Ανισότητα Χέλντερ

Στα μαθηματικά, η ανισότητα Χέλντερ (αναφέρεται και ως ανισότητα Hölder) είναι η ανισότητα,Πρότυπο:Rp

$\sum _{i=1}^n|a_i{b}_i|\le {(\sum _{i=1}^n|a_i{|}^p)}^{1/p}\cdot {(\sum _{i=1}^n|b_i{|}^q)}^{1/q},$

που ισχύει για οποιουσδήποτε πραγματικούς αριθμούς $a_1,\dots ,a_n$ και $b_1,\dots ,b_n$ και για $p,q>1$ έτσι ώστε $\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1$.

Η ανισότητα ισχύει και για οποιεσδήποτε ολοκληρώσιμες συναρτήσεις $f,g:[a,b]\to ℝ$,Πρότυπο:Rp

$\underset{a}{\overset{b}{\int }}|f(x)g(x)|dx\le {(\underset{a}{\overset{b}{\int }}(|f(x)|{)}^{p}dx)}^{1/p}\cdot {(\underset{a}{\overset{b}{\int }}(|f(x)|{)}^{q}dx)}^{1/q}.$

Η ανισότητα παίρνει το όνομά της από τον Όττο Χέλντερ για την εργασία του το 1889.

Απόδειξη

Για την απόδειξη θα χρησιμοποιήσουμε την ανισότητα Γιανγκ. Η ανισότητα Γιανγκ δίνει ότι για κάθε πραγματικούς αριθμούς $a,b$ και $p,q>1$ με $\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1$,

$\frac{|a{|}^p}{p}+\frac{|b{|}^q}{q}\ge |a|\cdot |b|.$

Για την ανισότητα Χέλντερ κάνουμε την παρατήρηση ότι είναι ομογενής, δηλαδή αν θεωρήσουμε τους αριθμούς ${a_i}^{\prime }={\lambda }_1{a}_i$ και ${b_i}^{\prime }={\lambda }_2{b}_i$ για οποιεσδήποτε σταθερές ${\lambda }_1,{\lambda }_2>0$, λαμβάνουμε μία ανισότητα ισοδύναμη με την αρχική ανισότητα, καθώς

${(\sum _{i=1}^n|{a_i}^{\prime }{|}^p)}^{1/p}\cdot {(\sum _{i=1}^n|{b_i}^{\prime }{|}^q)}^{1/q}={\lambda }_1{\lambda }_2\cdot {(\sum _{i=1}^n|a_i{|}^p)}^{1/p}\cdot {(\sum _{i=1}^n|b_i{|}^q)}^{1/q}$ και $\sum _{i=1}^n|{a_i}^{\prime }{b_i}^{\prime }|={\lambda }_1{\lambda }_2\sum _{i=1}^n|a_i{b}_i|$.

Επομένως διαλέγοντας ${\lambda }_1^{-1}=\sum _{i=1}^n|a_i{|}^p$ και ${\lambda }_2^{-1}=\sum _{i=1}^n|b_i{|}^q$, αρκεί να δείξουμε ότι για κάθε ${a_i}^{\prime }$ και ${b_i}^{\prime }$ με $\sum _{i=1}^n|{a_i}^{\prime }{|}^p=1$ και $\sum _{i=1}^n|{b_i}^{\prime }{|}^q=1$, ισχύει ότι

$\sum _{i=1}^n|{a_i}^{\prime }{b_i}^{\prime }|\le 1.$

Χρησιμοποιώντας την ανισότητα Γιανγκ, έχουμε ότι

$\sum _{i=1}^n|{a_i}^{\prime }{b_i}^{\prime }|=\sum _{i=1}^n|{a_i}^{\prime }||{b_i}^{\prime }|\le \sum _{i=1}^n(\frac{|{a_i}^{\prime }{|}^p}{p}+\frac{|{b_i}^{\prime }{|}^q}{q})\le \frac{\sum _{i=1}^n|{a_i}^{\prime }{|}^p}{p}+\frac{\sum _{i=1}^n|{b_i}^{\prime }{|}^q}{q}=\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1,$

ολοκληρώνοντας την απόδειξη της ανισότητας Χέλντερ.

Δείτε επίσης

• Ανισότητα Γιανγκ για το Γινόμενο