Βαθμός (γραμμική άλγεβρα)

Στη γραμμική άλγεβρα, o βαθμός ενός πίνακα Πρότυπο:Mvar είναι η διάσταση του διανυσματικού χώρου που δημιουργείται (ή καλύπτεται) από τις στήλες του. Αυτό αντιστοιχεί στο μέγιστο αριθμό των γραμμικά ανεξάρτητων στηλών του Α. Με τη σειρά του, αυτό ταυτίζεται με τη διάσταση του διανυσματικού χώρου που καλύπτεται από τις γραμμές του. Ο βαθμός είναι επομένως ένα μέτρο της "μη εκφυλιστικότητας" του συστήματος γραμμικών εξισώσεων και του γραμμικού μετασχηματισμού που κωδικοποιείται από τον Πρότυπο:Mvar. Υπάρχουν πολλαπλοί ισοδύναμοι ορισμοί του βαθμού. Ο βαθμός ενός πίνακα είναι ένα από τα πιο θεμελιώδη χαρακτηριστικά του.

Ο βαθμός συμβολίζεται συνήθως με Πρότυπο:Math ή Πρότυπο:Math; μερικές φορές οι παρενθέσεις δεν γράφονται Πρότυπο:Math. .

Βασικοί ορισμοί

Σε αυτή την ενότητα, δίνουμε ορισμένους ορισμούς για τον βαθμό ενός πίνακα.. Πολλοί ορισμοί είναι δυνατοί- ανατρέξτε στην ενότητα Εναλλακτικοί ορισμοί για αρκετούς από αυτούς.

Ο βαθμός στήλης του Α είναι η διάσταση του χώρου στηλών του Πρότυπο:Mvar, ενώ ο βαθμός γραμμής του Πρότυπο:Mvar είναι η διάσταση του χώρου γραμμών του Πρότυπο:Mvar .

Ένα θεμελιώδες αποτέλεσμα της γραμμικής άλγεβρας είναι ότι ο βαθμός στήλης και ο βαθμός γραμμής είναι πάντα ίσοι. (Τρεις αποδείξεις αυτού του αποτελέσματος δίνονται στην ενότητα § Αποδείξεις ότι βαθμός στήλης = βαθμός γραμμής, παρακάτω). Αυτός ο αριθμός (δηλαδή, ο αριθμός των γραμμικά ανεξάρτητων γραμμών ή στηλών) ονομάζεται απλώς βαθμός του Α.

Ένας πίνακας λέγεται ότι έχει πλήρη βαθμό (full rank) αν ο βαθμός του ισούται με τον μεγαλύτερο δυνατό για έναν πίνακα των ίδιων διαστάσεων, ο οποίος είναι ο μικρότερος του αριθμού των γραμμών και των στηλών. Ένας πίνακας λέγεται ανεπαρκής κατάταξης αν δεν έχει πλήρη κατάταξη. Η ανεπάρκεια βαθμού ενός πίνακα είναι η διαφορά μεταξύ του μικρότερου του αριθμού των γραμμών και των στηλών και του βαθμού.

Ο βαθμός μιας γραμμικής απεικόνισης ή τελεστή $\mathrm{\Phi }$ ορίζεται ως η διάσταση της εικόνας του:

$\mathrm{rank}(\mathrm{\Phi }):=\dim (\mathrm{img}(\mathrm{\Phi }))$

όπου $\dim$ είναι η διάσταση ενός διανυσματικού χώρου και $\mathrm{img}$ είναι η εικόνα μιας απεικόνισης.

Παραδείγματα

Ο πίνακας

$\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 1\\ 0& 1& 1\\ 0& 1& 1\end{array}\right]$

έχει βαθμό 2: οι δύο πρώτες στήλες είναι γραμμικά ανεξάρτητες, οπότε ο βαθμός είναι τουλάχιστον 2, αλλά δεδομένου ότι η τρίτη είναι γραμμικός συνδυασμός των δύο πρώτων (η πρώτη στήλη συν τη δεύτερη), οι τρεις στήλες εξαρτώνται γραμμικά, οπότε ο βαθμός πρέπει να είναι μικρότερος από 3.

Ο πίνακας

$A=\left[\begin{array}{cccc}1& 1& 0& 2\\ -1& -1& 0& -2\end{array}\right]$

έχει βαθμό 1: υπάρχουν μη μηδενικές στήλες, οπότε ο βαθμός είναι θετικός, αλλά κάθε ζεύγος στηλών είναι γραμμικά εξαρτημένο. Ομοίως, η μεταστοιχείωση

$A^{\mathrm{T}}=\left[\begin{array}{cc}1& -1\\ 1& -1\\ 0& 0\\ 2& -2\end{array}\right]$

της Πρότυπο:Mvar έχει βαθμό 1. Πράγματι, δεδομένου ότι τα διανύσματα στήλης του Πρότυπο:Mvar είναι τα διανύσματα γραμμής του αντιμεταθέτη του Πρότυπο:Mvar, η δήλωση ότι ο βαθμός στήλης ενός πίνακα ισούται με τον βαθμό γραμμής του είναι ισοδύναμη με τη δήλωση ότι ο βαθμός ενός πίνακα είναι ίσος με τον βαθμό του αντιμεταθέτη του, δηλ, Πρότυπο:Math.

