Γεωμετρία Γκαλουά

Το επίπεδο Φάνο, το προβολικό επίπεδο πάνω στο σώμα με δύο στοιχεία, είναι ένα από τα απλούστερα αντικείμενα της γεωμετρίας Γαλουά.

Η γεωμετρία Γκαλουά ( έλαβε το όνομά της από τον Γάλλο μαθηματικό του 19ου αιώνα Εβαρίστ Γκαλουά) είναι ο κλάδος της πεπερασμένης γεωμετρίας που ασχολείται με την αλγεβρική και αναλυτική γεωμετρία πάνω σε ένα πεπερασμένο σώμα (ή σώμα Γκαλουά). Πιο συγκεκριμένα, η γεωμετρία Γκαλουά μπορεί να οριστεί ως ένας προβολικός χώρος πάνω σε ένα πεπερασμένο σώμα.

Αντικείμενα μελέτης είναι οι αφινικοί και προβολικοί χώροι πάνω από πεπερασμένα σώματα και διάφορες δομές που περιέχονται σε αυτούς. Συγκεκριμένα, τόξα, ωοειδές, υπεροβάλια, μοναδιαία, σύνολα φραγής, ωοειδή, καλύμματα και όλα τα πεπερασμένα ανάλογα των δομών που συναντώνται σε μη πεπερασμένες γεωμετρίες. Οι διανυσματικοί χώροι που ορίζονται πάνω σε πεπερασμένα σώμα παίζουν σημαντικό ρόλο, ιδίως στις μεθόδους κατασκευής.

Προβολικοί χώροι πάνω από πεπερασμένα σώματα

Σημείωση

Αν και μερικές φορές χρησιμοποιείται η γενική συμβολική της προβολικής γεωμετρίας, είναι πιο συνηθισμένο να συμβολίζονται οι προβολικοί χώροι πάνω από πεπερασμένα σώματα με Πρότυπο:Math', όπου Πρότυπο:Mvar είναι η "γεωμετρική" διάσταση (βλ. παρακάτω), και Πρότυπο:Mvar είναι η τάξη του πεπερασμένου σώματος (ή σώματος Γκαλουά) Πρότυπο:Math, η οποία πρέπει να είναι ακέραιος αριθμός που είναι πρώτος ή πρώτη δύναμη.

Η "γεωμετρική" διάσταση στον παραπάνω συμβολισμό αναφέρεται στο σύστημα σύμφωνα με το οποίο οι γραμμές είναι μονοδιάστατες, τα επίπεδα είναι δισδιάστατα, τα σημεία είναι 0-διάστατα, κ.λπ. Ο τροποποιητής, μερικές φορές χρησιμοποιείται ο όρος προβολική αντί για γεωμετρική, είναι απαραίτητος, καθώς αυτή η έννοια της διάστασης διαφέρει από την έννοια που χρησιμοποιείται για τους διανυσματικούς χώρους (δηλαδή, ο αριθμός των στοιχείων μιας βάσης). Κανονικά η ύπαρξη δύο διαφορετικών εννοιών με το ίδιο όνομα δεν προκαλεί μεγάλη δυσκολία σε ξεχωριστές περιοχές λόγω του πλαισίου, αλλά σε αυτό το θέμα τόσο οι διανυσματικοί χώροι όσο και οι προβολικοί χώροι παίζουν σημαντικό ρόλο και η σύγχυση είναι πολύ πιθανή. Η έννοια του διανυσματικού χώρου αναφέρεται κατά καιρούς ως αλγεβρική διάσταση.

Κατασκευή

Έστω Πρότυπο:Math ο διανυσματικός χώρος (αλγεβρικής) διάστασης Πρότυπο:Math που ορίζεται πάνω στο πεπερασμένο σώμα Πρότυπο:Math. Ο προβολικός χώρος Πρότυπο:Math αποτελείται από όλους τους διανυσματικούς υποχώρους θετικής (αλγεβρικής) διάστασης του V. Ένας εναλλακτικός τρόπος να δούμε την κατασκευή είναι ο ορισμός των σημείων του Πρότυπο:Math ως οι κλάσεις ισοδυναμίας των μη μηδενικών διανυσμάτων του Πρότυπο:Math σύμφωνα με τη σχέση ισοδυναμίας σύμφωνα με την οποία δύο διανύσματα είναι ισοδύναμα αν το ένα είναι κλιμακωτό πολλαπλάσιο του άλλου. Στη συνέχεια, από τα σημεία δημιουργούνται υποχώροι χρησιμοποιώντας τον ορισμό της γραμμικής ανεξαρτησίας συνόλων σημείων.

