+z-1.$ Σημειώστε ότι η αμοιβάδα είναι στην πραγματικότητα τρισδιάστατη και όχι επίπεδη (αυτό δεν είναι απολύτως εμφανές από την εικόνα).

Στην μιγαδική ανάλυση, έναν κλάδο των μαθηματικών, η αμοιβάδα είναι ένα σύνολο που σχετίζεται με ένα πολυώνυμο σε μία ή περισσότερες μιγαδικές μεταβλητές. Οι αμοιβάδες έχουν εφαρμογές στην αλγεβρική γεωμετρία, ιδίως στην τροπική γεωμετρία.

Ορισμός

Έστω η συνάρτηση

$\mathrm{Log}:(ℂ\setminus \{0\}{)}^n\to {ℝ}^n$

που ορίζεται στο σύνολο όλων των n-tuples $z=(z_1,z_2,\dots ,z_n)$ μη μηδενικών μιγαδικών αριθμών με τιμές στον Ευκλείδειο χώρο ${ℝ}^n,$ που δίνεται από τον τύπο

$\mathrm{Log}(z_1,z_2,\dots ,z_n)=(\log |z_1|,\log |z_2|,\dots ,\log |z_n|).$

Εδώ, το log δηλώνει τον φυσικό λογάριθμο. Αν p(z) είναι ένα πολυώνυμο σε $n$ μιγαδικές μεταβλητές, η αμοιβάδα του ${𝒜}_p$ ορίζεται ως η εικόνα του συνόλου των μηδενικών του p υπό Log, οπότε

${𝒜}_p=\{\mathrm{Log}(z):z\in (ℂ\setminus \{0\}{)}^n,p(z)=0\}.$

Οι αμοιβάδες παρουσιάστηκαν το 1994 σε ένα βιβλίο των Γκελφάντ, Καπράνοφ και Ζελεβίνσκι.

Ιδιότητες

Έστω $V\subset ({ℂ}^{*}{)}^n$ ο μηδενικός τόπος ενός πολυωνύμου

$f(z)=\sum _{j\in A}{a}_j{z}^j$

όπου $A\subset {\mathbb{Z}}^n$ είναι πεπερασμένο, $a_j\in ℂ$ και $z^j=z_1^{j_1}\cdots z_n^{j_n}$ αν $z=(z_1,\dots ,z_n)$ και $j=(j_1,\dots ,j_n)$. Έστω ${\mathrm{\Delta }}_f$ το πολύεδρο του Νεύτων της $f$, i.e., δηλ,

${\mathrm{\Delta }}_f=\text{Convex Hull}\{j\in A\mid a_j\ne 0\}.$

Τότε

• Κάθε αμοιβάδα είναι ένα κλειστό σύνολο.
• Κάθε συνδεδεμένη συνιστώσα του συμπληρώματος ${ℝ}^n\setminus {𝒜}_p$ είναι κυρτό.
• Το εμβαδόν μιας αμοιβάδας ενός μη πανομοιότυπα μηδενικού πολυωνύμου σε δύο μιγαδικές μεταβλητές είναι πεπερασμένο.
• Μια δισδιάστατη αμοιβάδα διαθέτει έναν αριθμό "πλοκαμιών", που είναι απείρως μακριά και εκθετικά στενότερα προς το άπειρο.
• Ο αριθμός των συνδεδεμένων συνιστωσών του συμπληρώματος ${ℝ}^n\setminus {𝒜}_p$ δεν είναι μεγαλύτερος από $\mathrm{\#}({\mathrm{\Delta }}_f\cap {\mathbb{Z}}^n)$ και όχι μικρότερος από τον αριθμό των κορυφών του ${\mathrm{\Delta }}_f$.
• Υπάρχει μια έγχυση από το σύνολο των συνδεδεμένων συνιστωσών του συμπληρώματος ${ℝ}^n\setminus {𝒜}_p$ στο ${\mathrm{\Delta }}_f\cap {\mathbb{Z}}^n$. Οι κορυφές του ${\mathrm{\Delta }}_f$ βρίσκονται στην εικόνα κάτω από αυτή την έγχυση. Μια συνδεδεμένη συνιστώσα του συμπληρώματος ${ℝ}^n\setminus {𝒜}_p$ είναι περιορισμένη αν και μόνο αν η εικόνα της βρίσκεται στο εσωτερικό του ${\mathrm{\Delta }}_f$.

Συνάρτηση Ρόνκιν

Ένα χρήσιμο εργαλείο για τη μελέτη των αμοιβάδων είναι η συνάρτηση Ρόνκιν. Για p(z), ένα πολυώνυμο σε n μιγαδικές μεταβλητές, ορίζεται η συνάρτηση Ρόνκιν

$N_p:{ℝ}^n\to ℝ$

σύμφωνα με τον τύπο

$N_p(x)=\frac{1}{(2\pi i{)}^n}\underset{{\mathrm{Log}}^{-1}(x)}{\int }\log |p(z)|\frac{d{z}_1}{z_1}\wedge \frac{d{z}_2}{z_2}\wedge \cdots \wedge \frac{d{z}_n}{z_n},$

όπου $x$ denotes $x=(x_1,x_2,\dots ,x_n).$ Ισοδύναμα, το $N_p$ δίνεται από το ολοκλήρωμα

$N_p(x)=\frac{1}{(2\pi {)}^n}\underset{[0,2\pi {]}^n}{\int }\log |p(z)|d{\theta }_{1}d{\theta }_2\cdots d{\theta }_n,$

όπου

$z=(e^{x_1+i{\theta }_1},e^{x_2+i{\theta }_2},\dots ,e^{x_n+i{\theta }_n}).$

Η συνάρτηση Ronkin είναι κυρτή και συγγενής σε κάθε συνδεδεμένη συνιστώσα του συμπληρώματος της αμοιβάδας του $p(z)$.

Ενδεικτικά, η συνάρτηση Ρόνκιν ενός μονοωνύμου

$p(z)=a{z}_1^{k_1}{z}_2^{k_2}\dots z_n^{k_n}$

με $a\ne 0$ είναι

$N_p(x)=\log |a|+k_1{x}_1+k_2{x}_2+\cdots +k_n{x}_n.$

Βιβλιογραφία

• Πρότυπο:Cite book
• Πρότυπο:Citation.
• Thorsten Theobald, « Computing amoebas », Exp. Math., vol. 11, 2002, p. 513–526 (DOI 10.1080/10586458.2002.10504703, (on line).
• Antoine Chambert-Loir, « Quand la géométrie devient tropicale », Pour la science, no 492, octobre 2018, p. 26-33

Δημοσιεύσεις

• texts Approximating amoebas and coamoebas by sums of squares "
• texts Amoebas, Nonnegative Polynomials and Sums of Squares Supported on Circuits
• " texts Amoebas and coamoebas of linear spaces "
• Πρότυπο:Cite journal