Υπολογισμός του βαθμού ενός πίνακα

Κατάταξη από τις μορφές σειρών

Κύριο άρθρο: Γκαουσιανή απαλοιφή

Μια συνηθισμένη προσέγγιση για την εύρεση του βαθμού ενός πίνακα είναι η αναγωγή του σε μια απλούστερη μορφή, συνήθως με τη μορφή ενός βήματος βαθμού, χρησιμοποιώντας στοιχειώδεις πράξεις βαθμού. Οι πράξεις γραμμής δεν αλλάζουν το χώρο γραμμής (και συνεπώς το βαθμό γραμμής) και, όντας αντιστρέψιμες, μετατρέπουν το χώρο στήλης σε ισόμορφο χώρο (και ως εκ τούτου δεν αλλάζουν τον βαθμό στήλης). Μόλις βρεθεί σε μορφή βαθμού σειράς, ο βαθμός είναι σαφώς ο ίδιος τόσο για τον βαθμό σειράς όσο και για τον βαθμό στήλης, και είναι ίσος με τον αριθμό των pivots (ή των βασικών στηλών) καθώς και με τον αριθμό των μη μηδενικών γραμμών.

Παραδείγματος χάριν, ο πίνακας Πρότυπο:Mvar που δίνεται από τη σχέση

$A=\left[\begin{array}{ccc}1& 2& 1\\ -2& -3& 1\\ 3& 5& 0\end{array}\right]$

μπορεί να τεθεί σε μορφή μειωμένης τάξης χρησιμοποιώντας τις ακόλουθες στοιχειώδεις πράξεις τάξης:

$\begin{array}{cc}\left[\begin{array}{ccc}1& 2& 1\\ -2& -3& 1\\ 3& 5& 0\end{array}\right]& \stackrel{2R_1+R_2\to R_2}{\to }\left[\begin{array}{ccc}1& 2& 1\\ 0& 1& 3\\ 3& 5& 0\end{array}\right]\stackrel{-3R_1+R_3\to R_3}{\to }\left[\begin{array}{ccc}1& 2& 1\\ 0& 1& 3\\ 0& -1& -3\end{array}\right]\\ & \stackrel{R_2+R_3\to R_3}{\to }\left[\begin{array}{ccc}1& 2& 1\\ 0& 1& 3\\ 0& 0& 0\end{array}\right]\stackrel{-2R_2+R_1\to R_1}{\to }\left[\begin{array}{ccc}1& 0& -5\\ 0& 1& 3\\ 0& 0& 0\end{array}\right].\end{array}$

Ο τελικός πίνακας (σε μορφή μειωμένης γραμμής echelon) έχει δύο μη μηδενικές γραμμές και επομένως η τάξη του πίνακα Πρότυπο:Mvar είναι 2

Υπολογισμός

Όταν εφαρμόζεται σε υπολογισμούς κινητής υποδιαστολής σε υπολογιστές, η βασική Γκαουσιανή απαλοιφή (LU αποσύνθεση) μπορεί να είναι αναξιόπιστη, και θα πρέπει να χρησιμοποιείται αντ' αυτού μια αποσύνθεση με αποκάλυψη τάξης. Μια αποτελεσματική εναλλακτική λύση είναι η αποσύνθεση μοναδιαίων τιμών (SVD), αλλά υπάρχουν και άλλες λιγότερο δαπανηρές από υπολογιστική άποψη επιλογές, όπως η αποσύνθεση QR με περιστροφή (η λεγόμενη παραγοντοποίηση RRQR), οι οποίες εξακολουθούν να είναι αριθμητικά πιο αξιόπιστες από την απαλοιφή Γκαουσιανού. Ο αριθμητικός προσδιορισμός του βαθμού απαιτεί ένα κριτήριο για να αποφασιστεί πότε μια τιμή, όπως μια μοναδική τιμή από την SVD, θα πρέπει να αντιμετωπιστεί ως μηδέν, μια πρακτική επιλογή που εξαρτάται τόσο από τον πίνακα όσο και από την εφαρμογή.

Αποδείξεις ότι το rank στήλης = row rank

Απόδειξη με χρήση της μείωσης των γραμμών

Το γεγονός ότι οι βαθμοί στήλης και γραμμής οποιουδήποτε πίνακα είναι ίσες μορφές είναι θεμελιώδες στη γραμμική άλγεβρα. Έχουν δοθεί πολλές αποδείξεις. Μία από τις πιο στοιχειώδεις έχει περιγραφεί στο Rank from row echelon forms. Ακολουθεί μια παραλλαγή αυτής της απόδειξης:

Είναι προφανές ότι ούτε ο βαθμός γραμμής ούτε ο βαθμός στήλης αλλάζουν από μια στοιχειώδη πράξη γραμμής. Καθώς η απαλοιφή Γκάους προχωρεί με στοιχειώδεις πράξεις γραμμής, η μειωμένη μορφή echelon γραμμής ενός πίνακα έχει τον ίδιο βαθμό γραμμής και τον ίδιο βαθμό στήλης με τον αρχικό πίνακα. Περαιτέρω στοιχειώδεις πράξεις στήλης επιτρέπουν να τεθεί ο πίνακας στη μορφή ενός πίνακα ταυτότητας που ενδεχομένως οριοθετείται από γραμμές και στήλες μηδενικών. Και πάλι, αυτό δεν αλλάζει ούτε την τάξη γραμμής ούτε την τάξη στήλης. Είναι άμεσο ότι τόσο η σειρά όσο και η στήλη αυτού του πίνακα που προκύπτει είναι ο αριθμός των μη μηδενικών καταχωρίσεών του.