Υποχώροι

Ένας διανυσματικός υποχώρος αλγεβρικής διάστασης Πρότυπο:Math του Πρότυπο:Math είναι ένας (προβολικός) υποχώρος του Πρότυπο:Math γεωμετρικής διάστασης Πρότυπο:Mvar. Στους προβολικούς υποχώρους δίνονται κοινά γεωμετρικά ονόματα: σημεία, γραμμές, επίπεδα και στερεά είναι οι 0,1,2 και 3διάστατοι υποχώροι, αντίστοιχα. Ολόκληρος ο χώρος είναι ένας Πρότυπο:Mvar-διάστατος υποχώρος και ένας (Πρότυπο:Math)-διάστατος υποχώρος ονομάζεται υπερεπίπεδο (ή πρωτεύον).

Ο αριθμός των διανυσματικών υποδιαστημάτων αλγεβρικής διάστασης Πρότυπο:Mvar στο διανυσματικό χώρο Πρότυπο:Math δίνεται από το διωνυμικό συντελεστή του Γκάους,

${\left[\begin{array}{c}n\\ d\end{array}\right]}_q=\frac{(q^n-1)(q^n-q)\cdots (q^n-q^{d-1})}{(q^d-1)(q^d-q)\cdots (q^d-q^{d-1})}.$

Επομένως, ο αριθμός των Πρότυπο:Mvar διαστάσεων προβολικών υποδιαστημάτων στο Πρότυπο:Math δίνεται από τη σχέση

${\left[\begin{array}{c}n+1\\ k+1\end{array}\right]}_q=\frac{(q^{n+1}-1)(q^{n+1}-q)\cdots (q^{n+1}-q^k)}{(q^{k+1}-1)(q^{k+1}-q)\cdots (q^{k+1}-q^k)}.$

Επομένως, ο αριθμός των γραμμών (Πρότυπο:Mvar = 1) στο PG(3,2) είναι

${\left[\begin{array}{c}4\\ 2\end{array}\right]}_2=\frac{(2^4-1)(2^4-2)}{(2^2-1)(2^2-2)}=\frac{(15)(14)}{(3)(2)}=35.$

Προκύπτει ότι ο συνολικός αριθμός των σημείων (Πρότυπο:Mvar = 0) του Πρότυπο:Math είναι

${\left[\begin{array}{c}n+1\\ 1\end{array}\right]}_q=\frac{(q^{n+1}-1)}{(q-1)}=q^n+q^{n-1}+\cdots +q+1.$

Αυτό ισούται επίσης με τον αριθμό των υπερεπιπέδων του Πρότυπο:Mvar.

Ο αριθμός των ευθειών που περνούν από ένα σημείο του Πρότυπο:Mvar μπορεί να υπολογιστεί ότι είναι $q^{n-1}+q^{n-2}+\cdots +q+1$ και αυτό είναι επίσης ο αριθμός των υπερεπιπέδων που περνούν από ένα σταθερό σημείο.

Έστω Πρότυπο:Mvar και Πρότυπο:Mvar υποχώροι της γεωμετρίας Γκαλουά Πρότυπο:Math. Η τομή Πρότυπο:Math είναι υποχώρος του Πρότυπο:Math, αλλά η θεωρητική ένωση συνόλων μπορεί να μην είναι. Η ένωση αυτών των υποχώρων, που συμβολίζεται με Πρότυπο:Math, είναι ο μικρότερος υποχώρος του Πρότυπο:Math που περιέχει τόσο Πρότυπο:Mvar όσο και Πρότυπο:Mvar. Οι διαστάσεις της ένωσης και της τομής αυτών των δύο υποχώρων σχετίζονται με τον τύπο,

$|<U,W>|=|U|+|W|-|U\cap W|.$

Συντεταγμένες

Σε σχέση με μια σταθερή βάση, κάθε διάνυσμα στο Πρότυπο:Math αναπαρίσταται μοναδικά από ένα (Πρότυπο:Math)ζεύγος στοιχείων του Πρότυπο:Math. Ένα προβολικό σημείο είναι μια κλάση ισοδυναμίας διανυσμάτων, οπότε υπάρχουν πολλές διαφορετικές συντεταγμένες (των διανυσμάτων) που αντιστοιχούν στο ίδιο σημείο. Ωστόσο, όλες αυτές σχετίζονται μεταξύ τους, αφού η καθεμία είναι ένα μη μηδενικό κλιμακωτό πολλαπλάσιο των άλλων. Αυτό οδηγεί στην έννοια των ομογενών συντεταγμένων που χρησιμοποιούνται για την αναπαράσταση των σημείων ενός προβολικού χώρου.

