Δέσμη ευθειών

Πρότυπο:Πηγές Κεντρική δέσμη ευθειών ονομάζουμε το σύνολο των ευθειών του επιπέδου που διέρχονται από το ένα σημείο (κέντρο δέσμης) ή είναι παράλληλες μεταξύ τους. Η εξίσωση της δέσμης ευθειών είναι η

$\kappa ({\alpha }_{1}x+{\beta }_{1}y+{\gamma }_1)+\lambda ({\alpha }_{2}x+{\beta }_{2}y+{\gamma }_2)=0$ $:(1)$

Οι συντεταγμένες του κέντρου βρίσκονται από την επίλυση του συστήματος

$\left(\mathrm{\Sigma }\right):\{\begin{array}{c}{\alpha }_{1}x+{\beta }_{1}y+{\gamma }_1=0\\ {\alpha }_{2}x+{\beta }_{2}y+{\gamma }_2=0\end{array}$

Αν $\kappa =1$ τότε έχουμε $({\alpha }_{1}x+{\beta }_{1}y+{\gamma }_1)+\lambda ({\alpha }_{2}x+{\beta }_{2}y+{\gamma }_2)=0$ $:(2)$ μια μονοπαραμετρική οικογένεια ευθειών. Η μονοπαραμετρική οικογένεια ευθειών $(2)$ μαζί με την ευθεία ${\alpha }_{2}x+{\beta }_{2}y+{\gamma }_2=0$ αποτελούν την δέσμη ευθειών $(1)$. Η ίδια δέσμη ορίζεται και για $\lambda =1$ μαζί με την ευθεία ${\alpha }_{1}x+{\beta }_{1}y+{\gamma }_1=0$

Αν $\mathrm{P}(x_0,y_0)$ το κέντρο της δέσμης $\left(1\right)$, τότε είναι και το κέντρο της μονοπαραμετρικής οικογένειας ευθειών $\left(2\right)$. Η δέσμη ευθειών που διέρχονται από το $\mathrm{P}(x_0,y_0)$ καλύπτει όλο το επίπεδο, δηλαδή η δέσμη ευθειών με κέντρο το $\mathrm{P}(x_0,y_0)$ περιέχει όλες τις ευθείες του επιπέδου που διέρχονται από αυτό ενώ δεν ισχύει το ίδιο για την μονοπαραμετρική οικογένεια ευθειών. Για παράδειγμα το σύνολο των ευθειών της δέσμης $\kappa (x+2y+1)+\lambda (x+y)=0,\left|\kappa \right|+\left|\lambda \right|\ne 0$ είναι το σύνολο των ευθειών της μονοπαραμετρικής οικογένειας ευθειών $(x+2y+1)+\lambda (x+y)=0$ μαζί με την ευθεία $x+y=0$. Στο παραπάνω παράδειγμα η δέσμη ευθειών $\kappa (x+2y+1)+\lambda (x+y)=0$ έχει κέντρο το $\mathrm{P}(1,-1)$. Παρατηρούμε ότι η ευθεία με εξίσωση $x+y=0$ διέρχεται από το $\mathrm{P}(1,-1)$ και ανήκει στην δέσμη ευθειών αφού παράγεται από αυτήν για $\kappa =0$ και $\lambda =1$ ενώ η μονοπαραμετρική οικογένεια ευθειών $(x+2y+1)+\lambda (x+y)=0$ δεν μπορεί να την παράγει αφού δεν υπάρχει τιμή του πραγματικού αριθμού $\lambda$ ώστε $\frac{1+\lambda }{2+\lambda }=1$ και $\frac{1}{2+\lambda }=0$.

Αν είναι γνωστό το κέντρο $\mathrm{P}(x_0,y_0)$ της δέσμης ευθειών τότε οι εξισώσεις των ευθειών της είναι η οικογένεια $y-y_0=\lambda (x-x_0)$ μαζί με την ευθεία $x=x_0$