Παραθέτουμε δύο άλλες αποδείξεις αυτού του αποτελέσματος. Η πρώτη χρησιμοποιεί μόνο βασικές ιδιότητες των γραμμικών συνδυασμών διανυσμάτων και ισχύει για οποιοδήποτε πεδίο. Η απόδειξη βασίζεται στον Γουάρντλοου (2005). Η δεύτερη χρησιμοποιεί την ορθογωνιότητα και ισχύει για πίνακες πάνω από τους πραγματικούς αριθμούς- βασίζεται στον Μάκιου (1995)[4] Και οι δύο αποδείξεις μπορούν να βρεθούν στο βιβλίο των Μπανέρτζι και Ρόι (2014) Both proofs can be found in the book by Banerjee and Roy (2014)..

Απόδειξη με χρήση γραμμικών συνδυασμών

Έστω Πρότυπο:Mvar ένας πίνακας Πρότυπο:Math . Ας είναι η τάξη των στηλών του Πρότυπο:Mvar είναι Πρότυπο:Mvar και ας είναι Πρότυπο:Math οποιαδήποτε βάση για το χώρο των στηλών του Πρότυπο:Mvar. Τοποθετήστε τις ως τις στήλες ενός Πρότυπο:Math πίνακα Πρότυπο:Mvar. Αυτό σημαίνει ότι υπάρχει ένας Πρότυπο:Math πίνακας Πρότυπο:Mvar τέτοιος ώστε Πρότυπο:Math. Ο Πρότυπο:Mvar είναι ο πίνακας του οποίου η Πρότυπο:Mvarη στήλη σχηματίζεται από τους συντελεστές που δίνουν την Πρότυπο:Mvarη στήλη του Πρότυπο:Mvar ως γραμμικό συνδυασμό των Πρότυπο:Mvar στηλών του Πρότυπο:Mvar. Με άλλα λόγια, Πρότυπο:Mvar είναι ο πίνακας που περιέχει τα πολλαπλάσια για τις βάσεις του χώρου στηλών του Πρότυπο:Mvar(ο οποίος είναι Πρότυπο:Mvar), οι οποίοι στη συνέχεια χρησιμοποιούνται για να σχηματίσουν τον Πρότυπο:Mvar στο σύνολό του. Τώρα, κάθε γραμμή του Πρότυπο:Mvar δίνεται από έναν γραμμικό συνδυασμό των Πρότυπο:Mvar γραμμών του Πρότυπο:Mvar. Επομένως, οι γραμμές του Πρότυπο:Mvar αποτελούν ένα σύνολο που εκτείνεται στο χώρο γραμμών του Πρότυπο:Mvar και, σύμφωνα με το λήμμα ανταλλαγής Steinitz, η τάξη γραμμών του Πρότυπο:Mvar δεν μπορεί να υπερβαίνει το Πρότυπο:Mvar. Αυτό αποδεικνύει ότι η τάξη γραμμής του Πρότυπο:Mvar είναι μικρότερη ή ίση με την τάξη στήλης του Πρότυπο:Mvar. Αυτό το αποτέλεσμα μπορεί να εφαρμοστεί σε οποιονδήποτε πίνακα, οπότε εφαρμόστε το αποτέλεσμα στην αντιμετάθεση του Πρότυπο:Mvar.Αυτό το αποτέλεσμα μπορεί να εφαρμοστεί σε οποιονδήποτε πίνακα, οπότε εφαρμόστε το αποτέλεσμα στην αντιμετάθεση του Πρότυπο:Mvar. Δεδομένου ότι η τάξη γραμμής του αντιμεταθέτη του Πρότυπο:Mvar είναι η τάξη στήλης του Πρότυπο:Mvar και η τάξη στήλης του αντιμεταθέτη του Πρότυπο:Mvar είναι η τάξη γραμμής του Πρότυπο:Mvar, αυτό δημιουργεί την αντίστροφη ανισότητα και έχουμε την ισότητα της τάξης γραμμής και της τάξης στήλης του Πρότυπο:Mvar. (Δείτε επίσης Rank factorization.)