Ιστορία

Ο Τζίνο Φάνο ήταν ένας πρώιμος συγγραφέας στον κλάδο των γεωμετριών Γκαλουά. Στο άρθρο του του 1892, σχετικά με την απόδειξη της ανεξαρτησίας του συνόλου των αξιωμάτων του για τον προβολικό n-χώρο, μεταξύ άλλων, εξέτασε τις συνέπειες του να είναι ένα τέταρτο αρμονικό σημείο ίσο με το συζυγές του. Αυτό οδηγεί σε μια διαμόρφωση επτά σημείων και επτά γραμμών που περιέχονται σε έναν πεπερασμένο τρισδιάστατο χώρο με 15 σημεία, 35 γραμμές και 15 επίπεδα, στον οποίο κάθε γραμμή περιείχε μόνο τρία σημείαΠρότυπο:Rp. Όλα τα επίπεδα αυτού του χώρου αποτελούνται από επτά σημεία και επτά γραμμές και είναι πλέον γνωστά ως επίπεδα Fano. Ο Φάνο συνέχισε να περιγράφει γεωμετρίες Γκαλουά αυθαίρετης διάστασης και πρώτων τάξεων.

Ο Τζορτζ Κόνγουελ έδωσε μια πρώτη εφαρμογή της γεωμετρίας Γκαλουά το 1910, όταν χαρακτήρισε μια λύση στο πρόβλημα της μαθήτριας του Κέρκμαν ως μια διαμέριση συνόλων λοξών γραμμών στο PG(3,2), την τρισδιάστατη προβολική γεωμετρία πάνω στο σώμα Γκαλουά GF(2). Παρόμοια με τις μεθόδους της γεωμετρίας γραμμών στο χώρο πάνω από ένα σώμα χαρακτηριστικού 0, ο Κόνγουελ χρησιμοποίησε τις συντεταγμένες Plücker στο PG(5,2) και αναγνώρισε τα σημεία που αντιπροσωπεύουν τις γραμμές στο PG(3,2) ως αυτά του τετραγώνου Κλάιν.

Το 1955 ο Μπενιαμίνο Σέγκρ χαρακτήρισε τα ωοειδή για q odd (περιττά). Το θεώρημα του Σεγκρ δηλώνει ότι σε μια γεωμετρία Γκαλουά περιττής τάξης (δηλαδή σε ένα προβολικό επίπεδο που ορίζεται πάνω σε ένα πεπερασμένο σώμα περιττής χαρακτηριστικής) κάθε οβάλ είναι κωνικό. Αυτό το αποτέλεσμα συχνά πιστώνεται με την καθιέρωση της γεωμετρίας Γκαλουά ως σημαντικού τομέα έρευνας. Στο Διεθνές Μαθηματικό Συνέδριο του 1958 ο Σεγκρ παρουσίασε μια επισκόπηση των αποτελεσμάτων της γεωμετρίας Γκαλουά που ήταν γνωστά μέχρι τότε.

Δημοσιεύσεις

• Michael F. Atiyah, Ian G. MacDonald: Introduction to Commutative Algebra. Addison-Wesley, Reading MA 1969, ISBN 0-201-00361-9.
• Rainer Brüske, Friedrich Ischebeck, Ferdinand Vogel: Kommutative Algebra. BI-Wissenschaftsverlag, Mannheim u. a. 1989, ISBN 3-411-14041-0.
• Robin Hartshorne: Algebraic Geometry (= Graduate Texts in Mathematics. 52). Springer, New York u. a. 1977, ISBN 3-540-90244-9.
• Ernst Kunz: Introduction to commutative algebra and algebraic geometry (= Vieweg-Studium. 46 Aufbaukurs Mathematik.). Vieweg, Braunschweig u. a. 1980, ISBN 3-528-07246-6.
• Winfried Bruns, Jürgen Herzog: Cohen-Macaulay rings (= Cambridge studies in advanced mathematics. Band 39). Cambridge University Press, 1993.

Δείτε επίσης

• History Algebraic Geometry

Εξωτερικοί σύνδεσμοι

• English - Greek Dictionary of Pure and Applied Mathematics Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
• Αγγλοελληνικό Λεξικό Μαθηματικής Ορολογίας - Πανεπιστήμιο Κύπρου
• Galois Theory
• General Galois Geometries
• Dynamics, Statistics and Projective Geometry of Galois Fields

Σημειώσεις

• Πρότυπο:Citation
• Πρότυπο:Cite arXiv
• Πρότυπο:Citation
• Πρότυπο:Citation
• Πρότυπο:Citation
• Πρότυπο:Citation

Πρότυπο:Authority control Πρότυπο:Portal bar