Διάμεσος τριγώνου

Στη γεωμετρία, η διάμεσος ενός τριγώνου είναι το ευθύγραμμο τμήμα το οποίο ενώνει μία κορυφή του τριγώνου με το μέσο της απέναντι πλευράς. Κάθε τρίγωνο έχει ακριβώς τρεις διάμεσους: μία από κάθε κορυφή προς την αντίθετη πλευρά. Συνήθως οι διάμεσοι συμβολίζονται ως ${\mu }_{\mathrm{A}},{\mu }_{\mathrm{B}},{\mu }_{\mathrm{\Gamma }}$ ή ${\mu }_{\alpha },{\mu }_{\beta },{\mu }_{\gamma }$ αντίστοιχα.

Στην περίπτωση των ισοσκελών και ισόπλευρων τριγώνων, η διάμεσος είναι και διχοτόμος και ύψος μίας κορυφής, της οποίας οι δύο προσκείμενες πλευρές της είναι ίσες.

Ιδιότητες

• Η διάμεσος χωρίζει το τρίγωνο σε δύο τρίγωνα με ίσο εμβαδόν.

• Για τις διαμέσους ${\mu }_{\mathrm{A}},{\mu }_{\mathrm{B}},{\mu }_{\mathrm{\Gamma }}$ ενός τριγώνου, ισχύουν οι εξής τριγωνομετρικές σχέσειςΠρότυπο:RpΠρότυπο:RpΠρότυπο:Rp

${\mu }_{\alpha }^2={\alpha }^2\cdot \frac{2{\sin }^2\mathrm{B}+2{\sin }^2\mathrm{\Gamma }-{\sin }^2\mathrm{A}}{4\cdot {\sin }^2\mathrm{A}}$, ${\mu }_{\beta }^2={\alpha }^2\cdot \frac{2{\sin }^2\mathrm{\Gamma }+2{\sin }^2\mathrm{A}-{\sin }^2\mathrm{B}}{4\cdot {\sin }^2\mathrm{A}}$ και ${\mu }_{\gamma }^2={\alpha }^2\cdot \frac{2{\sin }^2\mathrm{A}+2{\sin }^2\mathrm{B}-{\sin }^2\mathrm{\Gamma }}{4\cdot {\sin }^2\mathrm{A}}$.

• Σε κάθε τρίγωνο $\mathrm{A}\mathrm{B}\mathrm{\Gamma }$,Πρότυπο:R

${\mu }_{\mathrm{A}}^2+{\mu }_{\mathrm{B}}^2+{\mu }_{\mathrm{\Gamma }}^2=\frac{3}{4}({\alpha }^2+{\beta }^2+{\gamma }^2)$,

και

${\mu }_{\mathrm{A}}^4+{\mu }_{\mathrm{B}}^4+{\mu }_{\mathrm{\Gamma }}^4=\frac{9}{16}\cdot ({\alpha }^4+{\beta }^4+{\gamma }^4)$.

Ανισοτικές Σχέσεις

• Σε κάθε τρίγωνο $\mathrm{A}\mathrm{B}\mathrm{\Gamma }$,

$\frac{3}{4}\cdot (\alpha +\beta +\gamma )<{\mu }_{\mathrm{A}}+{\mu }_{\mathrm{B}}+{\mu }_{\mathrm{\Gamma }}<\frac{3}{2}\cdot (\alpha +\beta +\gamma )$.

• Αν $\mathrm{A}\mathrm{B}>\mathrm{A}\mathrm{\Gamma }>\mathrm{B}\mathrm{\Gamma }$, τότε

${\mu }_{\mathrm{\Gamma }}<{\mu }_{\mathrm{B}}<{\mu }_{\mathrm{A}}$.

• Αν $\mathrm{A}\mathrm{B}>\mathrm{A}\mathrm{\Gamma }$, τότε

$\frac{\mathrm{A}\mathrm{B}-\mathrm{A}\mathrm{\Gamma }}{2}<{\mu }_{\mathrm{A}}<\frac{\mathrm{A}\mathrm{B}+\mathrm{A}\mathrm{\Gamma }}{2}$.

• Αν $\hat{\mathrm{A}}$ οξεία γωνία, τότε

$\mathrm{A}\mathrm{M}>\frac{\mathrm{B}\mathrm{\Gamma }}{2}$.

Κατασκευή με κανόνα και διαβήτη

Κατασκευή διαμέσου $\mathrm{A}\mathrm{M}$ του τριγώνου $\mathrm{A}\mathrm{B}\mathrm{\Gamma }$.

Η διάμεσος κατασκευάζεται με τον ίδιο τρόπου που βρίσκουμε το μέσο ενός ευθύγραμμου τμήματος (δηλαδή κατασκευάζοντας την μεσοκάθετο):

1. Με τον διαβήτη χαράζουμε δύο κύκλους με κέντρα τα $\mathrm{B}$ και $\mathrm{\Gamma }$ και ακτίνα $\mathrm{B}\mathrm{\Gamma }$.
2. Βρίσκουμε τα σημεία τομής ${\mathrm{T}}_1$ και ${\mathrm{T}}_2$ των δύο κύκλων.
3. Χαράζουμε το ευθύγραμμο τμήμα ${\mathrm{T}}_1{\mathrm{T}}_2$.
4. Βρίσκουμε το σημείο τομής $\mathrm{M}$ του ${\mathrm{T}}_1{\mathrm{T}}_2$ με το $\mathrm{B}\mathrm{\Gamma }$.
5. Ενώνουμε τα σημεία $\mathrm{A}$ και $\mathrm{M}$.

Δείτε επίσης

• Νόμος των συνημιτόνων
• Θεώρημα Στιούαρτ
• Διχοτόμος γωνίας
• Ύψος τριγώνου

Εξωτερικοί σύνδεσμοι

• Διάμεσοι ενός τριγώνου στο Φωτόδεντρο.
• Διάμεσοι τριγώνου στο Geogebra.
• Διάμεσοι στο cut-the-knot
• Κατασκευή μίας διαμέσου με κανόνα και διαβήτη