Απόδειξη με ορθογωνιότητα

Έστω Πρότυπο:Mvar ένας πίνακας Πρότυπο:Math με καταχωρήσεις στους πραγματικούς αριθμούς, του οποίου η τάξη γραμμής είναι Πρότυπο:Mvar. Επομένως, η διάσταση του χώρου γραμμών του Πρότυπο:Mvar είναι Πρότυπο:Mvar. Έστω Πρότυπο:Math μια βάση του χώρου γραμμών του Πρότυπο:Mvar. Ισχυριζόμαστε ότι τα διανύσματα Πρότυπο:Mathείναι γραμμικά ανεξάρτητα. Θα δούμε γιατί, θεωρούμε μια γραμμική ομογενή σχέση που περιλαμβάνει αυτά τα διανύσματα με κλιμακωτούς συντελεστές Πρότυπο:Math:

$0=c_{1}A{𝐱}_1+c_{2}A{𝐱}_2+\cdots +c_{r}A{𝐱}_r=A(c_1{𝐱}_1+c_2{𝐱}_2+\cdots +c_r{𝐱}_r)=A𝐯,$

όπου Πρότυπο:Math. μπορούμε να κάνουμε δύο παρατηρήσεις: (a) Πρότυπο:Math είναι γραμμικός συνδυασμός διανυσμάτων στο χώρο γραμμών του Πρότυπο:Mvar, πράγμα που σημαίνει ότι Πρότυπο:Math ανήκει στο χώρο γραμμών του Πρότυπο:Mvar, και (b) αφού Πρότυπο:Math, το διάνυσμα Πρότυπο:Math είναι ορθογώνιο σε κάθε διάνυσμα γραμμής του Πρότυπο:Mvar και, συνεπώς, είναι ορθογώνιο σε κάθε διάνυσμα στο χώρο γραμμών του Πρότυπο:Mvar. Τα στοιχεία (a) και (b) μαζί συνεπάγονται ότι το Πρότυπο:Math είναι ορθογώνιο στον εαυτό του, γεγονός που αποδεικνύει ότι Πρότυπο:Math ή, σύμφωνα με τον ορισμό του Πρότυπο:Math, $c_1{𝐱}_1+c_2{𝐱}_2+\cdots +c_r{𝐱}_r=0.$ Αλλά υπενθυμίζουμε ότι τα Πρότυπο:Math επιλέχθηκαν ως βάση του χώρου γραμμών του Πρότυπο:Mvar και έτσι είναι γραμμικά ανεξάρτητα. Αυτό συνεπάγεται ότι Πρότυπο:Math. Προκύπτει ότι Πρότυπο:Math είναι γραμμικά ανεξάρτητες.

Τώρα, κάθε Πρότυπο:Math είναι προφανώς ένα διάνυσμα στο χώρο στηλών του Πρότυπο:Mvar. Έτσι, τα Πρότυπο:Math είναι ένα σύνολο από Πρότυπο:Mvar γραμμικά ανεξάρτητα διανύσματα στο χώρο στηλών του Πρότυπο:Mvar και, επομένως, η διάσταση του χώρου στηλών του Πρότυπο:Mvar (δηλαδή, ο βαθμός στήλης του Πρότυπο:Mvar) πρέπει να είναι τουλάχιστον τόσο μεγάλος όσο το Πρότυπο:Mvar. Αυτό αποδεικνύει ότι ο βαθμός γραμμής του Α δεν είναι μεγαλύτερος από τον βαθμό στήλης του Πρότυπο:Mvar δεν είναι μεγαλύτερος από τον βαθμό στήλης του Πρότυπο:Mvar. Τώρα εφαρμόστε αυτό το αποτέλεσμα στην αντιμετάθεση του Πρότυπο:Mvar για να πάρετε την αντίστροφη ανισότητα και να καταλήξετε όπως στην προηγούμενη απόδειξη.

Εναλλακτικοί ορισμοί

Σε όλους τους ορισμούς αυτής της ενότητας, ο πίνακας Πρότυπο:Mvar θεωρείται ότι είναι ένας Πρότυπο:Math πίνακας πάνω σε ένα αυθαίρετο πεδίο Πρότυπο:Mvar.

Διάσταση της εικόνας

Δεδομένου του πίνακα $A$, υπάρχει μια σχετική γραμμική απεικόνιση

$f:F^n\to F^m$

που ορίζεται από

$f(x)=Ax.$ Ο βαθμός του $A$

είναι η διάσταση της εικόνας του $f$. Αυτός ο ορισμός έχει το πλεονέκτημα ότι μπορεί να εφαρμοστεί σε οποιαδήποτε γραμμική απεικόνιση, χωρίς να χρειάζεται συγκεκριμένος πίνακας.

Βαθμός ως προς την ακυρότητα

Δεδομένης της ίδιας γραμμικής απεικόνισης Πρότυπο:Mvar όπως παραπάνω, η τάξη είναι Πρότυπο:Mvar μείον τη διάσταση του πυρήνα της Πρότυπο:Mvar. Το θεώρημα rank-nullity δηλώνει ότι αυτός ο ορισμός είναι ισοδύναμος με τον προηγούμενο.

Βαθμός στήλης - διάσταση του χώρου των στηλών

Ο βαθμός του Πρότυπο:Mvar είναι ο μέγιστος αριθμός γραμμικά ανεξάρτητων στηλών ${𝐜}_1,{𝐜}_2,\dots ,{𝐜}_k$ του Πρότυπο:Mvar, αυτή είναι η διάσταση του χώρου στηλών του Πρότυπο:Mvar (ο χώρος στηλών είναι ο υποχώρος του Πρότυπο:Math που δημιουργείται από τις στήλες του Πρότυπο:Mvar, ο οποίος στην πραγματικότητα είναι απλώς η εικόνα της γραμμικής απεικόνισης Πρότυπο:Mvar που συνδέεται με το Πρότυπο:Mvar).

Βαθμός σειράς - διάσταση του χώρου των σειρών

Ο βαθμός του Πρότυπο:Mvar είναι ο μέγιστος αριθμός γραμμικά ανεξάρτητων γραμμών του Πρότυπο:Mvar αυτή είναι η διάσταση του χώρου γραμμών του Πρότυπο:Mvar.

Βαθμός αποσύνθεσης

Ο βαθμός του Πρότυπο:Mvar είναι ο μικρότερος ακέραιος Πρότυπο:Mvar ώστε το Πρότυπο:Mvar να μπορεί να παραγοντοποιηθεί ως $A=CR$, όπου Πρότυπο:Mvar είναι ένας Πρότυπο:Math πίνακας και Πρότυπο:Mvar είναι ένας Πρότυπο:Math πίνακας. Στην πραγματικότητα, για όλους τους ακέραιους Πρότυπο:Mvar, τα ακόλουθα είναι ισοδύναμα:

1. η θέση στήλης της Πρότυπο:Mvar είναι μικρότερη ή ίση με Πρότυπο:Mvar,
2. υπάρχουν Πρότυπο:Mvar στήλες ${𝐜}_1,\dots ,{𝐜}_k$ μεγέθους Πρότυπο:Mvar έτσι ώστε κάθε στήλη του Πρότυπο:Mvar να είναι γραμμικός συνδυασμός των ${𝐜}_1,\dots ,{𝐜}_k$,
3. υπάρχει ένας $m\times k$ πίνακας Πρότυπο:Mvar και ένας $k\times n$ πίνακας Πρότυπο:Mvar τέτοιος ώστε $A=CR$ (όταν Πρότυπο:Mvar} είναι ο βαθμός, αυτό αποτελεί έναν βαθμό παραγοντοποίησης του Πρότυπο:Mvar),
4. υπάρχουν Πρότυπο:Mvar γραμμές ${𝐫}_1,\dots ,{𝐫}_k$ μεγέθους Πρότυπο:Mvar έτσι ώστε κάθε γραμμή του Πρότυπο:Mvar να είναι ένας γραμμικός συνδυασμός των ${𝐫}_1,\dots ,{𝐫}_k$,
5. η σειρά κατάταξης της Πρότυπο:Mvar είναι μικρότερη ή ίση με Πρότυπο:Mvar.

Πράγματι, οι ακόλουθες ισοδυναμίες είναι προφανείς:$(1)\iff (2)\iff (3)\iff (4)\iff (5)$. Παραδείγματος χάριν, για να αποδείξουμε το (3) από το (2), θεωρούμε Πρότυπο:Mvar τον πίνακα του οποίου οι στήλες είναι ${𝐜}_1,\dots ,{𝐜}_k$ από το (2). Για να αποδειχθεί το (2) από το (3), θεωρούμε ότι Για να αποδειχθεί το (2) από το (3), θεωρούμε ότι ${𝐜}_1,\dots ,{𝐜}_k$ είναι οι στήλες του Πρότυπο:Mvar.

Από την ισοδυναμία $(1)\iff (5)$ προκύπτει ότι ο βαθμός γραμμής είναι ίσος με τον βαθμό στήλης.

Όπως και στην περίπτωση του χαρακτηρισμού της "διάστασης της εικόνας", αυτό μπορεί να γενικευτεί σε έναν ορισμό του βαθμού οποιουδήποτε γραμμικού χάρτη: ο βαθμός ενός γραμμικού χάρτη Πρότυπο:Math} είναι η ελάχιστη διάσταση Πρότυπο:Mvar ενός ενδιάμεσου χώρου Πρότυπο:Mvar έτσι ώστε ο Πρότυπο:Mvar να μπορεί να γραφεί ως η σύνθεση ενός χάρτη Πρότυπο:Math και ενός χάρτη Πρότυπο:Math. Δυστυχώς, αυτός ο ορισμός δεν προτείνει έναν αποδοτικό τρόπο υπολογισμού του βαθμού (για τον οποίο είναι προτιμότερο να χρησιμοποιηθεί ένας από τους εναλλακτικούς ορισμούς). Για λεπτομέρειες, ανατρέξτε στην ενότητα παραγοντοποίηση βαθμού.

Κατάταξη ως προς τις μοναδικές τιμές

Ο βαθμός του Πρότυπο:Mvar ισούται με τον αριθμό των μη μηδενικών μοναδιαίων τιμών, ο οποίος είναι ο ίδιος με τον αριθμό των μη μηδενικών διαγώνιων στοιχείων του Σ στην αποσύνθεση μοναδιαίων τιμών Πρότυπο:Nowrap

Βαθμός προσδιορισμού - μέγεθος της μεγαλύτερης μη μεταβαλλόμενης ελάσσονος

Ο βαθμός του Πρότυπο:Mvar είναι η μεγαλύτερη τάξη οποιουδήποτε μη μηδενικού δευτερεύοντος του Πρότυπο:Mvar. (Η τάξη ενός δευτερεύοντος είναι το μήκος της πλευράς του τετραγωνικού υποπίνακα του οποίου ο προσδιοριστής είναι). Όπως και ο χαρακτηρισμός του βαθμού διάσπασης, η μέθοδος αυτή δεν επιτρέπει τον αποτελεσματικό υπολογισμό του βαθμού, αλλά είναι χρήσιμη από θεωρητική άποψη: ένας μόνο μη μηδενικός δευτερεύων δίνει στοιχεία για ένα κατώτερο όριο (δηλαδή την τάξη του) για τον βαθμό του πίνακα, το οποίο μπορεί να είναι χρήσιμο (παραδείγματος χάριν) για να αποδειχθεί ότι ορισμένες πράξεις δεν μειώνουν τον βαθμό ενός πίνακα.

Ένας μη εξαφανιζόμενος Πρότυπο:Mvar-μείζων (Πρότυπο:Math υποπίνακας με μη μηδενικό προσδιοριστή) δείχνει ότι οι γραμμές και οι στήλες αυτού του υποπίνακα είναι γραμμικά ανεξάρτητες, και επομένως αυτές οι γραμμές και οι στήλες του πλήρους πίνακα είναι γραμμικά ανεξάρτητες (στον πλήρη πίνακα), οπότε ο βαθμός γραμμής και στήλης είναι τουλάχιστον τόσο μεγάλος όσο ο προσδιοριστικός βαθμός- ωστόσο, το αντίστροφο είναι λιγότερο απλό. Η ισοδυναμία του προσδιοριστικού βαθμού και του βαθμού στήλης είναι μια ενίσχυση της δήλωσης ότι αν το διάστημα των Πρότυπο:Mvar διανυσμάτων έχει διάσταση Πρότυπο:Mvar, τότε Πρότυπο:Mvar από αυτά τα διανύσματα καλύπτουν το χώρο (ισοδύναμα, ότι μπορεί κανείς να επιλέξει ένα σύνολο κάλυψης που είναι ένα υποσύνολο των διανυσμάτων): η ισοδυναμία συνεπάγεται ότι ένα υποσύνολο των γραμμών και ένα υποσύνολο των στηλών ορίζουν ταυτόχρονα έναν αντιστρέψιμο υποπίνακα (ισοδύναμα, αν το άνοιγμα των Πρότυπο:Mvar διανυσμάτων έχει διάσταση Πρότυπο:Mvar, τότε Πρότυπο:Mvar από αυτά τα διανύσματα καλύπτουν το χώρο και υπάρχει ένα σύνολο Πρότυπο:Mvar συντεταγμένων στο οποίο είναι γραμμικά ανεξάρτητα).

Βαθμός τανυστών - ελάχιστος αριθμός απλών τανυστών

O βαθμός του Πρότυπο:Mvar είναι ο μικρότερος αριθμός Πρότυπο:Mvar τέτοιος ώστε ο Πρότυπο:Mvar να μπορεί να γραφτεί ως άθροισμα πινάκων Πρότυπο:Mvar βαθμού 1, όπου ένας πίνακας ορίζεται ότι έχει βαθμό 1 εάν και μόνο εάν μπορεί να γραφτεί ως μη μηδενικό γινόμενο $c\cdot r$ ενός διανύσματος στήλης Πρότυπο:Mvar και ενός διανύσματος γραμμής Πρότυπο:Mvar. Αυτή η έννοια του βαθμού ονομάζεται βαθμός τανυστή- μπορεί να γενικευτεί στην ερμηνεία των διαχωρίσιμων μοντέλων της αποσύνθεσης μοναδιαίων τιμών.

Ιδιότητες

Υποθέτουμε ότι ο Πρότυπο:Mvar είναι ένας πίνακας Πρότυπο:Math και ορίζουμε τη γραμμική απεικόνιση Πρότυπο:Mvar ως Πρότυπο:Math όπως παραπάνω.

• Ο βαθμός ενός Πρότυπο:Math πίνακα είναι ένας μη αρνητικός ακέραιος και δεν μπορεί να είναι μεγαλύτερος από Πρότυπο:Mvar ή Πρότυπο:Mvar. Δηλαδή, $\mathrm{rank}(A)\le \min (m,n).$ Ένας πίνακας που έχει βαθμό Πρότυπο:Math λέγεται ότι έχει πλήρη βαθμό, διαφορετικά, ο πίνακας είναι rank deficient.
• Μόνο ένας μηδενικός πίνακας έχει βαθμό μηδέν.
• Η Πρότυπο:Mvar είναι ενέσιμη συνάρτηση (ή "ένα προς ένα") αν και μόνο αν η Πρότυπο:Mvar έχει βαθμό Πρότυπο:Mvar (σε αυτή την περίπτωση, λέμε ότι η Πρότυπο:Mvar έχει "πλήρη βαθμό στήλης").
• Η Πρότυπο:Mvar είναι επιφανειακή συνάρτηση (ή "onto") εάν και μόνο εάν η Πρότυπο:Mvar έχει βαθμό Πρότυπο:Mvar (σε αυτή την περίπτωση, λέμε ότι η Πρότυπο:Mvar έχει "πλήρη βαθμό σειράς").
• Αν Πρότυπο:Mvar είναι τετραγωνικός πίνακας (δηλαδή, Πρότυπο:Math), τότε Πρότυπο:Mvar είναι αντιστρέψιμος πίνακας αν και μόνο αν Πρότυπο:Mvar έχει βαθμό Πρότυπο:Mvar (δηλαδή, ο Πρότυπο:Mvar έχει πλήρη βαθμό).
• Αν Πρότυπο:Mvar είναι οποιοσδήποτε Πρότυπο:Math πίνακας, τότε $\mathrm{rank}(AB)\le \min (\mathrm{rank}(A),\mathrm{rank}(B)).$
• Αν Πρότυπο:Mvar είναι ένας Πρότυπο:Math πίνακας τάξης Πρότυπο:Mvar, τότε $\mathrm{rank}(AB)=\mathrm{rank}(A).$
• Αν Πρότυπο:Mvar είναι ένας Πρότυπο:Math πίνακας βαθμού Πρότυπο:Mvar, τότε $\mathrm{rank}(CA)=\mathrm{rank}(A).$
• Ο βαθμός του Πρότυπο:Mvar είναι ίσος με Πρότυπο:Mvar αν και μόνο αν υπάρχει ένας αντιστρέψιμος Πρότυπο:Math πίνακας Πρότυπο:Mvar και ένας αντιστρέψιμος Πρότυπο:Math πίνακας Πρότυπο:Mvar τέτοιος ώστε $XAY=\left[\begin{array}{cc}{I}_r& 0\\ 0& 0\end{array}\right],$

όπου Πρότυπο:Math συμβολίζει τον πίνακα ταυτότητας Πρότυπο:Math

• Ανισότητα βαθμού του Τζέιμς Τζόζεφ: αν Πρότυπο:Mvar είναι ένας Πρότυπο:Math πίνακας και Πρότυπο:Mvar είναι Πρότυπο:Math, τότε $\mathrm{rank}(A)+\mathrm{rank}(B)-n\le \mathrm{rank}(AB).$ Αυτή είναι μια ειδική περίπτωση της επόμενης ανισότητας.
• Η ανισότητα που οφείλεται στον Φέρντιναντ Γκέοργκ Φρομπένιους: αν τα Πρότυπο:Math, Πρότυπο:Math, Πρότυπο:Math και Πρότυπο:Math ορίζονται, τότε $\mathrm{rank}(AB)+\mathrm{rank}(BC)\le \mathrm{rank}(B)+\mathrm{rank}(ABC).$
• Υποπροσθετικότητα: $\mathrm{rank}(A+B)\le \mathrm{rank}(A)+\mathrm{rank}(B)$ όταν Πρότυπο:Mvar} και Πρότυπο:Mvar είναι της ίδιας διάστασης. Κατά συνέπεια, ένας πίνακας rank-Πρότυπο:Mvar μπορεί να γραφεί ως άθροισμα Πρότυπο:Mvar πινάκων rank-1, αλλά όχι λιγότερων.
• Η τάξη ενός πίνακα συν το μηδενικό του πίνακα ισούται με τον αριθμό των στηλών του πίνακα. (Αυτό είναι το θεώρημα του βαθμού μηδενικότητας).
• Αν Πρότυπο:Mvar είναι ένας πίνακας πάνω στους πραγματικούς αριθμούς, τότε η τάξη του Πρότυπο:Mvar και η τάξη του αντίστοιχου πίνακα Γκραμ είναι ίσες. Έτσι, για πραγματικούς πίνακες $\mathrm{rank}(A^{\mathrm{T}}A)=\mathrm{rank}(A{A}^{\mathrm{T}})=\mathrm{rank}(A)=\mathrm{rank}(A^{\mathrm{T}}).$ Αυτό μπορεί να αποδειχθεί αποδεικνύοντας την ισότητα των μηδενικών τους χώρων. Ο μηδενικός χώρος του πίνακα Γκραμ δίνεται από τα διανύσματα Πρότυπο:Math για τα οποία $A^{\mathrm{T}}A𝐱=0.$ Αν αυτή η συνθήκη ικανοποιείται, έχουμε επίσης $0={𝐱}^{\mathrm{T}}{A}^{\mathrm{T}}A𝐱={\left|A𝐱\right|}^2.$
• Αν Πρότυπο:Mvar είναι ένας πίνακας πάνω στους μιγαδικούς αριθμούς και $\bar{A}$ συμβολίζει τον μιγαδικό συζυγή του Πρότυπο:Mvar και Πρότυπο:Math} τον συζυγή αντιμετάθεση του Πρότυπο:Mvar (δηλ. η ερμαϊκή συζυγής της Πρότυπο:Mvar), τότε

$\mathrm{rank}(A)=\mathrm{rank}(\bar{A})=\mathrm{rank}(A^{\mathrm{T}})=\mathrm{rank}(A^{*})=\mathrm{rank}(A^{*}A)=\mathrm{rank}(A{A}^{*}).$

Εφαρμογές

Μια χρήσιμη εφαρμογή του υπολογισμού του βαθμού ενός πίνακα είναι ο υπολογισμός του αριθμού των λύσεων ενός συστήματος γραμμικών εξισώσεων. Σύμφωνα με το θεώρημα Ρουσέ-Καπέλλι, το σύστημα είναι ασυνεπές αν η τάξη του επαυξημένου πίνακα είναι μεγαλύτερη από την τάξη του πίνακα συντελεστών. Αν από την άλλη πλευρά, οι βαθμοί αυτών των δύο πινάκων είναι ίσοι, τότε το σύστημα πρέπει να έχει τουλάχιστον μία λύση. Η λύση είναι μοναδική εάν και μόνο εάν η τάξη ισούται με τον αριθμό των μεταβλητών. Διαφορετικά, η γενική λύση έχει Πρότυπο:Mvar ελεύθερες παραμέτρους, όπου Πρότυπο:Mvar είναι η διαφορά μεταξύ του αριθμού των μεταβλητών και του βαθμού. Στην περίπτωση αυτή (και υποθέτοντας ότι το σύστημα εξισώσεων είναι στους πραγματικούς ή μιγαδικούς αριθμούς) το σύστημα εξισώσεων έχει άπειρες λύσεις.

Στη θεωρία ελέγχου, ο βαθμός ενός πίνακα μπορεί να χρησιμοποιηθεί για να καθοριστεί αν ένα γραμμικό σύστημα είναι ελέγξιμο ή παρατηρήσιμο.

Στον τομέα της πολυπλοκότητας της επικοινωνίας, ο βαθμός του πίνακα επικοινωνίας μιας συνάρτησης δίνει όρια για το ποσό της επικοινωνίας που απαιτείται από δύο μέρη για τον υπολογισμό της συνάρτησης.

Γενίκευση

Υπάρχουν διάφορες γενικεύσεις της έννοιας του βαθμού σε πίνακες πάνω σε αυθαίρετους δακτυλίους, όπου ο βαθμός στήλης, ο βαθμός γραμμής, η διάσταση του χώρου των στηλών και η διάσταση του χώρου των γραμμών ενός πίνακα μπορεί να είναι διαφορετικές από τις άλλες ή να μην υπάρχουν.

Θεωρώντας τους πίνακες ως τανυστές, ο βαθμός κατάταξης των τανυστών γενικεύεται σε αυθαίρετους τανυστές- για τανυστές τάξης μεγαλύτερης του 2 (οι πίνακες είναι τανυστές τάξης 2), ο βαθμός κατάταξης είναι πολύ δύσκολο να υπολογιστεί, σε αντίθεση με τους πίνακες.

Υπάρχει μια έννοια του βαθμού για ομαλούς χάρτες μεταξύ ομαλών πολλαπλών. Είναι ίση με τη γραμμική τάξη της παραγώγου.

Πίνακες ως τανυστές

Ο βαθμός των πινάκων δεν πρέπει να συγχέεται με την τάξη των τανυστών, η οποία ονομάζεται βαθμός των τανυστών. Η τάξη τανυστή είναι ο αριθμός των δεικτών που απαιτούνται για να γραφτεί ένας τανυστής, και έτσι όλοι οι πίνακες έχουν τάξη τανυστή 2. Πιο συγκεκριμένα, οι πίνακες είναι τανυστές τύπου (1,1), με έναν δείκτη γραμμής και έναν δείκτη στήλης, που ονομάζονται επίσης συνδιακυμαντική τάξη 1 και αντιμετακυμαντική τάξη 1. Για λεπτομέρειες, δείτε Τανυστής (εγγενής ορισμός).

Η τάξη τανυστή ενός πίνακα μπορεί επίσης να σημαίνει τον ελάχιστο αριθμό απλών τανυστών που απαιτούνται για να εκφραστεί ο πίνακας ως γραμμικός συνδυασμός, και ότι αυτός ο ορισμός συμφωνεί με τον βαθμό του πίνακα, όπως εξετάζεται εδώ.

Βιβλιογραφία

• Πρότυπο:Cite book
• Kaw, Autar K. Two Chapters from the book Introduction to Matrix Algebra: 1. Vectors [1] and System of Equations [2]
• Mike Brookes: Matrix Reference Manual. [3]

Δείτε επίσης

• Υαλοβάμβακας
• Πίνακας (μαθηματικά)
• Ταυτοτικός πίνακας

Πηγές

• Πρότυπο:Cite book
• Πρότυπο:Cite book
• Πρότυπο:Cite book
• Πρότυπο:Cite book
• Πρότυπο:Cite book
• Πρότυπο:Cite book